Trigonometrinių funkcijų diferenciacija yra trigonometrinių funkcijų, tokių kaip sin, cos, tan, cot, sec ir cosec, vedinys. Diferenciacija yra svarbi skaičiavimo dalis. Jis apibrėžiamas kaip vieno dydžio kitimo greitis kito dydžio atžvilgiu. Trigonometrinių funkcijų diferencijavimas realiame gyvenime naudojamas įvairiose srityse, tokiose kaip kompiuteriai, elektronika ir matematika.

Šiame straipsnyje mes sužinosime apie trigonometrinių funkcijų diferenciaciją kartu su formulėmis, su jomis susijusiais įrodymais ir jų taikymu. Taip pat išspręsime keletą pavyzdžių ir gausime atsakymus į kai kuriuos DUK apie trigonometrinių funkcijų diferencijavimą. Pradėkime mokytis trigonometrinių funkcijų diferenciacijos tema.

Kas yra Diferencijavimas?

Funkcijos diferenciacija yra funkcijos kitimo greitis bet kurio kintamojo atžvilgiu. The išvestinė f(x) žymimas f'(x) arba (d /dx)[f(x)].

Atskyrimo procedūra trigonometrinės funkcijos vadinamas trigonometrinių funkcijų diferenciacija. Kitaip tariant, trigonometrinių funkcijų kitimo greičio kampų atžvilgiu nustatymas vadinamas trigonometrinių funkcijų diferenciacija.

Šešios pagrindinės trigonometrinės funkcijos yra sin, cos, tan, cosec, sec ir cot. Rasime visų trigonometrinių funkcijų išvestines su jų formulėmis ir įrodymais.

Trigonometrinių funkcijų diferenciacijos taisyklė

Šešių pagrindinių trigonometrinių funkcijų diferenciacija yra tokia:

Šių šešių trigonometrinių funkcijų išvestinių įrodymų galite patikrinti toliau pateiktose nuorodose:

Trigonometrinių funkcijų diferenciacijos formulės įrodymas

Kaip buvo aptarta aukščiau visų trigonometrinių funkcijų formulės, dabar mes įrodysime aukščiau pateiktas trigonometrinių funkcijų diferenciacijos formules, naudodami pirmąjį išvestinės principą, koeficiento taisyklę ir grandinės taisyklę, naudodami ribas.

Nuodėmės (x) diferenciacija

Sin x išvestinei įrodyti naudosime pirmąjį diferenciacijos principą ir keletą pagrindinių trigonometrinių tapatybių ir ribų formulių. Toliau pateikiamos įrodyme naudojamos trigonometrinės tapatybės ir ribų formulės:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_{x → 0}[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Pradėkime trigonometrinės funkcijos sin x diferenciacijos įrodymą

Pirmuoju diferenciacijos principu

(d/dx) sin x = lim_{h → 0}[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_{h → 0}[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_{h → 0}[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_{h → 0}[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_{h → 0}[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Naudojant 2 ir 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

java paveldėjimas

Todėl nuodėmės x diferenciacija yra cos x.

Cos(x) diferenciacija

Norėdami įrodyti cos x išvestinę, naudosime pirmąjį diferenciacijos principą ir keletą pagrindinių trigonometrinių tapatybių ir ribų formulės. Toliau pateikiamos įrodyme naudojamos trigonometrinės tapatybės ir ribų formulės:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_{x → 0}[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Pradėkime trigonometrinės funkcijos cos x diferenciacijos įrodymą

Pirmuoju diferenciacijos principu

(d/dx) cos x = lim_{h → 0}[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = rib_{h → 0}[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = rib_{h → 0}[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = rib_{h → 0}[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_{h → 0}[(be h/h) be x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Naudojant 2 ir 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Todėl cos x diferenciacija yra -sin x.

Tan(x) diferenciacija

Norėdami įrodyti tan x išvestinę, naudosime koeficiento taisyklę ir kai kurias pagrindines trigonometrines tapatybes ir ribų formulę. Toliau pateikiamos įrodyme naudojamos trigonometrinės tapatybės ir ribų formulės:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + nuodėmė²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Pradėkime trigonometrinės funkcijos tan x diferenciacijos įrodymą

Nuo (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx) [sinx / cos x]

Naudojant koeficiento taisyklę

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [4 ir 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + nuodėmė²x] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [pagal 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² x [Pagal 2]

Todėl tan x diferenciacija yra sek ² x.

