Bayes’o teorema naudojamas sąlyginei įvykio tikimybei nustatyti. Jis buvo pavadintas anglų statistiko vardu, Tomas Bayesas kuris atrado šią formulę 1763 m. Bayes teorema yra labai svarbi matematikos teorema, padėjusi unikalaus statistinių išvadų metodo, vadinamo Bayeso išvada. Jis naudojamas norint nustatyti įvykio tikimybę, remiantis išankstinėmis žiniomis apie sąlygas, kurios gali būti susijusios su tuo įvykiu.

Pavyzdžiui, jei norime rasti tikimybę, kad atsitiktinai nupieštas baltas marmuras atkeliavo iš pirmojo maišelio, atsižvelgiant į tai, kad baltas marmuras jau buvo nupieštas, ir yra trys maišeliai, kuriuose yra keletas baltų ir juodų rutuliukų, tada galime naudoti Bayes'o teoremą.

Šiame straipsnyje nagrinėjama Bayes teorema, įskaitant jos teiginį, įrodymą, išvedimą ir teoremos formulę, taip pat jos taikymas su įvairiais pavyzdžiais.

kiek sveria kat timpf

Kas yra Bayeso teorema?

Bayes teorema (taip pat žinoma kaip Bayes taisyklė arba Bayes dėsnis) naudojama sąlyginei įvykio A tikimybei nustatyti, kai įvykis B jau įvyko.

Bendras Bayes’o teoremos teiginys yra Sąlyginė įvykio A tikimybė, įvykus kitam įvykiui B, yra lygi B įvykio, duoto A, ir A tikimybės, padalytos iš įvykio B, sandaugai. t.y.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

kur,

• P(A) ir P(B) yra įvykių A ir B tikimybės
• P(A|B) yra įvykio A tikimybė, kai įvyksta įvykis B
• P(B|A) yra įvykio B tikimybė, kai įvyksta A

Patikrinti: Bayeso sąlyginės tikimybės teorema

Bayeso teoremos teiginys

Bayes’o teorema n įvykių aibei apibrėžiama taip,

Tegul E₁, IR₂,…, IR_nbūti įvykių, susijusių su pavyzdine erdve S, rinkinys, kuriame visi įvykiai E₁, IR₂,…, IR_nturi ne nulinę atsiradimo tikimybę. Visi įvykiai E₁, IR₂,…, E sudaro S skaidinį. Tegul A yra įvykis iš erdvės S, kuriam turime rasti tikimybę, tada pagal Bayeso teoremą,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

jei k = 1, 2, 3, …., n

Bayeso teoremos formulė

Bet kurių dviejų įvykių A ir B atveju Bajeso teoremos formulė gaunama taip: (žemiau pateiktame paveikslėlyje pateikiama Bayes teoremos formulė)

Bayes’o teoremos formulė

kur,

• P(A) ir P(B) yra įvykių A ir B tikimybės, taip pat P(B) niekada nėra lygus nuliui.
• P(A|B) yra įvykio A tikimybė, kai įvyksta įvykis B
• P(B|A) yra įvykio B tikimybė, kai įvyksta A

Bayeso teoremos išvedimas

Bajeso teoremos įrodymas pateikiamas kaip, pagal sąlyginės tikimybės formulę,

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Tada, naudodami tikimybės daugybos taisyklę, gauname

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Dabar, pagal bendrosios tikimybės teoremą,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Pakeičiant P(E_i∩A) ir P(A) iš lygties (ii) ir eq(iii) lygyje (i) gauname,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayes’o teorema taip pat žinoma kaip formulė priežasčių tikimybė . Kaip žinome, E _i „s yra pavyzdinės erdvės S skaidinys ir bet kuriuo metu tik vienas iš įvykių E _i atsiranda. Taigi darome išvadą, kad Bayeso teoremos formulė suteikia tam tikro E tikimybę_i, atsižvelgiant į įvykį A.

Su Bayeso teorema susiję terminai

Išsamiai susipažinę su Bayes teorema, suprasime kai kuriuos svarbius terminus, susijusius su sąvokomis, kurias apžvelgėme formulėje ir išvedime.

• Hipotezės: Įvykiai, vykstantys pavyzdinėje erdvėje IR ₁ , IR ₂ ,… IR _n vadinama hipotezėmis

• Pirminė tikimybė: Priori Probability – tai pradinė įvykio tikimybė prieš atsižvelgiant į naujus duomenis. P(E_i) yra pirminė hipotezės E tikimybė_i.

• Užpakalinė tikimybė: Užpakalinė tikimybė – tai atnaujinta įvykio tikimybė, įvertinus naują informaciją. Tikimybė P(E_i|A) laikomas hipotezės E posteriorine tikimybe_i.

Sąlyginė tikimybė

• Įvykio A tikimybė, pagrįsta kito įvykio B įvykimu, vadinama sąlyginė tikimybė .
• Jis žymimas kaip P(A|B) ir reiškia A tikimybę, kai įvykis B jau įvyksta.

