Savosios reikšmės ir savieji vektoriai yra skaliariniai ir vektoriniai dydžiai, susieti su Matrica naudojamas tiesinei transformacijai. Vektorius, kuris nesikeičia net pritaikius transformacijas, vadinamas savuoju vektoriumi, o prie savųjų vektorių priskirta skaliarinė reikšmė vadinama Savosios vertybės . Savotieji vektoriai yra vektoriai, susieti su tiesinių lygčių rinkiniu. Matricos savieji vektoriai taip pat vadinami būdingaisiais vektoriais, o savąjį vektorių galime rasti tik kvadratinių matricų. Savieji vektoriai yra labai naudingi sprendžiant įvairius matricų ir diferencialinių lygčių uždavinius.

Šiame straipsnyje su pavyzdžiais sužinosime apie savąsias reikšmes, matricų savuosius vektorius ir kitus.

Turinys

• Kas yra savosios vertės?
• Kas yra savieji vektoriai?
• Savavektoriaus lygtis
• Kas yra savosios reikšmės ir savieji vektoriai?
• Kaip rasti savąjį vektorių?
• Savųjų vektoriaus tipai
• Dešinysis eigenvektorius
• Kairysis eigenvektorius
• Kvadratinės matricos savieji vektoriai
• 2 × 2 matricos savasis vektorius
• 3 × 3 matricos savasis vektorius
• Eigenspace
• Eigeno vertybių taikymas
• Matricos įstrižainė naudojant savases reikšmes ir savuosius vektorius
• Išspręsti savųjų vektorių pavyzdžiai
• DUK apie savuosius vektorius

Kas yra savosios vertės?

Savosios reikšmės yra skaliarinės reikšmės, susietos su savaisiais vektoriais tiesinės transformacijos metu. Žodis „Eigen“ yra vokiečių kilmės ir reiškia „būdingas“. Vadinasi, tai yra būdinga reikšmė, nurodanti koeficientą, kuriuo savieji vektoriai ištempti jų kryptimi. Tai neapima vektoriaus krypties pasikeitimo, išskyrus atvejus, kai savoji reikšmė yra neigiama. Kai savoji reikšmė yra neigiama, kryptis tiesiog pasikeičia. Savosios reikšmės lygtis pateikiama pagal

Išjungta = λv

kur,

• A yra matrica,
• v yra susietas savasis vektorius ir
• λ yra skaliarinė savoji reikšmė.

Kas yra savieji vektoriai?

Kvadratinių matricų savieji vektoriai apibrėžiami kaip nulinės vektorių reikšmės, kurias padauginus iš kvadratinių matricų, gaunamas vektoriaus mastelio kartotinis, t. Išjungta = λv

Aukščiau pateiktu atveju skalerio kartotinis λ vadinamas kvadratinės matricos savąja reikšme. Visada pirmiausia turime rasti kvadratinės matricos savąsias reikšmes ir tik tada rasti matricos savuosius vektorius.

Bet kuriai kvadratinei matricai A, kurios eilės n × n, savasis vektorius yra n × 1 eilės stulpelio matrica. Jei rasime matricos A savąjį vektorių, Av = λv, tai v vadinama dešiniuoju matricos A savuoju vektoriumi. ir visada dauginamas į dešinę, nes matricos daugyba nėra komutacinė. Apskritai, kai randame savąjį vektorių, jis visada yra tinkamas savasis vektorius.

Taip pat galime rasti kairįjį kvadratinės matricos A savąjį vektorių, naudodami ryšį, vA = vl

enum tostring java

Čia v yra kairysis savasis vektorius ir visada dauginamas į kairę pusę. Jei matrica A yra n × n eilės, tada v yra 1 × n eilės stulpelio matrica.

Savojo vektoriaus lygtis

Savalaikio vektoriaus lygtis yra lygtis, kuri naudojama bet kurios kvadratinės matricos savajam vektoriui rasti. Savojo vektoriaus lygtis yra

Išjungta = λv

kur,

• A yra duota kvadratinė matrica,
• in yra matricos A savivektorius ir
• l yra bet koks skalerio kartotinis.

Kas yra savosios reikšmės ir savieji vektoriai?

Jei A yra a kvadratinė matrica n × n eilės, tada galime lengvai rasti kvadratinės matricos savąjį vektorių, vadovaudamiesi toliau aptartu metodu,

Žinome, kad savasis vektorius pateikiamas naudojant lygtį Av = λv, tapatybės matricai, kurios eilės tvarka yra tokia pati kaip A tvarka, ty n × n, naudojame šią lygtį:

(A-λI)v = 0

Išspręsdami aukščiau pateiktą lygtį, gauname įvairias λ reikšmes kaip λ₁, l₂, ..., l_nšios reikšmės vadinamos savosiomis reikšmėmis ir gauname atskirus savuosius vektorius, susijusius su kiekviena savąja reikšme.

