Tikimybių formulės yra svarbūs matematiniai įrankiai, naudojami skaičiuojant tikimybę. Prieš žinodami tikimybių formules, turime trumpai suprasti tikimybės sąvoką. Atsitiktinio įvykio atsiradimo galimybė apibrėžiama tikimybe. Tikimybė yra prognozavimo galimybė. Jos taikomos įvairiose srityse, įskaitant žaidimų strategijas, prognozių, pagrįstų tikimybe versle, kūrimą ir besivystančią dirbtinio intelekto sritį.
Šiame straipsnyje sužinosime tikimybių formulės reikšmę ir apibrėžimą bei kaip šias formules naudoti skaičiuojant tikimybę. Taip pat matome įvairius terminus, susijusius su tikimybe, ir skirtingas formules, skirtas lengvai išspręsti matematines problemas.
Turinys
- Kas yra tikimybių formulė?
- Su tikimybių formule susiję terminai
- Įvykiai tikimybių formulėje
- Įvairios tikimybių formulės
- Tikimybių formulės pavyzdžiai
Kas yra tikimybių formulė?
Tikimybių formulės naudojamos nustatant įvykio galimybes palankių rezultatų skaičių padalijus iš visų galimų baigčių. Naudodami šią formulę galime įvertinti tikimybę, susijusią su konkrečiu įvykiu.
Matematiškai šią formulę galime parašyti taip:
P(A) = palankių rezultatų skaičius / bendras galimų rezultatų skaičius
Tikimybių formulė apskaičiuoja palankių rezultatų santykį su visu galimų rezultatų rinkiniu. Tikimybės reikšmė yra intervale nuo 0 iki 1, o tai reiškia, kad palankūs rezultatai negali viršyti bendrų rezultatų, o neigiama palankių rezultatų reikšmė neįmanoma.
Mokytis,
- Tikimybė matematikoje
- Tikimybių teorija
Kaip apskaičiuoti tikimybę?
Įvykio tikimybė = (palankių rezultatų skaičius) / (bendras galimų įvykio baigčių skaičius)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Čia P(A) reiškia įvykio A tikimybę, kur n(E) yra palankių baigčių skaičius, o n(S) yra bendras galimų įvykio baigčių skaičius.
Nagrinėjant papildomą įvykį, pavaizduotą P(A'), kuris reiškia įvykio A neįvykimą, formulė bus tokia:
P(A') = 1- P(A)
P(A'), yra priešingas įvykiui A, o tai rodo, kad įvyksta arba įvykis P (A), arba jo papildymas P (A').
sėklos vs sporos
Todėl dabar galime pasakyti; P(A) + P(A') = 1
Mokytis,
- Tikimybių įvykiai
- Tikimybių įvykių tipai
Su tikimybių formule susiję terminai
Kai kurie dažniausiai pasitaikantys terminai, susiję su tikimybės formule, yra šie:
- Eksperimentas: Eksperimentas yra veiksmas arba procedūra, atliekama siekiant gauti tam tikrą rezultatą.
- Pavyzdinė erdvė: Mėginio erdvė apima visus galimus eksperimento rezultatus. Pavyzdžiui, verčiant monetą, pavyzdinėje erdvėje yra {galva, uodega}.
- Palankus rezultatas: Palankus rezultatas yra rezultatas, atitinkantis numatytą arba numatomą išvadą. Išmetus du kauliukus, palankių rezultatų, kurių suma yra 4, pavyzdžiai yra (1,3), (2,2) ir (3,1).
- Bandomasis laikotarpis: Bandymas reiškia atsitiktinio eksperimento vykdymą.
- Atsitiktinis eksperimentas: A Atsitiktinis eksperimentas yra būdingas gerai apibrėžtas galimų rezultatų rinkinys. Atsitiktinio eksperimento pavyzdys yra monetos metimas, kai rezultatas gali būti galvos arba uodegos. Tai reiškia, kad rezultatas bus neaiškus.
- Renginys: Įvykis reiškia, kad visi rezultatai gaunami iš atsitiktinio eksperimento.
