Trigonometrinės tapatybės yra įvairios tapatybės, kurios naudojamos supaprastinti įvairias sudėtingas lygtis, apimančias trigonometrines funkcijas. Trigonometrija yra matematikos šaka, nagrinėjanti santykį tarp trikampio kraštinių ir kampų. Šie ryšiai apibrėžiami kaip šeši santykiai, kurie vadinami trigonometriniai santykiai – sin, cos, tan, cot, sec ir cosec.

Išplėstiniu būdu tiriami ir kampai, sudarantys trikampio elementus. Logiškai mąstant, trikampio savybių aptarimas; trikampio sprendimas, fizinės problemos aukščių ir atstumų srityje naudojant trikampio savybes – visa tai yra tyrimo dalis. Taip pat pateikiamas trigonometrinių lygčių sprendimo būdas.

Turinys

• Kas yra trigonometrinės tapatybės?
• Trigonometrinių tapatybių sąrašas
• Abipusės trigonometrinės tapatybės
• Pitagoro trigonometrinės tapatybės
• Trigonometrinio santykio tapatybės
• Priešingų kampų trigonometrinės tapatybės
• Papildomų kampų tapatybės
• Papildomos kampų tapatybės
• Trigonometrinės funkcijos periodiškumas
• Sumos ir skirtumo tapatybės
• Dvigubo kampo tapatybės
• Pusės kampo formulės
• Dar kelios pusės kampo tapatybės
• Produkto sumos tapatybės
• Produktų tapatybės
• Trigubo kampo formulės
• Trigonometrinių tapatybių įrodymas
• Santykis tarp trikampio kampų ir kraštinių
• DUK apie trigonometrines tapatybes

Kas yra trigonometrinės tapatybės?

Lygtis, apimanti kampo trigonometrinius santykius, vadinama trigonometrine tapatybe, jei ji teisinga visoms kampo reikšmėms. Tai naudinga, kai trigonometrinės funkcijos yra įtrauktos į išraišką ar lygtį. Šeši pagrindiniai trigonometriniai santykiai yra sinusas, kosinusas, liestinė, kosekantas, sekantas ir kotangentas . Visi šie trigonometriniai santykiai apibrėžiami naudojant stačiojo trikampio kraštines, tokias kaip gretima kraštinė, priešinga kraštinė ir hipotenuzės pusė.

Trigonometrinės tapatybės

Trigonometrinių tapatybių sąrašas

Trigonometrijos tyrime, kuris apima visus trigonometrinius santykius, yra daug tapatybių. Šios tapatybės naudojamos įvairioms akademinio kraštovaizdžio ir realaus gyvenimo problemoms spręsti. Išmokime visas pagrindines ir išplėstines trigonometrines tapatybes.

Abipusės trigonometrinės tapatybės

Visuose trigonometriniuose santykiuose yra abipusis santykis tarp santykių poros, kuris pateikiamas taip:

• sin θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/sek θ
• sek θ = 1/cos θ
  
• įdegio θ = 1/lovytė θ
• vaikiška lovelė θ = 1/tan θ

Pitagoro trigonometrinės tapatybės

Pitagoro trigonometrinės tapatybės yra pagrįstos dešiniojo trikampio teorema arba Pitagoro teorema , ir yra tokie:

• be²θ + cos²θ = 1
• 1 + taip²θ = sek²i
• cosec²θ = 1 + vaikiška lovelė²i

Skaityti Daugiau apie Pitagoro trigonometrinės tapatybės .

Trigonometrinio santykio tapatybės

Įdegis ir lova yra apibrėžiami kaip sin ir cos santykis, kurį suteikia šios tapatybės:

• tan θ = sin θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sin θ

Priešingų kampų trigonometrinės tapatybės

Trigonometrijoje kampas, matuojamas pagal laikrodžio rodyklę, matuojamas neigiamu paritetu, o visi trigonometriniai santykiai, nustatyti neigiamam kampo lygiui, apibrėžiami taip:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• vaikiška lovelė (-θ) = -lova θ
• sek (-θ) = sek θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Papildomų kampų tapatybės

Papildomi kampai yra kampų pora, kurių matmenys sudaro 90°. Dabar papildomų kampų trigonometrinės tapatybės yra tokios:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• įdegis (90° – θ) = lovelė θ
• lovytė (90° – θ) = įdegis θ
• sek (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sek θ

Papildomos kampų tapatybės

Papildomi kampai yra kampų pora, kurių matmenys sudaro 180°. Dabar papildomų kampų trigonometrinės tapatybės yra:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• sek (180°- θ)= -sek θ
• įdegis (180°- θ) = -tan θ
• lovelė (180°- θ) = -lova θ

Trigonometrinės funkcijos periodiškumas

Trigonometrinės funkcijos tokios kaip sin, cos, tan, cot, sec ir cosec – visi yra periodiniai ir turi skirtingą periodiškumą. Šios trigonometrinio santykio tapatybės paaiškina jų periodiškumą.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• įdegis (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sek (n × 360° + θ) = sek θ
• sek (2nπ + θ) = sek θ
  
• lovelė (n × 180° + θ) = vaikiška lovelė θ
• vaikiška lovelė (nπ + θ) = lovelė θ

Kur, n ∈ SU, (Z = visų sveikųjų skaičių rinkinys)

Pastaba: sin, cos, cosec ir sec periodas yra 360° arba 2π radianų, o tan ir cot periodas yra 180° arba π radianų.

