Simbolių rinkinys yra bendras terminas, vartojamas visiems simboliams, naudojamiems aibių teorijoje, kuri yra matematikos šaka, nagrinėjanti objektų rinkimą ir įvairias jų savybes. Rinkinys yra tiksliai apibrėžta objektų rinkinys, kuriame kiekvienas kolekcijos objektas vadinamas elementu, o kiekvienas rinkinio elementas atitinka labai specifinę taisyklę. Paprastai aibėms žymėti naudojamos didžiosios anglų abėcėlės raidės, o kai kurios raidės žymi tam tikrus konkrečius rinkinius aibių teorijoje.
Šios matematikos šakos studijoje naudojama daug simbolių, kai kurie dažniausiai naudojami simboliai yra {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø ir tt Visus šiuos simbolius išsamiai aptarsime straipsnyje. įskaitant ir šių simbolių istoriją. Taigi, pradėkime kelionę, kad sužinotume apie įvairius rinkinių simbolius, naudojamus aibių teorijoje.
Turinys
- Kas yra rinkinio simboliai?
- Simbolių rinkinių istorija
- Pagrindinės rinkinių simbolių sąvokos
- Nustatykite simbolius matematikoje
- Aibių teorijos simboliai
- Išspręsti simbolių rinkinio pavyzdžiai
- Praktikuokite simbolių rinkinio klausimą
- DUK
Kas yra rinkinio simboliai?
Simbolių rinkinys yra pagrindiniai matematikos elementai, naudojami objektų, skaičių ar elementų, turinčių panašias savybes, grupėms pavaizduoti ir apibūdinti. Šie simboliai siūlo aiškų ir nuoseklų požiūrį į sudėtingas idėjas apie rinkinius ir jų sąveiką. Tipiškiausias rinkinio simbolis yra ∈, kuris reiškia narystę ir tariamas kaip priklauso. ∈ rodo, kad elementas yra tam tikros aibės dalis.
Priešingai, ∉ reiškia, kad elementas nėra aibės dalis. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ ir tt yra keletas bendrų simbolių pavyzdžių aibių teorijoje. Šie ir kiti simboliai leidžia matematikams apibrėžti operacijas, nurodyti operacijas ir suformuluoti tikslius matematinius teiginius, padėdami pagrindus įvairioms matematinėms specialybėms ir praktiniam naudojimui.
Skaityti daugiau apie Aibių teorija .
Simbolių rinkinio pavyzdys
Kaip iliustraciją naudokime simbolį, kuris reiškia aibių sankirtą. Tegul E ir F yra dvi aibės, kuriose aibė E = {1, 3, 5, 7} ir aibė F = {3, 6, 9}. Tada simbolis ∩ reiškia abiejų rinkinių sankirtą, ty E ∩ F.
Čia E ∩ F yra visi elementai, kurie yra bendri abiejose aibėse E ir F, ty {3}.
Apibendrinant galima pasakyti, kad simbolis ∩ naudojamas identifikuoti elementus, kuriuos dalijasi du ar daugiau rinkinių. Sankirta sukuria tik rinkinius, kurių elementus dalijasi visi susikertami rinkiniai.
Išmokti daugiau apie Aibių sankirta .
Simbolių rinkinių istorija
1874–1897 metais paskambino vokiečių matematikas Georgas Ferdinandas Liudvikas Filipas Kantoras sukūrė abstrakčią teoriją, pavadintą Aibių teorija. Jis pasiūlė tai tyrinėdamas kai kuriuos faktinius klausimus, susijusius su konkrečiomis begalinių realiųjų skaičių rinkinių formomis. Aibė, pagal sąvoką, yra tam tikrų apibrėžtų ir skirtingų stebėjimo objektų grupė. Visi šie dalykai vadinami rinkinio nariais arba komponentais. Tikrųjų algebrinių skaičių kombinacijų savybė yra Kantoro teorijos pagrindas.
Pagrindinės rinkinių simbolių sąvokos
Įvairiuose mokymo lygiuose aibių teorijoje nagrinėjamos įvairios idėjos. Aibės vaizdavimas, aibių tipai, aibės operacijos (pvz., jungtis ir sankirta), aibės kardinalumas ir santykiai ir t. t. yra viena iš esminių sąvokų. Kai kurios esminės aibių teorijos sąvokos yra šios:
Universalus rinkinys
Didžioji raidė „U“ dažniausiai naudojama universaliam rinkiniui reikšti. Taip pat kartais jį simbolizuoja ε (epsilon). Tai rinkinys, kuriame yra visi kitų rinkinių elementai, taip pat jo paties.