Cosec(x) diferenciacija

Norėdami įrodyti cosec x išvestinę, naudosime grandinės taisyklę ir keletą pagrindinių trigonometrinių tapatybių ir ribų formulę. Toliau pateikiamos įrodyme naudojamos trigonometrinės tapatybės ir ribų formulės:

1. vaikiška lovelė x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Pradėkime trigonometrinės funkcijos cosec x diferenciacijos įrodymą

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [pagal 2]

Naudojant grandinės taisyklę

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sinx]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [pagal 1 ir 2]

Todėl cosec x diferenciacija yra – cosec x cot x.

sek(x) diferenciacija

Norėdami įrodyti sek x išvestinę, naudosime koeficiento taisyklę ir keletą pagrindinių trigonometrinės tapatybės ir ribų formulė . Toliau pateikiamos įrodyme naudojamos trigonometrinės tapatybės ir ribų formulės:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Pradėkime trigonometrinės funkcijos sec x diferenciacijos įrodymą

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [pagal 2]

Naudojant grandinės taisyklę

(d/dx) sek. x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sek. x = [-1 / cos²x] (-be x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [1 ir 2]

Todėl sec x diferenciacija yra sec x tan x.

Lovytės (x) diferenciacija

Norėdami įrodyti cot x išvestinę, naudosime koeficiento taisyklę ir keletą pagrindinių trigonometrinių tapatybių ir ribų formulę. Toliau pateikiamos įrodyme naudojamos trigonometrinės tapatybės ir ribų formulės:

1. vaikiška lovelė x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + nuodėmė²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Pradėkime trigonometrinės funkcijos cot x diferenciacijos įrodymą

Nuo (1)

vaikiška lovelė x = cos x / sin x

(d/dx) vaikiška lovelė x = (d/dx) [cosx / sin x]

Naudojant koeficiento taisyklę

(d/dx) vaikiška lovelė x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [4 ir 5]

⇒ (d/dx) lovelė x = [ -sin²x – cos²x] / nuodėmė²x

⇒ (d/dx) lovelė x = -[ nuod²x + cos²x] / nuodėmė²x

⇒ (d/dx) vaikiška lovelė x = -1 / nuodėmė²x [pagal 3]

⇒ (d/dx) vaikiška lovelė x = -kosek ² x [Pagal 2]

Todėl lovos x diferenciacija yra -cosec ² x.

Kai kurios kitos suaktyvinimo funkcijos išvestinės priemonės

Trigonometrines funkcijas galima lengvai atskirti naudojant grandinės taisyklę. Taikant galima išspręsti sudėtingas trigonometrines ir sudėtines trigonometrines funkcijas grandinės taisyklė diferenciacijos. Tolesnėse antraštėse mes toliau išsamiai išnagrinėsime grandinės taisyklę ir sudėtinių trigubų funkcijų diferenciaciją.

• Diferencijavimas naudojant grandinės taisyklę
• Sudėtinės trigubos funkcijos diferenciacija

Išsamiai aptarkime šias temas.

Grandinės taisyklė ir trigonometrinė funkcija

Grandinės taisyklė teigia, kad jei p(q(x)) yra funkcija, tada šios funkcijos išvestinė gaunama iš p(q(x)) išvestinės ir q(x) išvestinės sandauga. Grandinės taisyklė naudojama diferencijuoti sudėtinės funkcijos . Grandinės taisyklė dažniausiai naudojama norint lengvai atskirti sudėtines trigubo funkcijas.

Pavyzdys: Raskite f(x) = tan 4x išvestinę

reaguoti inline stiliumi

Sprendimas:

f(x) = įdegis 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [deg. 4x]

Taikant grandinės taisyklę

f'(x) = (d/dx) [deg. 4x](d/dx)[4x]

preg_match

⇒ f'(x) = (sek²4x)(4)

Sudėtinės trigubos funkcijos diferenciacija

Norėdami įvertinti sudėtinių trigubų funkcijų diferenciaciją, taikome grandininę diferenciacijos taisyklę. Sudėtinės trigubos funkcijos yra funkcijos, kuriose trigonometrinės funkcijos kampas pats yra funkcija. Sudėtinių trigonometrinių funkcijų diferencijavimą galima lengvai įvertinti taikant grandinės taisyklę ir trigonometrinių funkcijų diferenciacijos formules.

Pavyzdys: Raskite f(x) = cos(x) išvestinę ² +4)

Sprendimas:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Taikant grandinės taisyklę

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Kas yra atvirkštinės trigonometrinės funkcijos?

The atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra atvirkštinės trigonometrinių funkcijų funkcijos. Yra šešios atvirkštinės trigonometrinės funkcijos: sin^-1, cos^-1, taip^-1, cosec^-1, sek^-1, vaikiška lovelė^-1. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos taip pat vadinamos lanko funkcijomis.

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų diferenciacija

Šešių atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės yra tokios:

Pavyzdys: Raskite f(x) = 3sin išvestinę ^-1 x + 4cos ^-1 x

Sprendimas:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4 cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4 (d/dx) [kaiš^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Trigonometrinių funkcijų diferencijavimo programos

Realiame gyvenime yra daug skirtingų trigonometrinių funkcijų diferencijavimo pritaikymų. Toliau pateikiamos trigonometrinių funkcijų diferenciacijos programos.