Supaprastinus aukščiau pateiktą lygtį, gauname v, kuri yra n × 1 eilės stulpelių matrica, o v parašyta kaip,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Kaip rasti savąjį vektorių?

Šios kvadratinės matricos savąjį vektorių galima lengvai apskaičiuoti atliekant toliau nurodytus veiksmus.

1 žingsnis: Raskite matricos A savitąsias reikšmes naudodami lygtį det |(A – λI| =0, kur I yra tapatumo matrica, panaši į matricą A

2 žingsnis: 2 veiksme gauta reikšmė vadinama λ₁, l₂, l₃….

3 veiksmas: Raskite savąjį vektorių (X), susietą su savąja reikšme λ₁naudojant lygtį, (A – λ₁I) X = 0

4 veiksmas: Pakartokite 3 veiksmą, kad surastumėte savąjį vektorių, susietą su kitomis likusiomis savosiomis reikšmėmis λ₂, l₃….

Atlikus šiuos veiksmus, gaunamas savasis vektorius, susijęs su duota kvadratine matrica.

Savųjų vektoriaus tipai

Kvadratinės matricos savieji vektoriai yra dviejų tipų:

• Dešinysis eigenvektorius
• Kairysis eigenvektorius

Dešinysis eigenvektorius

Savasis vektorius, padaugintas iš nurodytos kvadratinės matricos iš dešinės pusės, vadinamas dešiniuoju savuoju vektoriumi. Jis apskaičiuojamas naudojant šią lygtį,

APIE _R = λV _R

kur,

• A yra pateikta kvadratinė matrica, kurios eilės n × n,
• l yra viena iš savųjų reikšmių, ir
• IN _R yra stulpelio vektoriaus matrica

Vertė V_Ryra,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Kairysis eigenvektorius

Savasis vektorius, padaugintas iš nurodytos kvadratinės matricos iš kairės pusės, vadinamas kairiuoju savuoju vektoriumi. Jis apskaičiuojamas naudojant šią lygtį,

IN _L A = V _L l

kur,

• A yra pateikta kvadratinė matrica, kurios eilės n × n,
• l yra viena iš savųjų reikšmių, ir
• IN _L yra eilučių vektorių matrica.

Vertė V_Lyra,

IN _L = [v ₁ , in ₂ , in ₃ ,…, in _n ]

Kvadratinės matricos savieji vektoriai

Mes galime lengvai rasti kvadratinių matricų, kurių eilės n × n, savąjį vektorių. Dabar suraskime šias kvadratines matricas:

išimčių tvarkymas java

• 2 × 2 matricos savieji vektoriai
• 3 × 3 matricos savieji vektoriai.

2 × 2 matricos savasis vektorius

2 × 2 matricos savąjį vektorių galima apskaičiuoti naudojant aukščiau paminėtus veiksmus. To paties pavyzdys yra

Pavyzdys: Raskite matricos A = savąsias reikšmes ir savąjį vektorių egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Sprendimas:

Jei savosios reikšmės vaizduojamos naudojant λ, o savasis vektorius pavaizduotas kaip v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Tada savasis vektorius apskaičiuojamas naudojant lygtį,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1 (λ-6) = 0

⇒ (λ-6) (λ+1) = 0

λ = 6 ir λ = -1

Taigi savosios reikšmės yra 6 ir -1. Tada atitinkami savieji vektoriai yra

Jei λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Supaprastinus aukščiau pateiktą lygtį gauname,

5a=2b

Reikalingas savasis vektorius yra

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Jei λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

supaprastinus aukščiau pateiktą lygtį gauname,

a = -b

Reikalingas savasis vektorius yra

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Tada duotosios 2 × 2 matricos savieji vektoriai yraegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Tai yra du galimi savieji vektoriai, tačiau daugelis atitinkamų šių savųjų vektorių kartotinių taip pat gali būti laikomi kitais galimais savaisiais vektoriais.