Sumos ir skirtumo tapatybės

Trigonometrinės sumos ir skirtumo tapatybės kampas apima tokias formules kaip sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) ir kt.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A nuodėmė B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A nuodėmė B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• įdegis (A+B) = (įdegis A + įdegis B)/(1 – įdegis A įdegis B)
• įdegis (A-B) = (įdegis A – įdegis B)/(1 + įdegis A įdegis B)

Pastaba: Nuodėmės (A+B), nuodėmės (A-B), cos (A+B) ir cos (A-B) tapatybės vadinamos Ptolemėjaus tapatybės .

Dvigubo kampo tapatybės

Naudodami trigonometrinius kampų sumos tapatumus, galime rasti naują tapatybę, kuri vadinama dvigubo kampo tapatybe. Norėdami rasti šias tapatybes, į kampų tapatybių sumą galime įdėti A = B. Pavyzdžiui,

a mes žinome, nuodėmė (A+B) = nuodėmė A cos B + cos A nuodėmė B

Pakeiskite A = B = θ iš abiejų pusių čia ir gausime:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Panašiai,

• cos 2θ = cos ² θ – nuodėmė ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – nuodėmė ² i
• įdegis 2θ = (2tanθ)/(1 – įdegis ² i)

Skaityti Daugiau apie Dvigubo kampo tapatybės .

Pusės kampo formulės

Naudojant dvigubo kampo formules, galima apskaičiuoti pusės kampo formules. Norėdami apskaičiuoti pusės kampo formules, pakeiskite θ į θ/2, tada,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Skaityti Daugiau apie Pusės kampo tapatybės .

Dar kelios pusės kampo tapatybės

Išskyrus aukščiau paminėtas tapatybes, yra dar keletas pusiau kampo tapatybių, kurios yra tokios:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Produkto sumos tapatybės

Šios tapatybės nurodo ryšį tarp dviejų trigonometrinių santykių sumos ir dviejų trigonometrinių santykių sandaugos.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Produktų tapatybės

Produkto tapatybės susidaro, kai pridedame du kampų tapatybių sumą ir skirtumą, ir yra tokios:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Trigubo kampo formulės

Išskyrus dvigubo ir pusės kampo formules, yra trigonometrinių santykių, kurie yra apibrėžti trigubu kampu, tapatybės. Šios tapatybės yra tokios:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Skaityti Daugiau apie Trijų kampų tapatybės .

Trigonometrinių tapatybių įrodymas

Įrodykite, kad bet koks smailusis kampas θ

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . cotθ = 1
4. be ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + taip ² θ = sek ² i
6. 1 + vaikiška lovelė ² θ = kosek ² i

Įrodymas:

Apsvarstykite stačiakampį △ABC, kuriame ∠B = 90°

Tegu AB = x vienetai, BC = y vienetai ir AC = r vienetai.

Tada

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Tada pagal Pitagoro teoremą turime

x²+ ir²= r².

Dabar

(4) be²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= ( ir²/r²+ x²/r²)

= (x²+ ir²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ ir²= r²]

be ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + taip²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/x²= (ir²+ x²)/x²= r²/x²[x²+ ir²= r²]

(r/x)²= sek²i

∴ 1 + įdegis ² θ = sek ² i.

(6) 1 + vaikiška lovelė²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/ir²= (x²+ ir²)/ir²= r²/ir²[x²+ ir²= r²]

(r²/ir²) = kosek²i

∴ 1 + vaikiška lovelė ² θ = kosek ² i

Santykis tarp trikampio kampų ir kraštinių

Trys taisyklės, susiejančios trikampių kraštines su vidiniais trikampių kampais:

• Jo taisyklė
• Kosinuso taisyklė
• Tangento taisyklė

Jei trikampis ABC, kurio kraštinės a, b ir c yra priešingos atitinkamai ∠A, ∠B ir ∠C, tada

Jo taisyklė

Jo taisyklės nurodo santykį tarp trikampio kraštinių ir kampų, kuris yra kampo, priešingo kraštinei, kraštinių ir sinuso santykis, kuris visada išlieka toks pat visiems trikampio kampams ir kraštinėms, ir pateikiamas taip:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Kosinuso taisyklė

Kosinuso taisyklė apima visas kraštines, o vienas vidinis trikampio kampas pateikiamas taip:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

ARBA

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

ARBA

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangento taisyklė

• Tangento taisyklė taip pat nurodo santykį tarp trikampio kraštinių ir vidinio kampo, naudojant tan trigonometrinį santykį, kuris yra toks:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Taip pat Skaitykite