Bendra tikimybė

Kai išmatuojama tikimybė, kad dar du įvykiai įvyks kartu ir tuo pačiu metu, ji pažymima kaip bendra tikimybė. Dviejų įvykių A ir B atveju jis žymimas bendra tikimybe žymima kaip, P(A∩B).

Atsitiktiniai kintamieji

Realios vertės kintamieji, kurių galimos reikšmės nustatomos atsitiktinių eksperimentų būdu, vadinami atsitiktiniais dydžiais. Tikimybė rasti tokius kintamuosius yra eksperimentinė tikimybė.

Bayes’o teoremos taikymas

Bajeso išvada yra labai svarbi ir buvo pritaikyta įvairiose veiklos srityse, įskaitant mediciną, mokslą, filosofiją, inžineriją, sportą, teisę ir kt., o Bajeso išvada yra tiesiogiai išvedama iš Bayes teoremos.

Pavyzdys: Bayes’o teorema apibrėžia medicininio tyrimo tikslumą, atsižvelgdama į tai, kokia tikimybė, kad žmogus susirgs, ir koks yra bendras tyrimo tikslumas.

Skirtumas tarp sąlyginės tikimybės ir Bayeso teoremos

Skirtumas tarp sąlyginės tikimybės ir Bayes teoremos gali būti suprantamas naudojant toliau pateiktą lentelę,

Bendrosios tikimybės teorema

Tegul E₁, IR₂, . . ., IR_nyra vienas kitą paneigiantys ir išsamūs įvykiai, susiję su atsitiktiniu eksperimentu, ir leidžia E būti įvykiu, kuris įvyksta su tam tikru E_i. Tada įrodyk tai

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 P(E/E _i ). P(E _j )

Įrodymas:

Tegul S yra pavyzdinė erdvė. Tada

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Vienas ir E_i∩ E_j= ∅, kai i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Todėl (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} yra poromis atskirti}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_n). P(E_n) [pagal daugybos teoremą]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1P(E/E_i). P(E_i)

Straipsniai, susiję su Bayes’o teorema

• Tikimybių pasiskirstymas
• Bayes’o sąlyginės tikimybės teorema
• Permutacijos ir deriniai
• Binominė teorema

Išvada – Bayes’o teorema

Bayes’o teorema siūlo galingą sistemą, leidžiančią atnaujinti hipotezės tikimybę, pagrįstą naujais įrodymais ar informacija. Įtraukus ankstesnes žinias ir atnaujinus jas stebimais duomenimis, Bayeso teorema leidžia priimti tikslesnius ir pagrįstus sprendimus įvairiose srityse, įskaitant statistiką, mašininį mokymąsi, mediciną ir finansus. Jo taikymo sritis apima nuo medicininės diagnostikos ir rizikos vertinimo iki šiukšlių filtravimo ir natūralios kalbos apdorojimo.

Bayeso teoremos supratimas ir taikymas leidžia mums geriau prognozuoti, įvertinti neapibrėžtumą ir gauti reikšmingų įžvalgų iš duomenų, o tai galiausiai pagerina mūsų gebėjimą priimti pagrįstus sprendimus sudėtingose ​​ir neapibrėžtose situacijose.

Taip pat patikrinkite:

žodynas c#

• Bayeso teorema duomenų gavyboje
• Bayeso teorema dirbtiniame intelekte
• Bayes teorema mašininiame mokyme

Bayes teoremos pavyzdžiai

1 pavyzdys: Asmuo ėmėsi darbo. Tikimybės, kad darbas bus atliktas laiku su lietumi ir be lietaus yra atitinkamai 0,44 ir 0,95. Jei tikimybė, kad lietus bus 0,45, nustatykite tikimybę, kad darbas bus atliktas laiku.

Sprendimas:

Tegul E₁būti tuo atveju, jei kasybos darbas bus baigtas laiku ir E₂kad lytų. Mes turime,

P(A) = 0,45,

P (be lietaus) = P (B) = 1 - P (A) = 1 - 0,45 = 0,55

Pagal tikimybės daugybos dėsnį,

P(E₁) = 0,44 ir P(E₂) = 0,95

Kadangi įvykiai A ir B sudaro imties erdvės S pertvaras, pagal bendrosios tikimybės teoremą turime

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Taigi tikimybė, kad darbas bus atliktas laiku, yra 0,7205

2 pavyzdys: yra trys urnos, kuriose yra 3 balti ir 2 juodi rutuliai; 2 balti ir 3 juodi rutuliukai; 1 juodas ir 4 balti rutuliai atitinkamai. Yra vienoda tikimybė, kad kiekviena urna bus pasirinkta. Atsitiktinai pasirinktas vienas kamuoliukas yra lygia tikimybė. kokia tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys?

