Trigonometrijos formulės yra lygtys, susiejančios trikampių kraštines ir kampus. Jie būtini sprendžiant daugybę matematikos, fizikos, inžinerijos ir kitų sričių uždavinių.

Štai keletas dažniausiai naudojamų trigonometrinių formulių tipų:

• Pagrindiniai apibrėžimai: Šios formulės apibrėžia trigonometrinius santykius (sinusą, kosinusą, liestinę ir kt.) stačiojo trikampio kraštinėmis.
• Pitagoro teorema: Ši teorema susieja stačiojo trikampio kraštinių ilgius.
• Kampiniai santykiai: Šios formulės susieja skirtingų kampų trigonometrinius santykius, pvz., sumos ir skirtumo formules, dvigubo kampo formules ir pusės kampo formules.
• Abipusės tapatybės: Šios formulės išreiškia vieną trigonometrinį santykį kitokiu, pvz., sin(θ) = 1/coc(θ).
• Vieneto ratas: Vieneto apskritimas yra grafinis trigonometrinių santykių atvaizdas ir gali būti naudojamas daugeliui kitų formulių gauti.
• Sinusų dėsnis ir kosinusų dėsnis: Šie dėsniai susiję su bet kurio trikampio kraštinėmis ir kampais, o ne tik su stačiu trikampiu.

Skaitykite toliau, kad sužinotumėte apie skirtingas trigonometrines formules ir tapatybes, išspręstus pavyzdžius ir praktikos problemas.

Turinys

• Kas yra trigonometrija?
• Trigonometrijos formulės apžvalga
• Pagrindiniai trigonometriniai santykiai
• Trigonometrinės tapatybės
• Trigonometrijos formulių sąrašas

Kas yra trigonometrija?

Trigonometrija apibrėžiama kaip matematikos šaka, orientuota į santykių, susijusių su trikampių ilgiais ir kampais, tyrimą. Trigonometrija susideda iš įvairių problemų, kurias galima išspręsti naudojant trigonometrines formules ir tapatybes.

Trigonometrinės funkcijos

Trigonometrinės funkcijos yra matematinės funkcijos, susiejančios stačiojo trikampio kampus su jo kraštinių ilgiais. Jie plačiai taikomi įvairiose srityse, tokiose kaip fizika, inžinerija, astronomija ir kt. Pagrindinės trigonometrinės funkcijos yra sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, sekantas ir kosekantas.

Trigonometrijos formulės apžvalga

Trigonometrijos formulės yra matematinės išraiškos, susiejančios a kampus ir kraštines Taisyklingas trikampis . Yra 3 kraštinės stačiakampis trikampis yra pagamintas iš:

• Hipotenuzė : Tai ilgiausia stačiakampio trikampio kraštinė.
• Statmena / priešinga pusė : Tai kraštinė, kuri sudaro stačią kampą nurodyto kampo atžvilgiu.
• Bazė : Pagrindas reiškia gretimą pusę, kurioje yra sujungta ir hipotenuzė, ir priešinga pusė.

Trigonometrijos santykis

9, 10, 11, 12 klasių mokiniams čia trumpai pateikti visi trigonometriniai santykiai, sandaugų tapatybės, pusės kampo formulės, dvigubo kampo formulės, sumos ir skirtumo tapatybės, kofunkcijos tapatybės, santykio ženklas skirtinguose kvadrantuose ir kt. .

kas yra desktop.ini

Čia yra trigonometrijos formulių, kurias aptarsime, sąrašas:

• Pagrindinės trigonometrinio santykio formulės
• Vieneto apskritimo formulės
• Trigonometrinės tapatybės

Pagrindiniai trigonometriniai santykiai

Trigonometrijoje yra 6 santykiai. Tai vadinama trigonometrinėmis funkcijomis. Žemiau yra sąrašas trigonometriniai santykiai , įskaitant sinusą, kosinusą, sekantą, kosekantą, liestinę ir kotangentą.

Vieneto apskritimo formulė trigonometrijoje

Vienetiniam apskritimui, kurio spindulys lygus 1, i yra kampas. Hipotenuzės ir pagrindo reikšmės lygios vienetinio apskritimo spinduliui.

Hipotenūza = gretima pusė (pagrindas) = ​​1

Trigonometrijos koeficientai pateikiami taip:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• vaikiška lovelė θ = x/y
• sek θ = 1/x
• cosec θ = 1/m

Trigonometrinių funkcijų diagrama

Trigonometrinės tapatybės

Ryšys tarp trigonometrinių funkcijų išreiškiamas trigonometrinėmis tapatybėmis, kartais vadinamomis trigonometrinėmis tapatybėmis arba trigonų formulėmis. Jie išlieka teisingi visoms juose esančių priskirtų kintamųjų realiųjų skaičių reikšmėms.