• Trigonometrinės kreivės liestinės ir normaliosios linijos nuolydį galima nustatyti naudojant trigonometrinių funkcijų diferenciaciją.
• Jis taip pat gali būti naudojamas funkcijos maksimumams ir minimumams nustatyti.
• Jis taip pat naudojamas kompiuterių ir elektronikos srityje.

Taip pat patikrinkite

• Atvirkštinė trigo išvestinė
• Antidarinis
• Diferencijavimo formulės

Trigo funkcijų diferencijavimo problemų pavyzdžiai

1 uždavinys: Raskite f(x) = tan 2x išvestinę.

Sprendimas:

f(x) = įdegis 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Taikant grandinės taisyklę

f'(x) = (d/dx) [deg. 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x) (2)

⇒ f'(x) = 2 sek²2x

2 uždavinys: Raskite y = cos x / (4x ² )

Sprendimas:

y = cos x / (4x²)

Taikant koeficiento taisyklę

y' = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y' = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

3 uždavinys: Įvertinkite išvestinę f(x) = cosec x + x tan x

Sprendimas:

f(x) = cosec x + x tan x

Taikant formulę ir produkto taisyklę

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d / dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

suderinti css vaizdą

4 uždavinys: Raskite funkcijos f(x) = 6x išvestinę ⁴ cos x

Sprendimas:

f(x) = 6x⁴cos x

Taikant gaminio taisyklę

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-be x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴be x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

5 uždavinys: Įvertinkite išvestinę: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Sprendimas:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Taikant gaminio taisyklę

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Trigonometrinių funkcijų diferencijavimo praktikos uždaviniai

1 problema: Raskite y = sin(x) + cos(x) išvestinę.

2 problema: Apskaičiuokite y = 2sin(x) – 3cos(x) išvestinę.

3 problema: Raskite y = 2sin(3x) išvestinę.

4 problema: Nustatykite y = tan(5x) išvestinę.

5 problema: Raskite y = sin(x) cos(x) išvestinę.

6 problema: Apskaičiuokite y = cos išvestinę²(x).

7 problema: Nustatykite y = tan išvestinę²(x).

8 problema: Nustatykite y = tan(x) sec(x) išvestinę.

DUK apie trigonometrinių funkcijų diferencijavimą

Kas yra Diferencijavimas?

Diferenciacija yra matematinė operacija, apskaičiuojanti funkcijos pasikeitimo greitį jos nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Kas yra trigonometrinė funkcija?

Trigonometrinės funkcijos yra matematinės funkcijos, susiejančios stačiojo trikampio kampus su jo kraštinių santykiais.

Kokios yra bendrosios trigonometrinės funkcijos?

Įprastos trigonometrinės funkcijos apima sinusą (sin), kosinusą (cos), tangentą (tangentą), kosekantą (cosec), sekantą (sec) ir kotangentą (cot).

Apibrėžkite trigonometrinių funkcijų diferenciaciją.

Trigonometrinių funkcijų diferencijavimo metodas vadinamas trigonometrinių funkcijų diferencijavimu.

Kaip atskirti sinuso funkciją, ty nuodėmę (x)?

Nuodėmės (x) išvestinė yra cos (x). Matematiniame žymėjime d/dx(sin(x)) = cos(x).

Ką gauname po kosinuso funkcijos diferencijavimo, ty cos (x)?

Cos (x) išvestinė yra -sin (x). Matematiniame žymėjime d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Kaip atskirti tangentinę funkciją, ty įdegį (x)?

Tan(x) išvestinė yra sek²(x), kur sec(x) yra sekantinė funkcija. Matematinis žymėjimas d/dx(tan(x)) = sek²(x).

Kokios yra trigonometrinių funkcijų diferencijavimo formulės?

Trigonometrinių funkcijų diferencijavimo formulė yra tokia:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) vaikiška lovelė x = -kosek²x

Pateikite vieną trigonometrinės funkcijos diferencijavimo pavyzdį.

Panagrinėkime funkciją f(x) = 2sin(3x).

Naudojant grandinės taisyklę,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Kokie metodai naudojami trigonometrinių funkcijų diferencijavimui nustatyti?

Skirtingi būdai, kuriais galima nustatyti trigonometrinių funkcijų diferenciacijos formulę, yra:

• Naudojant pirmąjį išvestinių principą
• Naudodami Dalinio taisyklė
• Naudojant grandinės taisyklę

Kas yra trigonometrinių funkcijų nediferencijavimas?

Trigonometrinių funkcijų nediferencijavimas reiškia, kad reikia rasti trigonometrinių funkcijų integraciją.