- Lygiai taip pat tikėtini įvykiai: Vienodai tikėtini įvykiai yra tie įvykiai, kurių tikimybė įvykti yra vienoda. Vieno įvykio baigtis neturi įtakos kito rezultatui.
- Išsamūs įvykiai: Išsamus įvykis įvyksta, kai visų galimų rezultatų rinkinys apima visą imties erdvę.
- Abipusiai išskirtiniai renginiai: Abipusiai išskirtiniai renginiai yra tie, kurie negali atsirasti vienu metu. Pavyzdžiui, kai mesti monetą, rezultatas bus arba galva, arba uodega, bet negalime gauti abiejų vienu metu.
Įvykiai tikimybių formulėje
Tikimybių teorijoje įvykis reiškia galimų rezultatų, gautų iš eksperimento, rinkinį. Jis dažnai sudaro visos imties erdvės poaibį. Jei įvykio E tikimybę pavaizduojame kaip P(E), galioja šie principai:
Kai įvykis E neįmanomas, tada P(E) = 0.
Kai įvykis E yra tikras, tada P(E) = 1.
Tikimybė P(E) yra nuo 0 iki 1.
Apsvarstykite du įvykius A ir B. Įvykio A tikimybė, žymima kaip P(A), kuri yra didesnė už įvykio B tikimybę P(B).
Tam tikro įvykio E tikimybės formulė bus tokia:
P(E) = n(E)/ n(S)
Čia n (E) reiškia įvykiui E palankių rezultatų skaičių.
n(S) reiškia bendrą rezultatų skaičių imties erdvėje.
Įvairios tikimybių formulės
Toliau aptariamos įvairios tikimybių formulės:
Klasikinė tikimybių formulė
P(A) = palankių rezultatų skaičius / bendras galimų rezultatų skaičius
Papildymo taisyklės formulė
Kai kalbame apie įvykį, kuris yra dviejų atskirų įvykių, pavyzdžiui, A ir B, sąjunga, sąjungos tikimybė bus tokia:
P(A arba B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Bendra tikimybės formulė
Ji vaizduoja bendrus elementus, kurie sudaro atskirus įvykių A ir B pogrupius. Formulė gali būti išreikšta taip:
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Papildymo taisyklė abipusiai išskirtiniams renginiams
Jei įvykiai A ir B yra vienas kitą paneigiantys, tai reiškia, kad jie negali įvykti vienu metu, bet kurio įvykio tikimybė yra lygi jų atitinkamų tikimybių sumai.
P(A arba B)=P(A)+P(B)
Papildoma taisyklių formulė
Jei A yra įvykis, tada ne A tikimybė išreiškiama papildoma taisykle:
P(ne A) = 1 – P(A) arba P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
Kai kurios jomis pagrįstos tikimybių formulės yra šios:
P(A.A') = 0
P(A.B) + P (A'.B') = 1
P(A’B) = P(B) – P(A.B)
P(A.B’) = P(A) – P(A.B)
P(A+B) = P(AB') + P(A'B) + P(A.B)
Sąlyginių taisyklių formulė
Tuo atveju, kai įvykio A įvykis jau žinomas, įvyks įvykio B tikimybė, vadinama sąlygine tikimybe. Jį galima apskaičiuoti pagal formulę:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): įvykio B tikimybė (sąlyginė), kai įvyko įvykis A.
P (A/B): įvykio A tikimybė (sąlyginė), kai įvyksta įvykis B.
Santykinio dažnio formulė
Santykinio dažnio formulė yra pagrįsta dažniais, stebimais realaus pasaulio duomenyse. Ši formulė pateikiama kaip
P(A) = įvykių A įvykių skaičius / bendras bandymų arba stebėjimų skaičius
Tikimybių formulė su daugybos taisykle
Tais atvejais, kai įvykis reiškia dviejų kitų įvykių, žymimų įvykiais A ir B, įvykimą vienu metu, abiejų įvykių tikimybę, kad jie įvyks vienu metu, galima apskaičiuoti naudojant šias formules:
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (nepriklausomų įvykių atveju)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (priklausomų įvykių atveju)
Nesusijęs įvykis
Nesusiję įvykiai yra įvykiai, kurie niekada neįvyksta tuo pačiu metu. Tai taip pat žinomi kaip vienas kitą paneigiantys įvykiai.
