Kovariacijos matrica yra matricos tipas, naudojamas dviejų atsitiktinio vektoriaus elementų kovariacijos reikšmėms apibūdinti. Ji taip pat žinoma kaip dispersijos-kovariacijos matrica, nes kiekvieno elemento dispersija pavaizduota išilgai pagrindinės matricos įstrižainės, o kovariacija – tarp neįstrižainių elementų. Kovariacijos matrica paprastai yra kvadratinė matrica. Jis taip pat yra teigiamas pusiau apibrėžtas ir simetriškas. Ši matrica praverčia, kai kalbama apie stochastinį modeliavimą ir pagrindinių komponentų analizę.

Kas yra kovariacijos matrica?

The dispersija -kovariacijos matrica yra a kvadratinė matrica su įstrižainiais elementais, atspindinčiais dispersiją, ir įstrižainės komponentais, išreiškiančiais kovariaciją. Kintamojo kovariacija gali būti bet kokia realioji vertė – teigiama, neigiama arba nulis. Teigiama kovariacija rodo, kad šie du kintamieji turi teigiamą ryšį, o neigiama kovariacija rodo, kad jie neturi. Jei du elementai kartu nesikeičia, jų kovariacija yra nulinė.

Sužinokite daugiau, Įstrižainė matrica

java nuorodų sąrašas

Kovariacijos matricos pavyzdys

Tarkime, kad yra 2 duomenų rinkiniai X = [10, 5] ir Y = [3, 9]. Aibės X dispersija = 12,5 ir aibės Y dispersija = 18. Kovariacija tarp abiejų kintamųjų yra -15. Kovariacijos matrica yra tokia:

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

Kovariacijos matricos formulė

Bendroji kovariacijos matricos forma pateikiama taip:

kur,

• Pavyzdžio dispersija: kur (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Kovarinace pavyzdys: (x₁, ir₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Populiacijos dispersija: kur (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Populiacijos kovariacija: (x_n, ir_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

Čia m yra gyventojų vidurkis

overline x yra mėginio vidurkis

n yra stebėjimo skaičius

x _i yra stebėjimas duomenų rinkinyje x

Pažiūrėkime kovariacijos matricos formatą 2 ⨯ 2 ir 3 ⨯ 3

2 ⨯ 2 Kovariacijos matrica

Mes žinome, kad 2⨯ 2 matrica yra dvi eilutės ir du stulpeliai. Taigi 2 ⨯ 2 kovariacijos matrica gali būti išreikšta kaipegin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Kovariacijos matrica

3⨯3 matricoje yra 3 eilutės ir 3 stulpeliai. Žinome, kad kovariacijos matricoje įstrižainės yra dispersija, o neįstrižainės – kovariacija. Taigi 3⨯3 kovariacijos matrica gali būti pateikta kaipegin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Kaip rasti kovariacijos matricą?

Kovariacijos matricos matmenys nustatomi pagal kintamųjų skaičių tam tikrame duomenų rinkinyje. Jei aibėje yra tik du kintamieji, tada kovariacijos matrica turėtų dvi eilutes ir du stulpelius. Panašiai, jei duomenų rinkinys turi tris kintamuosius, tada jo kovariacijos matrica turėtų tris eilutes ir tris stulpelius.

Duomenys yra susiję su Anos, Caroline ir Lauros psichologijos ir istorijos pažymiais. Padarykite kovariacijos matricą.

Klaida

Reikia atlikti šiuos veiksmus:

1 žingsnis: Raskite kintamojo X vidurkį. Susumuokite visus kintamojo X stebėjimus ir gautą sumą padalinkite iš terminų skaičiaus. Taigi (80 + 63 + 100)/3 = 81.

2 žingsnis: Iš visų stebėjimų atimkite vidurkį. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

3 veiksmas: Paimkite aukščiau gautų skirtumų kvadratus ir sudėkite juos. Taigi (80–81)²+ (63–81)²+ (100–81)².

4 veiksmas: Raskite X dispersiją padalydami 3 veiksme gautą reikšmę 1, mažesne už bendrą stebėjimų skaičių. var(X) = [(80–81)²+ (63–81)²+ (100–81)²] / (3–1) = 343.

5 veiksmas: Panašiai pakartokite 1–4 veiksmus, kad apskaičiuotumėte Y dispersiją. Var(Y) = 633.

6 veiksmas: Pasirinkite kintamųjų porą.

7 veiksmas: Iš visų stebėjimų atimkite pirmojo kintamojo (X) vidurkį; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

8 veiksmas: Tą patį pakartokite su kintamuoju Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

9 veiksmas: Padauginkite atitinkamus terminus: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

10 veiksmas: Raskite kovariaciją pridėdami šias reikšmes ir padalydami iš (n – 1). Cov (X, Y) = (80–81) (70–47) + (63–81) (20–47) + (100–81) (50–47) / 3–1 = 481.

