Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos išvestinė reiškia atvirkštinių trigonometrinių funkcijų kitimo greitį. Žinome, kad funkcijos išvestinė yra funkcijos kitimo greitis nepriklausomo kintamojo atžvilgiu. Prieš tai išmokant, reikėtų žinoti trigonometrinių funkcijų diferenciacijos formules. Norėdami rasti atvirkštinės trigonometrinės funkcijos išvestinę, pirmiausia sulyginsime trigonometrinę funkciją su kitu kintamuoju, kad surastume jo atvirkštinę vertę, o tada diferencijuosime ją naudodami numanomą diferenciacijos formulę.

Šiame straipsnyje mes sužinosime D atvirkštinių trigubų funkcijų išvedimas, atvirkštinių trigubų funkcijų diferenciacijos formulės, ir pagal jį išspręskite keletą pavyzdžių. Tačiau prieš eidami į priekį, pataikykime sąvoką i nversinės trigonometrinės funkcijos ir numanoma diferenciacija.

• Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos
• Kas yra numanomas diferencijavimas?
• Kas yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų darinys?
• Atvirkštinių trigubų funkcijų išvestinės įrodymas
• Atvirkštinė trigo išvestinė formulė
• Atvirkštinio trigubo išvestinių pavyzdžių pavyzdžiai

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra atvirkštinės trigonometrinių santykių funkcijos, ty sin, cos, tan, cot, sec ir cosec. Šios funkcijos plačiai naudojamos tokiose srityse kaip fizika, matematika, inžinerija ir kitose tyrimų srityse. Lygiai taip pat, kaip sudėtis ir atimtis yra atvirkštinės viena kitos vertės, tas pats pasakytina ir apie trigonometrinių funkcijų atvirkštines vertes.

be θ = x

⇒ i = s in ⁻¹ x ,

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų vaizdavimas

Jie vaizduojami pridedant lankas priešdėlyje arba prie laipsnio pridedant -1.

Atvirkštinis sinusas gali būti parašytas dviem būdais:

• be^-1x
• arcsin x

Tas pats pasakytina apie cos ir tan.

Pastaba: Nepainiokite nuodėmės^-1x su (sin x)^-1. Jie skirtingi. Rašyti nuodėmę^-1x yra būdas rašyti atvirkštinį sinusą, tuo tarpu (sin x)^-1reiškia 1/sin x.

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų sritis

Žinome, kad funkcija yra diferencijuojama tik tuo atveju, jei ji tame taške yra ištisinė, o jei funkcija yra nepertraukiama tam tikrame taške, tada tas taškas yra funkcijos sritis. Taigi turėtume išmokti atvirkštinių trigonometrinių funkcijų sritį.

Dabar trumpai išmokime numanomos diferenciacijos techniką.

Kas yra numanomas diferencijavimas?

Netiesioginė diferenciacija yra metodas, kuris naudoja grandinės taisyklę, kad atskirtų netiesiogiai apibrėžtas funkcijas. Netiesioginės funkcijos yra funkcija, kurią sudaro du kintamieji, o ne vienas kintamasis. Tokiu atveju kartais galime aiškiai paversti funkciją į vieną kintamąjį, bet tai ne visada. Kadangi paprastai nėra lengva aiškiai rasti funkciją ir tada ją atskirti. Vietoj to galime visiškai atskirti f(x, y), ty abu kintamuosius, o tada išspręsti likusią lygties dalį, kad surastume f'(x) reikšmę.

Skaitykite išsamiai: Skaičiavimas matematikoje

Kas yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų darinys?

Inverse Trig Derivative yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinė. Yra šešios trigonometrinės funkcijos ir kiekvienai iš šių trigonometrinių funkcijų egzistuoja atvirkštinė reikšmė. Tai yra nuodėmės^-1x, cos^-1x, taip^-1x, cosec^-1x, sek^-1x, vaikiška lovelė^-1x. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinę galime rasti naudojant implicitinio diferenciacijos metodą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokios yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės.