P(A∩B) = 0
Bayes’o teorema
Bayes’o teorema apskaičiuoja įvykio A tikimybę, atsižvelgiant į įvykio B įvykį. Baye’o teoremos formulė pateikiama kaip
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Mokytis, Bayes’o teorema
Priklausomų tikimybių formulė
Priklausomoji tikimybė yra įvykiai, kuriems įtakos turi kiti įvykiai. Priklausomos tikimybės formulė yra tokia:
P(B ir A) = P(A) × P(B | A)
Nepriklausoma tikimybių formulė
Nepriklausoma tikimybė yra įvykiai, kuriems neturi įtakos kiti įvykiai. Nepriklausomos tikimybės formulė yra
P(A ir B) = P(A) × P(B)
Binominalinės tikimybės formulė
Dvejetainės tikimybės formulė pateikiama kaip
P(x) = n C x · p x (1 – p) n−x arba P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p r (1 – p) n−r
Kur, n = bendras įvykių skaičius
r arba x = bendras sėkmingų įvykių skaičius.
p = sėkmės tikimybė per vieną bandymą.
nCr= [n!/r!(n−r)]!
1 – p = gedimo tikimybė.
Mokytis, Binominis pasiskirstymas
Normalios tikimybės formulė
Normalios tikimybės formulė pateikiama taip:
P(x) = (1/√2П) e (-x^2/2)
Mokytis, Normalus skirstinys
Eksperimentinė tikimybių formulė
Eksperimentinės tikimybės formulė yra;
Tikimybė P(x) = įvykių įvykimo kartų skaičius / bendras bandymų skaičius.
Teorinė tikimybių formulė
Teorinė tikimybių formulė yra
P(x) = palankių rezultatų skaičius / galimų rezultatų skaičius.
pabandykite gaudyti bloką java
Standartinio nuokrypio tikimybės formulė
Standartinė nuokrypio tikimybės formulė pateikiama kaip
P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}
Bernulio tikimybių formulė
Atsitiktinis dydis X turės Bernulio pasiskirstymą su tikimybe p, formulė yra
P(X = x) = p x (1 – p) 1-x , kai x = 0, 1 ir P(X = x) = 0 kitoms x reikšmėms
Čia 0 yra nesėkmė, o 1 yra sėkmė.
Mokytis, Bernoulli platinimas
Tikimybių formulės 10 klasė
10 klasėje turime ištirti pagrindines tikimybes, tokias kaip tikimybė išmesti monetą, išmesti 2 monetas, išmesti 3 monetas, mesti kauliuką, mesti du kauliukus, tikimybę ištraukti kortą iš gerai išmaišytos kaladės. Visus šiuos klausimus galima išspręsti tik viena formule. Tikimybių formulės 10 klasė pateikiama kaip
P(E) = n(E)/n(s)
kur,
P(E) yra įvykio tikimybė
n(E) yra bandymų, kurių metu įvyko įvykis, skaičius
n(S) yra imties erdvės skaičius
12 klasės tikimybių formulė
Įvairios formulės, naudojamos 12 tikimybių klasėje, pateiktos žemiau:
Įvairios tikimybių formulės | |
|---|---|
Formulės pavadinimas | Formulė |
Eksperimentinė arba emperinė tikimybės formulė | Įvykio įvykių skaičius / bendras bandymų skaičius. |
Klasikinė arba teorinė tikimybių formulė | Palankių rezultatų skaičius / bendras galimų rezultatų skaičius |
Sudėjimo tikimybės formulė | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) |
Bendra tikimybės formulė | P (A ∩ B) = P (A).P (B) |