11 veiksmas: Norėdami sutvarkyti terminus, naudokite bendrą kovariacijos matricos formulę. Matrica tampa:egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Kovariacijos matricos savybės

Kovariacijos matricos savybės yra paminėtos žemiau:

python konstruktorius

• Kovariacijos matrica visada yra kvadratinė, o tai reiškia, kad kovariacijos matricos eilučių skaičius visada yra lygus stulpelių skaičiui joje.
• Kovariacijos matrica visada yra simetriška, o tai reiškia, kad perkelti kovariacijos matrica visada yra lygi pradinei matricai.
• Kovariacijos matrica visada yra teigiama ir pusiau apibrėžta.
• The savąsias reikšmes kovariacijos matricos visada yra tikros ir neneigiamos.

Skaityti daugiau,

• Matricų tipai
• Matricos daugyba
• Dispersija ir standartinis nuokrypis

Išspręsti kovariacijos matricos pavyzdžiai

1 pavyzdys: 3 fizikos ir biologijos studentų surinkti balai pateikti žemiau:

Apskaičiuokite kovariacijos matricą iš aukščiau pateiktų duomenų.

Sprendimas:

Imties kovariacijos matrica pateikiama pagalfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Čia, μ_x= 84, n = 3

var(x) = [(92–84)²+ (60–84)²+ (100–84)²] / (3–1) = 448

Taigi, μ_ir= 60, n = 3

var(y) = [(80–60)²+ (30–60)²+ (70–60)²] / (3–1) = 700

Dabar cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84) (80 – 60) + (60 – 84) (30 – 60) + (100 – 84) (70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

Populiacijos kovariacijos matrica pateikiama taip:egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

2 pavyzdys. Paruoškite populiacijos kovariacijos matricą pagal šią lentelę:

Sprendimas:

Populiacijos dispersija pateikiama pagalfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Čia, μ_x= 56,5, n = 4

var(x) = [(68–56,5)²+ (60–56,5)²+ (58–56,5)²+ (40–56,5)²] / 4 = 104,75

Taigi, μ_ir= 30, n = 4

var(y) = [(29–30)²+ (26–30)²+ (30–30)²+ (35–30)²] / 4 = 10,5

Dabar cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

java matematika atsitiktinai

cov(x, y) = -27

Populiacijos kovariacijos matrica pateikiama taip: egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

3 pavyzdys. Interpretuokite šią kovariacijos matricą:

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

Sprendimas:

1. Įstrižainės elementai 60, 30 ir 80 rodo atitinkamai X, Y ir Z duomenų rinkinių dispersiją. Y rodo mažiausią dispersiją, o Z rodo didžiausią dispersiją.
2. X ir Y kovariacija yra 32. Kadangi tai yra teigiamas skaičius, tai reiškia, kad kai X didėja (arba mažėja), Y taip pat didėja (arba mažėja)
3. X ir Z kovariacija yra -4. Kadangi tai yra neigiamas skaičius, tai reiškia, kad kai X didėja, Z mažėja ir atvirkščiai.
4. Y ir Z kovariacija yra 0. Tai reiškia, kad nėra nuspėjamo ryšio tarp dviejų duomenų rinkinių.

4 pavyzdys. Raskite šių duomenų imties kovariacijos matricą:

Sprendimas:

Imties kovariacijos matrica pateikiama pagalfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

java eilutę į masyvą

n = 5, m_x= 22,4, var(X) = 321,2 / (5–1) = 80,3

m_ir= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

m_Su= 64, var(Z) = 570 / 4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

Kovariacijos matrica pateikiama taip:

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

DUK apie kovariacijos matricą

1. Apibrėžkite kovariacijos matricą

Kovariacijos matrica yra matricos tipas, naudojamas dviejų atsitiktinio vektoriaus elementų kovariacijos reikšmėms apibūdinti.

2. Kas yra kovariacijos matricos formulė?

Kovariacijos matricos formulė pateikiama kaip

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

kur, Pavyzdžio dispersija: kur (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

• Kovarinace pavyzdys: (x₁, ir₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Populiacijos dispersija: kur (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Populiacijos kovariacija: (x_n, ir_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Kokia yra 3 ⨯ 3 kovariacijos matricos bendroji forma?

Bendra 3 ⨯ 3 kovariacijos matricos forma pateikiama taip:

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Kokios yra kovariacijos matricos savybės?

Kovariacijos matrica yra kvadratinė matrica ir taip pat yra simetriška, t. y. pradinės matricos perkėlimas suteikia pačią pradinę matricą

5. Kokiuose sektoriuose galima naudoti kovariacijos matricą?

Kovariacijos matrica naudojama matematikos, mašininio mokymosi, finansų ir ekonomikos srityse. Kovariacijos matrica naudojama Cholskey dekompozicijoje Monte Karlo modeliavimui atlikti, kuri naudojama matematiniams modeliams kurti.