• Nuodėmės vedinys^-1x yra d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) visiems x ϵ (-1, 1)
• Išvestinė iš cos^-1x yra d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) visiems x ϵ (-1, 1)
• Įdegio vedinys^-1x yra d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) visiems x ϵ R
• Koseko vedinys^-1x yra d(cosec^-1x)/dx = -1/ visiems x ϵ R – [-1, 1]
• Išvestinė iš sek^-1x yra d (sek^-1x)/dx = 1/x visiems x ϵ R – [-1, 1]
• Vaikiškos lovelės darinys^-1x yra d(vaik^-1x)/dx = -1/(1 + x²) visiems x ϵ R

Atvirkštinės trigonometrinės darinės vaizdas pridedamas žemiau:

Dabar sužinojome, kokios yra visų šešių atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės, dabar sužinosime, kaip rasti šešių atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinę.

Atvirkštinių trigubų funkcijų išvestinės įrodymas

Atvirkštines trigonometrines funkcijas galime atskirti naudodami pirmąjį principą, taip pat naudodami numanomą diferenciacijos formulę, kuri taip pat apima grandinės taisyklės naudojimą. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės radimas naudojant pirmąjį principą yra ilgas procesas. Šiame straipsnyje mes sužinome, kaip atskirti atvirkštines trigonometrines funkcijas naudojant numanomą diferenciaciją. Galime rasti atvirkštinių trigubų funkcijų išvestinę (dy/dx) atlikdami šiuos veiksmus

1 veiksmas. Tarkime, kad trigonometrinės funkcijos yra sin y = x

2 veiksmas: Raskite aukščiau pateiktos funkcijos išvestinę, naudodami numanomą diferenciaciją

3 veiksmas: apskaičiuokite dy/dx

4 veiksmas: pakeiskite trigonometrinės funkcijos reikšmę, pateiktą 3 veiksme, naudodami trigonometrines tapatybes.

Nuodėmės atvirkštinės x išvestinė

Tarkime, sin y = x

Skiriantis abi puses x atžvilgiu

⇒ cos ir. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Kadangi mes žinome, kad nuodėmė²ir + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – nuodėmė²ir

java galiojantys identifikatoriai

⇒ jaukus = √(1 – nuodėmė²y) = √(1 – x²), nes turime sin y = x

Šios cos y vertės įtraukimas į (i) lygtį

dy/dx = 1/√(1 – x²) kur y = nuodėmė^-1x

Cos atvirkštinės X išvestinė

Tarkime, cos y = x

Skiriantis abi puses x atžvilgiu

⇒ -be ir. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Kadangi mes žinome, kad nuodėmė²ir + Cos²y = 1

⇒ be²y = 1 – cos²ir

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²), nes mes turime cos y = x

Šios sin y reikšmės įtraukimas į (i) lygtį

dy/dx = -1/√(1 – x²) kur y = cos^-1x

Įdegio atvirkštinio X vedinys

Tarkime, tan y = x

Skiriantis abi puses x atžvilgiu

⇒ sek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek²ir →(i)

Kadangi žinome, kad sek²ir taip²y = 1

⇒ sek²y = 1 + įdegis²ir

⇒ sek²y = (1 + įdegis²y) = (1 + x²), nes turime tan y = x

Įvedus šią sek. reikšmę²y lygtyje (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) kur y = įdegis^-1x

Vaikiškos lovelės atvirkštinės X vedinys

Tarkime, lovelė y = x

Skiriantis abi puses x atžvilgiu

⇒ -kosek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²ir →(i)

Kadangi žinome, kad csec²ir – vaikiška lovelė²y = 1

⇒ kosek²y = 1 + vaikiška lovelė²ir

⇒ kosek²y = (1 + vaikiška lovelė²y) = (1 + x²), nes turime lovelę y = x

Pateikiant šią cosec reikšmę²y lygtyje (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) kur y = vaikiška lovelė^-1x

Sek atvirkštinės X išvestinė

Tarkime, sek y = x

Skiriantis abi puses x atžvilgiu

⇒ sek. y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s y.tan y →(i)

Kadangi žinome, kad sek²ir taip²y = 1

⇒ taip²y = sek²ir – 1

⇒ įdegis y = √ (sek²y – 1) = √(x²– 1)kaip turime sek y = x

Šios tan y vertės įtraukimas į (i) lygtį

dy/dx = 1/x, kur sek y = x ir y = sek^-1x

Kosec atvirkštinės X išvestinė

Tarkime, cosec y = x

Skiriantis abi puses x atžvilgiu

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Kadangi žinome, kad cosec²ir – vaikiška lovelė²y = 1