• Abipusės tapatybės
• Pitagoro tapatybės
• Periodiškumo tapatybės (radianais)
• Lyginio ir nelyginio kampo formulė
• Bendrosios funkcijos tapatybės (laipsniais)
• Sumos ir skirtumo tapatybės
• Dvigubo kampo tapatybės
• Atvirkštinės trigonometrijos formulės
• Trijų kampų tapatybės
• Pusės kampo tapatybės
• Suma iki produkto tapatybės
• Produkto tapatybės

Išsamiai aptarkime šias tapatybes.

Abipusės tapatybės

Visos abipusės tapatybės gaunamos naudojant stačiakampį trikampį kaip atskaitą. Abipusės tapatybės yra šios:

• cosec θ = 1/sin θ
• sek θ = 1/cos θ
• vaikiška lovelė θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• įdegio θ = 1/lovytė θ

Pitagoro tapatybės

Pagal Pitagoro teoremą, stačiakampio trikampio atveju, jei „c“ yra hipotenuzė, o „a“ ir „b“ yra dvi kojos, tada c2 = a2 + b2. Pitagoro tapatybes galime gauti naudodami šią teoremą ir trigonometrinius santykius. Naudojame šias tapatybes, norėdami konvertuoti vieną suaktyvinimo koeficientą į kitą .

• be²θ + cos²θ = 1
• 1 + taip²θ = sek²i
• 1 + vaikiška lovelė²θ = kosek²i

Trigonometrijos formulių diagrama

Periodiškumo tapatybės (radianais)

Šios tapatybės gali būti naudojamos kampams perkelti π/2, π, 2π ir tt Tai taip pat žinoma kaip bendros funkcijos tapatybės.

Visi trigonometrinės tapatybės pasikartoja po tam tikro laikotarpio. Taigi jie yra cikliški. Skirtingoms trigonometrinėms tapatybėms šis reikšmių pasikartojimo laikotarpis yra skirtingas.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A ir cos (2π + A) = cos A

Čia yra lentelė, kurioje palyginamos skirtingų kvadrantų trigonometrinės savybės:

Lyginio ir nelyginio kampo formulė

Lyginio ir nelyginio kampo formulės , taip pat žinomos kaip lyginės ir nelyginės tapatybės, naudojamos neigiamų kampų trigonometrinėms funkcijoms išreikšti teigiamais kampais. Šios trigonometrinės formulės yra pagrįstos lyginių ir nelyginių funkcijų savybėmis.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sek(-θ) = sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Bendrosios funkcijos tapatybės (laipsniais)

Bendrosios funkcijos tapatybės suteikia mums ryšį tarp įvairių trigonometrinių funkcijų. Bendra funkcija čia išvardyta laipsniais:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• įdegis (90°−x) = vaikiška lovelė x
• lovelė(90°−x) = įdegis x
• sek(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sek x

Sumos ir skirtumo tapatybės

Sumos ir skirtumo tapatybės yra formulės, kurios susieja dviejų kampų sumos arba skirtumo sinusą, kosinusą ir liestinę su atskirų kampų sinusais, kosinusais ir liestinėmis.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y).
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dvigubo kampo tapatybės

Dvigubo kampo tapatybės yra formulės, išreiškiančios trigonometrines kampų funkcijas, kurios yra dvigubai didesnės už tam tikro kampo matą, atsižvelgiant į pradinio kampo trigonometrines funkcijas.

• sin (2x) = 2sin (x) • cos (x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – be²(x) = [(1 – įdegis²x)/(1 + įdegis²x)] = 2 cos²(x) – 1 = 1 – 2 nuodėmė²(x)
• įdegis (2x) = [2tan(x)]/ [1 – įdegis²(x)]
• sek. (2x) = sek²x/(2 – sek²x)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Atvirkštinės trigonometrijos formulės

Atvirkštinės trigonometrijos formulės yra susijusios su atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis, kurios yra pagrindinių trigonometrinių funkcijų atvirkštinės vertės. Šios formulės naudojamos norint rasti kampą, atitinkantį nurodytą trigonometrinį santykį.