Rinkinio papildymas
Aibės papildinys apima visas universaliojo rinkinio sudedamąsias dalis, išskyrus tiriamos rinkinio elementus. Jei A yra aibė, tada jos papildiniuose bus visi nurodytos universalios aibės (U) nariai, kurie neįtraukti į A. Aibės papildinys nurodomas arba išreiškiamas kaip A' arba Acir apibrėžiamas taip:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Skaityti daugiau apie Rinkinio papildymas .
Nustatykite kūrėjo žymėjimą
„Set Builder“ žymėjimas yra būdas pateikti rinkinius tokiu būdu, kad kai nereikia išvardyti visų rinkinio elementų, tereikia nurodyti taisyklę, kuria vadovaujasi visi rinkinio elementai. Keletas šių žymėjimų pavyzdžių:
Jei A yra realiųjų skaičių rinkinys.
A = {x : x ∈ R}
Jei A yra natūraliųjų skaičių rinkinys.
A = {x : x> 0 ir x ∈ Z]
Kur SU yra sveikųjų skaičių rinkinys.
Skaityti daugiau, Rinkinių vaizdavimas .
Nustatykite simbolius matematikoje
Norėdami nurodyti įvairius dalykus ir sumas, rinkinio simbolis dažnai naudoja iš anksto nustatytą kintamųjų simbolių sąrašą. Norėdami skaityti ir kurti rinkinio užrašus, pirmiausia turite suprasti, kaip naudoti simbolius įvairiose situacijose. Pažvelkime į visas šios kategorijos aibių teorijos žymes ir simbolius, susijusius su operacijomis, santykiais ir pan., kartu su jų reikšmėmis ir pavyzdžiais.
Skaičių sistemoje naudojami simboliai
Skaičių sistemose naudojami simboliai pateikti žemiau esančioje lentelėje:
| Simbolis | vardas | Reikšmė / apibrėžimas | Pavyzdys |
|---|---|---|---|
| W arba 𝕎 | Sveiki skaičiai | Tai yra natūralieji skaičiai. | Žinome, kad N = {1, 2, 3, . . . } 1∈ N |
| N arba ℕ | Natūralūs skaičiai | Natūralūs skaičiai kartais vadinami skaičiavimo skaičiais, kurie prasideda 1. | Mes žinome, kad W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z arba ℤ | Sveikieji skaičiai | Sveikieji skaičiai yra palyginami su sveikaisiais skaičiais, išskyrus tai, kad jie taip pat apima neigiamas reikšmes. | Žinome, kad Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q arba ℚ | Racionalūs numeriai | Racionalieji skaičiai yra tie, kurie nurodomi kaip a/b. Šiuo atveju a ir b yra sveikieji skaičiai, kurių b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z ir b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P arba ℙ | Neracionalūs skaičiai | Tie skaičiai, kurių negalima pavaizduoti a/b forma, vadinami neracionaliaisiais skaičiais, t.y. visi realieji skaičiai, kurie nėra racionalūs. velykiniai kiaušiniai android | P = x π ir ∈ P |
| R arba ℝ | Tikrieji skaičiai | Sveiki skaičiai, racionalieji skaičiai ir neracionalieji skaičiai sudaro realius skaičius. | R = x 6,343434 ∈ R |
| C arba ℂ | Sudėtingi skaičiai | Kompleksinis skaičius yra tikrojo ir įsivaizduojamo skaičiaus derinys. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 i ∈ C |
Aibių teorijos simboliai
Skirstytuvai yra specialūs simboliai arba simbolių sekos, nurodančios tam tikro teiginio ar nurodytos rinkinio funkcijos teksto pradžią arba pabaigą. Toliau pateikiami skyriklių rinkinių teorijos simboliai ir reikšmės:
| Simbolis | vardas | Reikšmė / apibrėžimas | Pavyzdys |
|---|---|---|---|
| {} | Nustatyti | Šiuose skliausteliuose yra krūva elementų / skaičių / abėcėlių rinkinyje. | {15, 22, c, d} |
| | | Tokia kad | Jie naudojami rinkiniui sudaryti, nurodant, kas jame yra. | q> 6 Teiginys nurodo visų q rinkinį, kad q būtų didesnis nei 6. |
| : | Tokia kad | Simbolis : kartais naudojamas vietoj | simbolis. | Aukščiau pateiktas sakinys gali būti parašytas kaip q . |
Aibės ir santykiniai simboliai aibių teorijoje
Aibių teorijos simboliai naudojami identifikuoti konkrečią aibę, taip pat nustatyti / parodyti ryšį tarp atskirų aibių arba santykių aibėje, pvz., ryšį tarp aibės ir jos sudedamosios dalies. Žemiau esančioje lentelėje pavaizduoti tokie santykių simboliai kartu su jų reikšmėmis ir pavyzdžiais:
| Simbolis | vardas | Reikšmė / apibrėžimas | Pavyzdys |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | Yra sudedamoji dalis | Tai nurodo, kad elementas yra tam tikros rinkinio narys. | Jei aibė A={12, 17, 18, 27}, galime sakyti, kad 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Nėra komponentas | Tai rodo, kad elementas nepriklauso tam tikram rinkiniui. | Jei aibė B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, tai joks kitas elementas, išskyrus esantį aibėje, šiai aibei nepriklauso. Pavyzdžiui, 18 ∉ B. |