• Trigonometrijos aukštis ir atstumas
• Trigonometrinė lentelė

Išspręstas trigonometrinių tapatybių pavyzdys

1 pavyzdys: Įrodykite, kad (1 – nuodėmė ² θ) sek ² θ = 1

Sprendimas:

Mes turime:

LHS = (1 – nuodėmė²θ) sek²i

= cos²θ . sek²i

= cos²θ . (1/mok²i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Taigi įrodyta]

2 pavyzdys: Įrodykite, kad (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Sprendimas:

Mes turime:

LHS = (1 + įdegis²θ) cos²i

⇒ LHS = sek²θ . cos²i

⇒ LHS = (1/kai²θ) . cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS = RHS. [Taigi įrodyta]

3 pavyzdys: įrodykite, kad (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Sprendimas:

Mes turime:

LHS = (cosec²θ – 1) įdegis²i

⇒ LHS = (1 + vaikiška lovelė²θ – 1) taigi²i

⇒ LHS = vaikiška lovelė²θ. taip²i

⇒ LHS = (1/tan²θ). taip²i

tuščias sąrašas java

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS = RHS. [Taigi įrodyta]

4 pavyzdys: įrodykite, kad (sek ⁴ θ – sek ² θ) = (deg ² θ + įdegis ⁴ i)

Sprendimas:

Mes turime:

LHS = (sek⁴θ – sek²i)

⇒ LHS = sek²θ (sek²aš - 1)

⇒ LHS = (1 + rudas²θ) (1 + tan²aš - 1)

⇒ LHS = (1 + įdegis²θ) taip²i

⇒ LHS = (geld²θ + įdegis⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Taigi įrodyta]

5 pavyzdys: Įrodykite, kad √(sek ² θ + kosek ² θ) = (tanθ + cotθ)

Sprendimas:

Mes turime:

LHS = √ (sek²θ + kosek²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + vaikiška lovelė²i))

⇒ LHS = √(tan²θ + vaikiška lovelė²aš + 2)

⇒ LHS = √(tan²θ + vaikiška lovelė²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [taigi įrodyta]

Praktiniai klausimai apie trigonometrines tapatybes

Q1: Supaprastinkite išraiškąfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Įrodykite tapatybę tan (x) . vaikiška lovelė (x) = 1.

3 klausimas: Parodyti taifrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

4 klausimas: Supaprastintisin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

5 klausimas: Įrodykite tapatybęcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

6 klausimas: Supaprastintifrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

7 klausimas: Įrodykite tapatybęsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

DUK apie trigonometrines tapatybes

Kas yra trigonometrinis tapatumas?

Trigonometrinė tapatybė yra lygtis, susiejanti įvairias trigonometrines funkcijas, tokias kaip sin, cos, tan, cot, sec ir cosec.

Kaip įrodyti trigonometrinę tapatybę?

Yra įvairių metodų trigonometrinėms tapatybėms įrodyti, vienas iš tokių metodų yra 6 pagrindinių žinomų trigonometrinių tapatybių naudojimas, norint perrašyti išraišką kita forma. Kaip ir bet kuris kitas įrodymas, mes dirbame su viena puse, kad gautume išraišką, identišką kitai lygties pusei.

Kiek yra trigonometrinių tapatybių?

Yra daug trigonometrinių tapatybių, nes bet kokia tapatybė gali būti su tam tikrais variantais, vis tiek išlieka tapatybė. Todėl negalime tiksliai pasakyti, kiek yra tapatybių.

Kaip atsiminti visas trigonometrines tapatybes?

Lengviausias būdas prisiminti visas tapatybes yra praktikuoti su tapatybe susijusias problemas. Kiekvieną kartą, kai sprendžiate problemą naudodami tam tikrą tapatybę, tą tapatybę peržiūrite ir galiausiai ji jums taps antra prigimtimi.

Parašykite tris pagrindines trigonometrines funkcijas.

Trys pagrindinės trigonometrijoje naudojamos funkcijos yra sinusas, kosinusas ir tangentas.
sin θ = statmena/ hipotenūza
cos θ = bazė/hipotenuzė
tan θ = statmena/pagrindas

Kas yra Pitagoro teorema?

Pitagoro teorema teigia, kad stačiakampiame trikampyje, kurio kraštinės yra hipotenūza (H), statmena (P) ir bazė (B), ryšys tarp jų pateikiamas taip:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Parašykite trigonometrinių tapatybių naudojimą.

Trigonometrinės tapatybės naudojamos sprendžiant įvairias problemas, susijusias su sudėtingomis trigonometrinėmis funkcijomis. Jie naudojami skaičiuojant bangų lygtis, harmoninio osciliatoriaus lygtį, sprendžiant geometrinius klausimus ir kitas problemas.

Parašykite aštuonis pagrindinius trigonometrinius tapatumus.

Aštuonios pagrindinės trigonometrijos tapatybės yra:

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• įdegio θ = 1/lovytė θ
• be²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ taip²θ = sek²i
• lovelė θ = cosθ/sinθ
• 1+ vaikiška lovelė²θ = kosek²i