• be ^-1 (–x) = – nuodėmė ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• taip ^-1 (–x) = – taigi ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – kosek ^-1 x
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 x
• vaikiška lovelė ^-1 (–x) = π – vaikiška lovelė ^-1 x

Trijų kampų tapatybės

Trijų kampų tapatybės yra formulės, naudojamos trigonometrinėms trigubų kampų (3θ) funkcijoms išreikšti pavienių kampų (θ) funkcijomis. Šios trigonometrinės formulės yra naudingos supaprastinant ir sprendžiant trigonometrines lygtis, kuriose yra trigubai kampai.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

kiek sveria kat timpf

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Pusės kampo tapatybės

Pusės kampo tapatybės yra tos trigonometrinės formulės, kurios naudojamos norint rasti pusės nurodyto kampo sinusą, kosinusą arba tangentą. Šios formulės naudojamos trigonometrinėms puskampių funkcijoms išreikšti pradinio kampo atžvilgiu.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Taip pat

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

centrinis css mygtukas

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Suma iki produkto tapatybės

Sumos ir produkto tapatybės yra trigonometrinės formulės, padedančios mums išreikšti trigonometrinių funkcijų sumas arba skirtumus kaip trigonometrinių funkcijų sandaugas.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + jaukus = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − jaukus = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Produkto tapatybės

Produkto tapatybės, taip pat žinomos kaip produkto ir sumos tapatybės, yra formulės, leidžiančios išreikšti trigonometrinių funkcijų sandaugas kaip trigonometrinių funkcijų sumas arba skirtumus.

Šios trigonometrinės formulės yra išvestos iš sinuso ir kosinuso sumos ir skirtumo formulių.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Trigonometrijos formulių sąrašas

Toliau pateiktoje lentelėje pateikiami pagrindiniai trigonometriniai kampai, tokie kaip 0°, 30°, 45°, 60° ir 90°, kurie dažniausiai naudojami problemoms spręsti.

Išspręsti Trigonometrijos formulės klausimai

Štai keletas išspręstų trigonometrijos formulių pavyzdžių, kurie padės geriau suprasti sąvokas.

1 klausimas: jei cosec θ + cot θ = x, raskite cosec θ – cot θ reikšmę, naudodami trigonometrinę formulę.

Sprendimas:

cosec θ + cot θ = x

Mes žinome, kad cosec²θ+ vaikiška lovelė²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

2 klausimas: naudodami trigonometrines formules parodykite, kad įdegis 10° įdegis 15° įdegis 75° įdegis 80° =1

Sprendimas:

Mes turime,

L.H.S = įdegis 10 ° taigi 15 ° taigi 75 ° taigi 80 °

= įdegis (90–80) ° taigi 15 ° įdegis (90–15) ° taigi 80 °

= vaikiška lovelė 80 ° taigi 15 ° lova 15 ° taigi 80 °

=(lovytė 80 ° * taigi 80 ° ) (15 vaikiška lovelė ° * taigi 15 ° )

= 1 = R.H.S

3 klausimas: jei sin θ cos θ = 8, suraskite (sin θ + cos θ) reikšmę ² naudojant trigonometrines formules.

Sprendimas:

(sin θ + cos θ)²

kada buvo išrasta mokykla

= be²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2 (8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

4 klausimas: Trigonometrinių formulių pagalba įrodykite, kad (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Sprendimas:

L.H.S = (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1)

= [(tan θ + sek θ) – (sek²θ – taip²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Nuo, sek²θ – taip²θ = 1]

internetinės bankininkystės trūkumai

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 – sek θ + tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (tan θ – sek θ + 1)}/(tan θ – sek θ + 1)

= tan θ + sek θ

= (sin θ / cos θ) + (1 / cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Įrodytas.

DUK apie trigonometrines formules ir tapatybes

Kas yra trigonometrija?

Trigonometrija yra matematikos šaka, kurioje pagrindinis dėmesys skiriamas santykiams tarp trikampių kampų ir kraštinių, ypač stačiakampių trikampių.

Kokie yra trys pagrindiniai trigonometriniai santykiai?

• Sin A = statmena/ hipotenuzė
• Cos A = bazė/hipotenuzė
• Tan A = statmena / bazė

Kuriam trikampiui taikomos trigonometrinės formulės?

Stačiakampiams trikampiams taikomos trigonometrinės formulės.

Kokie yra pagrindiniai trigonometriniai santykiai?

Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas, sekantas ir kosekantas.

Kuriam kampui įdegio santykio reikšmė yra lygi lovos santykiui?

Jei vertė yra 45°, įdegis 45° = vaikiška lovelė 45° = 1.

Kas yra sin3x formulė?

Sin3x formulė yra 3sin x – 4 sin³x.