⇒ vaikiška lovelė²y = cosec²ir – 1

⇒ vaikiška lovelė y = √ (kosek²y – 1) = √(x²– 1)kaip mes turime cosec y = x

Šios tan y vertės įtraukimas į (i) lygtį

dy/dx = -1/x kur cosec y = x ir y = cosec^-1x

Atvirkštinė trigo išvestinė formulė

Dabar mes išmokome atskirti atvirkštines trigonometrines funkcijas, todėl dabar pažvelgsime į atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės formules, kurios gali būti tiesiogiai naudojamos uždaviniuose. Žemiau pateikta atvirkštinės trigonometrinės funkcijos formulės išvestinės lentelė.

Skaityti daugiau,

• Išvestinė parametrinė forma
• Išvestinės formulės
• Išvestinės taikymas
• Eksponentinės funkcijos išvestinė

Atvirkštinio trigubo išvestinių pavyzdžių pavyzdžiai

1 pavyzdys: Atskirkite nuodėmę ^-1 (x)?

Sprendimas:

Leisti, ir = be ⁻¹( x )

Paėmus sinusą abiejose lygties pusėse, gaunama,

sin y = nuodėmė (nuodėmė^-1x)

Pagal atvirkštinės trigonometrijos savybę mes žinome, nuodėmė (sin^-1x) = x

sin y = x

Dabar atskiriant abi puses wrt nuo x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Mes galime tai supaprastinti naudodami toliau pateiktą pastabą:

be²ir + cos²y = 1

x²+ cos²y = 1 {Kaip sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Pakeitę vertę, gauname

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

2 pavyzdys: Atskirkite cos ^-1 (x)?

Sprendimas:

Leisti,

ir = cos⁻¹( x )

Paėmus kosinusą abiejose lygties pusėse, gaunama,

cos y = cos(cos^-1x)

unix vs windows

Pagal atvirkštinės trigonometrijos savybę žinome cos (cos^-1x) = x

cos (y) = x

Dabar atskiriant abi puses wrt nuo x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Mes galime tai supaprastinti naudodami toliau pateiktą pastabą:

be²ir + cos²y = 1

be²y + x²= 1 {Kaip cos y = x}

be²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Pakeitę vertę, gauname

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

3 pavyzdys: Atskirkite įdegį ^-1 (x)?

Sprendimas:

Leisti, ir = taip⁻¹( x )

Paėmus įdegį abiejose lygties pusėse, gaunama,

įdegis y = įdegis (deg^-1x)

Pagal atvirkštinės trigonometrijos savybę žinome, tan(tan^-1x) = x

onclick javascript

rudas y = x

Dabar atskiriant abi puses wrt nuo x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sek²x

Mes galime tai supaprastinti naudodami toliau pateiktą pastabą:

sek²ir taip²y = 1

sek²y–x²= 1

sek²y = 1 + x²

Pakeitę vertę, gauname

dy/dx = 1/sek²ir

dy/dx = 1/(1 + x²)

4 pavyzdys: y = cos ^-1 (-2x ² ). Rasti dy/dx, kai x = 1/2?

Sprendimas:

1 metodas (numanomas diferencijavimas)

Atsižvelgiant į ir = cos ⁻¹(-2 x ²)

⇒ cos ir = −2 x ²

Abiejų pusių atskyrimas wrt x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Supaprastinimas

be²ir + cos²y = 1

be²ir + (-2x²)²= 1 {Kaip cos y = -2x²}

be²y + 4x⁴= 1

be²y = 1–4x⁴

sin y = √(1–4x⁴)

Pateikę gautą vertę, gauname,

dy/dx = 4x/√{1–4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1–4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1–1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

2 metodas (naudojant grandinės taisyklę, kaip žinome cos atvirkštinio x diferenciaciją)

Atsižvelgiant į ir = cos ⁻¹(–2 x ²)

Abiejų pusių atskyrimas wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

5 pavyzdys: Atskirkite egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Sprendimai:

Leisti,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Abiejų pusių atskyrimas wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Inverse Trig išvestiniai klausimai

Išbandykite šiuos klausimus apie atvirkštinio trigo išvestinius klausimus

Q1: Atskirkite nuodėmę ^-1 (3x - 4x ³ ) x ϵ -1/2