| A = B | Lygybės santykiai | Pateikti rinkiniai yra lygiaverčiai ta prasme, kad juose yra tie patys komponentai. | Jei įdėsite P={16, 22, a} ir Q={16, 22, a}, tada P=Q. |
| A ⊆ B | Poaibis | Kai visi A elementai yra B, A yra B poaibis. | A= {31, b} ir B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Tinkamas pogrupis | Sakoma, kad P yra tinkamas B poaibis, kai jis yra B poaibis ir nėra lygus B. | A= {24, c} ir B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Ne poaibis | Dėl to aibė A nėra aibės B poaibis. | A = {67,52} ir B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A⊇ B | Superset | A yra B viršaibis, jei aibė B yra A poaibis. Aibė gali būti tokia pati arba didesnė už aibę B. | A = {14, 18, 26} ir B = {14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Tinkamas Superset | Aibėje A yra daugiau elementų nei aibėje B, nes ji yra B superaibė. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Ne Superset | Kai A nėra visų B elementų, A nėra tikras B superaibė. | A = {11, 12, 16} ir B = {11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Tuščias rinkinys | Tuščias arba nulinis rinkinys yra toks, kuriame nėra jokių elementų. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| IN | Universalus rinkinys | Rinkinys, kuriame yra elementų iš visų susijusių rinkinių, įskaitant savo. | Jei A = {a,b,c} ir B = {1,2,3,b,c}, tada U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| arba n{A} | Rinkinio kardinalumas | Kardinalumas reiškia daiktų skaičių konkrečioje kolekcijoje. | Jei A= {17, 31, 45, 59, 62}, tada |A|=5. |
| P(X) | Maitinimo rinkinys | Galios aibė yra visų X aibės poaibių rinkinys, įskaitant pačią aibę ir nulinę aibę. | Jei X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Operatoriumi pagrįsti simboliai aibių teorijoje
Su pavyzdžiais išnagrinėsime aibių teorijos simbolius ir reikšmes daugeliui operacijų, tokių kaip sąjunga, papildymas, sankirta, skirtumas ir kt.
| Simbolis | vardas | Reikšmė / apibrėžimas | Pavyzdys |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Rinkinių sąjunga | Rinkinių sąjunga sukuria visiškai naują rinkinį, sujungdama visus pateiktų rinkinių komponentus. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} python programavimo operatoriai A ∪ B (A jungtis B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Aibių sankirta | Bendras abiejų rinkinių komponentas yra įtrauktas į sankirtą. | A = { 4, 8, a, b} ir B = {3, 8, c, b}, tada A ∩ B = {8, b} |
| XcARBAX' | Rinkinio papildymas | Rinkinio papildymas apima visus dalykus, kurie nepriklauso pateiktam rinkiniui. | Jei A yra universali aibė, o A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} ir B = {13, 15, 17, 18, 19}, tada X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A-B | Nustatyti skirtumą | Skirtumų rinkinys yra rinkinys, kuriame yra elementų iš vieno rinkinio, kurių nėra kitame. | A = {12, 13, 15, 19} ir B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Dekartinis rinkinių produktas | Dekartinis produktas yra užsakytų rinkinių komponentų produktas. | A = {4, 5, 6} ir B = {r} Dabar A × B = {(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Simetrinis aibių skirtumas | A Δ B = (A – B) U (B – A) žymi simetrinį skirtumą. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Skaityti daugiau
- Rinkinių tipai
- Operacija rinkiniuose
Išspręsti simbolių rinkinio pavyzdžiai
1 pavyzdys. Duotos dvi aibės, kurių P={21, 32, 43, 54, 65, 75} ir Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}, kokia yra P∪Q reikšmė?
Atsakymas:
P = {21, 32, 43, 54, 65, 75} ir Q = {21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
2 pavyzdys: kokia yra |Y| reikšmė jei Y = {13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Atsakymas:
|Y| = Aibės kardinalumas = aibės elementų skaičius yra sprendimas.
|Y| = n(Y)=6, nes aibėje Y yra 6 elementai.