Sprendimas:

Tegul E₁, IR₂, ir E₃būti atitinkamai pirmosios, antrosios ir trečiosios urnos pasirinkimo įvykiai. Tada

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Tegu E yra įvykis, kai ištraukiamas baltas rutulys. Tada

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Pagal bendrosios tikimybės teoremą turime

P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

3 pavyzdys: Pameta kortelė iš 52 kortelių pakuotės. Iš likusių paketo kortelių ištraukiamos dvi kortos ir randama, kad abi yra širdys. Raskite tikimybę, kad pamesta korta yra širdis.

Sprendimas:

Tegul E₁, IR₂, IR_3,ir E₄Tai gali būti širdžių, lazdų, kastuvų ir deimantų kortos praradimo įvykiai.

Tada P (E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Tegu E yra įvykis, kai iš likusios 51 kortos ištraukiamos 2 širdelės. Tada

P(E|E₁) = tikimybė nupiešti 2 širdeles, atsižvelgiant į tai, kad trūksta širdelių kortelės

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = tikimybė ištraukti 2 lazdas, atsižvelgiant į tai, kad trūksta lazdų kortelės

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = tikimybė ištraukti 2 kastuvus, atsižvelgiant į tai, kad trūksta širdžių kortelės

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = tikimybė ištraukti 2 deimantus, atsižvelgiant į tai, kad trūksta deimantų kortelės

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Todėl,

arp komanda

P(E₁|E) = tikimybė, kad pamesta korta yra širdis, nes 2 širdelės ištraukiamos iš likusios 51 kortos

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Vadinasi, reikalinga tikimybė yra 0,22.

4 pavyzdys: Tarkime, 15 vyrų iš 300 vyrų ir 25 moterys iš 1000 yra geri oratoriai. Oratorius parenkamas atsitiktinai. Raskite tikimybę, kad bus pasirinktas vyras. Tarkime, kad vyrų ir moterų yra vienodai.

Sprendimas:

Gievnas,

• Iš viso vyrų = 300
• Iš viso moterų = 1000
• Geri oratoriai tarp vyrų = 15
• Geri oratoriai tarp moterų = 25

Bendras gerų oratorių skaičius = 15 (iš vyrų) + 25 (iš moterų) = 40

Tikimybė pasirinkti vyrą oratorių:

P (vyrų oratorius) = oratorių vyrų skaičius / bendras oratorių skaičius = 15/40

5 pavyzdys: žinoma, kad vyras meluoja 1 kartą iš 4. Jis meta kauliuką ir praneša, kad tai šešetas. Raskite tikimybę, kuri iš tikrųjų yra šeši.

Sprendimas:

kiek 0 iš milijardo

Metant kauliuką, tegul

IR₁= šešetuko gavimo įvykis,

IR₂= įvykis, kai negavo šešių ir

E = įvykis, kai vyras praneša, kad tai šeši.

Tada P (E₁) = 1/6 ir P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = tikimybė, kad vyras praneš, kad įvyksta šeši, kai iš tikrųjų įvyko šeši

⇒ P(E|E₁) = tikimybė, kad vyras kalba tiesą

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = tikimybė, kad vyras praneš, kad šeši įvyksta, kai šeši iš tikrųjų neįvyko

⇒ P(E|E₂) = tikimybė, kad vyras nesako tiesos

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Tikimybė gauti šešis, atsižvelgiant į tai, kad vyras praneša, kad jis yra šeši

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [pagal Bayeso teoremą]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Vadinasi, reikalinga tikimybė yra 3/8.

DUK apie Bayeso teoremą

Kas yra Bayeso teorema?

Bayes, teorema, kaip rodo pavadinimas, yra matematinė teorema, naudojama norint rasti įvykio sąlygiškumo tikimybę. Sąlyginė tikimybė yra įvykio, kuris įvyks ateityje, tikimybė. Jis apskaičiuojamas pagal ankstesnius įvykių rezultatus.

Kada naudojama Bayeso teorema?

Bayes’o teorema turi platų pritaikymo spektrą, ypač srityse, kuriose sprendžiamos tikimybės, remiantis naujais duomenimis. Bayes taisyklė leidžia apskaičiuoti užpakalinė (arba atnaujinta) tikimybė. Jis naudojamas sąlyginei įvykių tikimybei apskaičiuoti.

Kokie yra pagrindiniai terminai norint suprasti Bayeso teoremą?

Kai kurie pagrindiniai terminai yra šie:

• Ankstesnė tikimybė (P(A))
• Užpakalinė tikimybė (P(A | B))
• Tikimybė (P(B | A))
• Ribinė tikimybė (P(B))

Kada naudoti Bayeso teoremą?

Bayes’o teorema taikoma, kai pateikiama sąlyginė įvykio tikimybė, ji naudojama norint rasti atvirkštinę įvykio tikimybę.

Kuo Bayes’o teorema skiriasi nuo sąlyginės tikimybės?

Bayes’o teorema naudojama įvykio tikimybei apibrėžti remiantis ankstesnėmis įvykio sąlygomis. Tuo tarpu Bayes teorema naudoja sąlyginę tikimybę, kad surastų atvirkštinę įvykio tikimybę.

Kokia yra Bayeso teoremos formulė?

Bayes teoremos formulė paaiškinta žemiau,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)