Papildymo taisyklė abipusiai išskirtiniams renginiams | P(A arba B)=P(A)+P(B) |
Papildoma taisyklių formulė | P(ne A) = 1 – P(A) arba P(A’) = 1 – P(A). P(A) + P(A′) = 1 |
Sąlyginių taisyklių formulė | P(B∣A) = P(A∩B)/P(A) o ciklo java |
Santykinio dažnio formulė | P(A) = įvykių A įvykių skaičius / bendras bandymų arba stebėjimų skaičius |
Nesusijęs įvykis | P(A∩B) = 0 |
Bayes’o teorema | P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B) |
Priklausomų tikimybių formulė | P(B ir A) = P(A) × P(B | A) |
Nepriklausoma tikimybių formulė | P(A ir B) = P(A) × P(B) |
Binominalinės tikimybės formulė | P(x) =nCx· px(1 – p)n−xarba P(r) = [n!/r!(n−r)!]· pr(1 – p)n−r |
Normalios tikimybės formulė | P(x) = (1/√2П) e(-x2/2) |
Standartinio nuokrypio tikimybės formulė | P(x) = (1/σ√2П) e-(x-m)^2/2s^2 |
Bernulio tikimybių formulė | P(X = x) = px(1 – p)1-x, kai x = 0, 1 ir P(X = x) = 0 kitoms x reikšmėms. |
Taip pat patikrinkite
- Monetos metimo tikimybė
- Kortos tikimybė
- Statistikos formulės
Tikimybių formulės pavyzdžiai
1 pavyzdys: atsitiktinai pasirinkite kortą iš standartinės kaladės. Kokia tikimybė ištraukti atviruką moterišku veidu?
Sprendimas:
Standartinėje kaladėje, kurioje yra 52 kortos: iš viso galimi rezultatai = 52
Palankių įvykių skaičius (kai tik karalienės laikomos moteriškais veidais) = 4
Todėl tikimybė P(A) apskaičiuojama pagal formulę:
P(A) = palankių rezultatų skaičius ÷ bendras rezultatų skaičius
= 4/52
= 1/13.
2 pavyzdys: Jei įvykio E tikimybė, žymima kaip P(E) = 0,35, kokia yra komplemento įvykio „ne E“ tikimybė?
Sprendimas:
Atsižvelgiant į tai, kad P(E) = 0,35, galime naudoti papildomos tikimybės formulę:
P(E) + P(ne E) = 1
Pakeičiant žinomą vertę:
P(ne E) = 1 – P(E)
P(ne E) = 1 – 0,35
java poeilutės funkcijaVadinasi, P(ne E) = 0,65
3 pavyzdys: Pavojingi gaisrai yra labai reti, maždaug 1 %, tačiau dūmai yra gana dažni, apie 20 % dėl kepsninių. Raskite pavojingą gaisrą, kai 80% pavojingų gaisrų gamina dūmus.
Sprendimas:
Pavojingo gaisro tikimybė, kai yra dūmų, naudojant Bayes teoremą:
P (ugnis | dūmai) = {P (ugnis) P (ugnis dūmai)} / P (dūmai)
P(Fire)=0,01(1%) ir P(Smoke|Fire)= 0,80 (80%), galime pakeisti šias reikšmes:
P (ugnis | dūmai) = ( 0,02 × 0,90) / 0,30
(Ugnis | Dūmai)=0,018/0,30
(Ugnis | Dūmai) = 0,06 = 6%.
4 pavyzdys: maišelyje yra 2 žalios, 4 oranžinės ir 6 baltos lemputės. Kokia tikimybė, kad iš maišelio atsitiktinai parenkama lemputė, pasirenkama žalia arba balta lemputė?
Sprendimas:
Bendras lempučių skaičius maišelyje yra 2 žalios + 4 oranžinės + 6 baltos = 12 lempučių
Žaliųjų lempučių skaičius = 2, o baltų lempučių skaičius = 6
Tikimybė = (žalių lempučių skaičius + baltų lempučių skaičius) / bendras lempučių skaičius
Tikimybė = (2+6)/12
Tikimybė = 8/12
Tikimybė = 2/3.