3 pavyzdys. Duotos dvi aibės su reikšmėmis P={a,c,e} ir Q={4,3}, nustatykite jų Dekarto sandaugą.
Atsakymas:
Dekarto sandauga = P × Q
Jei P={b, d, f} ir Q={5, 6}
Tada P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d) ,6), (b,5), (d,6)}
4 pavyzdys: Tarkime, kad P = {x: x yra natūralusis skaičius ir 24 kartotinis, o Q = {x: x yra natūralusis skaičius, mažesnis nei 8}. Nustatykite P ∪ Q.
Atsakymas:
Turint omenyje
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
kaip pasiekti icloud nuotraukasQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Dėl to P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
5 pavyzdys: tarkime, kad P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Rasti (P ∩ Q)'.
Atsakymas:
Duota, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Todėl,
(P ∩ Q)' = {3, 5, 6, 7, 8}
6 pavyzdys: jei P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} ir Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, nustatykite
(i) P-Q ir (ii) P-Q.
Atsakymas:
Atsižvelgiant į
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} ir Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Simbolių rinkinių praktikos klausimai
Klausimas 1: Atsižvelgiant į rinkinius:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Nustatykite elementus aibių A ir B sąjungoje.
2 klausimas: Panagrinėkime rinkinius:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Raskite aibių X ir Y sankirtą.
3 klausimas: Tarkime, kad turite rinkinius:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Apskaičiuokite elementus aibėje P – Q, taip pat Q – P.
4 klausimas: Tarkime, kad turite rinkinius:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Sužinokite, ar aibė V yra aibės U poaibis.
5 klausimas: Apsvarstykite rinkinius:
- S = {obuoliai, bananas, apelsinas, kriaušė}
- T = {kriaušė, mangas, vyšnia}
Raskite aibių S ir T Dekarto sandaugą.
6 klausimas: Tarkime, kad turite universalų rinkinį:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Ir rinkiniai:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Apskaičiuokite aibės E ir F papildinį universaliosios aibės U atžvilgiu.
DUK apie rinkinių simbolius
1. Nustatyti simbolį.
Aibės simbolis yra šaka, tirianti esybių/skaičių/objektų grupes, jų ryšius su kitomis aibėmis, įvairias operacijas (sąjungą, sankirtą, papildymą ir skirtumą) ir susijusius požymius.
2. Ką reiškia šis simbolis ⊆?
Simbolis ⊆ reiškia yra poaibis. Poaibis yra aibė, kurios elementai buvo pridėti taip, tarsi jie visi būtų kito rinkinio elementai.
3. Ką reiškia ∪ aibėse?
„∪“ yra nustatytos sąjungos ženklas. A ∪ B yra aibė, kurioje yra visi aibių A ir B elementai.
4. Ką reiškia P = Q?
Jei aibė P lygi aibei Q, tai P ir Q nariai yra vienodi. Pavyzdžiui:
P = {4,5,6} ir Q = {6,5,4}
Dėl to P = Q.
5. Ką matematikoje reiškia ∩?
„∩“ reiškia dviejų rinkinių sąjungą. A ∩ B yra rinkinys, kuriame yra elementų, kuriuos dalijasi ir A, ir B.
6. Kas yra ∈ aibėse?
∈ yra ženklas, reiškiantis „priklauso“. Jei b ∈ B, tai reiškia, kad b yra B elementas.
7. Kokia yra aibė N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} žinomas kaip?
Natūraliųjų skaičių aibė apibrėžiama kaip N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Jame yra visi teigiami skaičiai nuo 1 iki begalinio skaičiaus. Ši kolekcija yra labai svarbi matematikai ir suteikia pagrindą tvarkant ir skaičiuojant.
8. Kas yra A × B aibėse?
Aibių A ir B Dekarto sandauga aibės simbolyje rodoma kaip A x B. Tai aibė, apimanti visas įmanomas sutvarkytas poras, kuriose pirmasis elementas paimamas iš rinkinio A, o antrasis iš rinkinio B.
9. Kaip skaitysite A ∩ B?
A∩B tariamas A sankirta B. Tai aibė, kurioje yra elementų, bendrų abiejose aibėse.
10. Ką aibės teorijoje reiškia Ø?
Aibių teorijoje tuščios aibės, kurioje nėra elementų, idėja žymima simboliu Ø (tariama tuščia aibė).
11. Kas yra AUB?
AUB matematikoje reiškia aibių A ir B sąjungą. Tai aibė, apimanti kiekvieną elementą iš aibių A ir B.
12. Ar ∅ yra tas pats, kas {}?
Taip, ∅ ir {} matematikoje reiškia tuščią aibę. Taigi abu yra skirtingi to paties dalyko žymėjimai.