Praktikos klausimai apie tikimybių formulę
Q1. Iš maišelyje esančios rutuliukų kolekcijos – 8 raudonos, 9 mėlynos ir 6 žalios – atsitiktinai parenkami du rutuliukai, nepakeičiami. Kokia tikimybė, kad abu pasirinkti rutuliukai yra mėlyni?
Q2. Stalčiuje, kuriame yra 6 juodi rašikliai, 4 mėlyni rašikliai ir 7 raudoni rašikliai, atsitiktine tvarka nupieštas tušinukas. Kokia tikimybė, kad rašiklis yra juodas arba mėlynas?
Q3. Iš kruopščiai sumaišytos 52 kortų kaladės ištraukę vieną kortą, nustatykite tikimybę, kad korta:
- Būk karalius.
- Nebūkite karaliumi.
4 klausimas. Remiantis apklausa, 70% žmonių mėgsta šokoladą, o tarp tų šokolado entuziastų 60% taip pat mėgsta vanilę. Kokia tikimybė, kad žmogus mėgsta vanilę, atsižvelgiant į jo pomėgį šokoladui?
Q5. Nustatykite nelyginio skaičiaus metimo tikimybę metant šešiapusį kauliuką.
Tikimybių formulė – DUK
1. Kas yra tikimybės reikšmė?
Atsitiktinio įvykio atsiradimo galimybė apibrėžiama tikimybe. Tikimybė yra prognozavimo galimybė.
2. Kokia yra tikimybės formulės prasmė?
Tikimybių formulės naudojamos nustatant įvykio galimybes, dalijant palankių rezultatų skaičių iš visų galimų baigčių. Tikimybės reikšmė yra intervale nuo 0 iki 1, o tai reiškia, kad palankūs rezultatai negali viršyti bendrų rezultatų, o neigiama palankių rezultatų reikšmė neįmanoma.
3. Kokia tikimybių žymėjimo U ir ∩ vidurkio reikšmė?
Simbolis U tikimybe reiškia tolygų pasiskirstymą. Kita vertus, simbolis ∩ reiškia aibių sankirtą. Paprasčiau tariant, dviejų rinkinių sankirta yra pati plačiausia rinkinys, apimantis visus elementus, kuriuos dalijasi abi aibės.
4. Kokia yra įprastinė tikimybė apskaičiuoti formulę?
Įvykio tikimybė = (palankių rezultatų skaičius) / (bendras galimų įvykio baigčių skaičius)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Čia P(A) reiškia įvykio A tikimybę, kur n(E) yra palankių baigčių skaičius, o n(S) yra bendras galimų įvykio baigčių skaičius.
5. Kas yra papildomoji formulė?
Jei A yra įvykis, tada ne A tikimybė išreiškiama papildoma taisykle:
P(ne A) = 1 – P(A) arba P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
6. Kas yra nesusijęs įvykis?
Nevienodi įvykiai yra įvykiai, kurie niekada neįvyksta tuo pačiu metu. Tai taip pat žinomi kaip vienas kitą paneigiantys įvykiai.
P(A∩B) = 0.
7. Kas yra Bayes’o teorema?
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Bayes’o teorema apskaičiuoja įvykio A tikimybę, atsižvelgiant į įvykio B įvykį.
8. Kas yra sąlyginė formulė?
Tuo atveju, kai įvykio A įvykis jau žinomas, įvyks įvykio B tikimybė, vadinama sąlygine tikimybe. Jį galima apskaičiuoti pagal formulę:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): įvykio B tikimybė (sąlyginė), kai įvyko įvykis A.
P (A/B): įvykio A tikimybė (sąlyginė), kai įvyksta įvykis B.
9. Kokie yra tikimybių pavyzdžiai iš tikro gyvenimo?
Orų prognozavimas, kortų žaidimai, politinis balsavimas, žaidimai su kauliukais, monetos metimas ir kt. yra keletas tikimybių pavyzdžių