3 × 3 matricos savasis vektorius

3 × 3 matricos savąjį vektorių galima apskaičiuoti naudojant aukščiau paminėtus veiksmus. To paties pavyzdys yra

Pavyzdys: Raskite matricos A = savąsias reikšmes ir savąjį vektorių egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Sprendimas:

Jei savosios reikšmės vaizduojamos naudojant λ, o savasis vektorius pavaizduotas kaip v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Tada savasis vektorius apskaičiuojamas naudojant lygtį,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Supaprastinus minėtą determinantą gauname

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

numeris į eilutę java

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Jei λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Supaprastinus aukščiau pateiktą lygtį gauname

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Tegu b = k₁ir c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Taigi savasis vektorius yra

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

imdamas k₁= 1 ir k₂= 0

savasis vektorius yra

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

imdamas k₁= 0 ir k₂= 1

savasis vektorius yra

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Jei λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Supaprastinus aukščiau pateiktą lygtį gauname,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Tegu b = k₁ir c = k₂, ir atsižvelgiant k₁= k₂= 1,

mes gauname,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Taigi savasis vektorius yra

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Eigenspace

Matricos savąją erdvę apibrėžiame kaip visų matricos savųjų vektorių aibę. Visi vektoriai savojoje erdvėje yra tiesiškai nepriklausomi vienas nuo kito.

Norėdami rasti matricos savąją erdvę, turime atlikti šiuos veiksmus

1 žingsnis: Raskite visas duotosios kvadratinės matricos savąsias reikšmes.

2 žingsnis: Kiekvienai savajai vertei raskite atitinkamą savąjį vektorių.

3 veiksmas: Paimkite visų savųjų vektorių aibę (tarkim A). Taip suformuota gauta aibė vadinama šio vektoriaus savąja erdve.

Iš aukščiau pateikto pateiktos 3 × 3 matricos A pavyzdžio taip suformuota savoji erdvė yra{egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Eigeno vertybių taikymas

Kai kurios bendrosios savųjų verčių taikymo galimybės yra šios:

Tiesinė algebra

Įstrižainė: savosios reikšmės naudojamos matricoms įstrižai, supaprastinant skaičiavimus ir veiksmingiau sprendžiant tiesines sistemas.

Matricos eksponencija: savosios reikšmės vaidina lemiamą vaidmenį apskaičiuojant matricos eksponenciją.

Kvantinė mechanika

Schrödingerio lygtis: Hamiltono operatoriaus savosios reikšmės atitinka kvantinių sistemų energijos lygius, suteikiant informaciją apie galimas būsenas.

Vibracijos ir struktūrinė analizė:

Mechaniniai virpesiai: savosios vertės atspindi natūralų virpesių sistemų dažnį. Struktūrinėje analizėje jie padeda suprasti konstrukcijų stabilumą ir elgseną.

Statistika

Kovariacijos matrica: daugiamatėje statistikoje kovariacijos matricų analizei naudojamos savosios reikšmės, suteikiančios informacijos apie duomenų sklaidą ir orientaciją.

Kompiuterinė grafika

Pagrindinių komponentų analizė (PCA): savosios reikšmės naudojamos PCA, kad būtų galima rasti pagrindinius duomenų rinkinio komponentus, sumažinant matmenis ir išsaugant esminę informaciją.

Valdymo sistemos

Sistemos stabilumas: sistemos matricos savosios reikšmės yra labai svarbios nustatant valdymo sistemos stabilumą. Stabilumo analizė padeda užtikrinti, kad sistemos atsakas yra ribotas.

Matricos įstrižainė naudojant savases reikšmes ir savuosius vektorius

Įstrižainės matricoms rasti naudojamos savosios reikšmės ir eigenvektoriai. A įstrižainės matrica yra matrica, kurią galima parašyti kaip

cout

A = XDX ^-1

kur,

• D yra matrica, kuri susidaro tapatybės matricoje 1 pakeitus savosiomis reikšmėmis ir
• X yra savųjų vektorių sudaryta matrica.

Įstrižainės matricos sąvoką galime suprasti paėmę šį pavyzdį.

Pavyzdys: Įstrižai matricą A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Sprendimas:

Mes jau išsprendėme A savąsias reikšmes ir savuosius vektorius = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

A savosios reikšmės yra λ = 0, λ = 0 ir λ = -8

A savieji vektoriai yraegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Taigi,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Mes galime lengvai rasti atvirkštinę X kaip,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Skaityti daugiau,

• Elementarioji operacija su matricomis
• Tapatybės matrica
• Matricos atvirkštinė

Išspręsti savųjų vektorių pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskite matricos A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix} savuosius vektorius

Sprendimas:

Matricos savosios reikšmės randamos naudojant

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1–l)³= 0

Taigi savosios reikšmės yra

λ = 1, 1, 1

Kadangi visos savosios reikšmės yra lygios, turime tris vienodus savuosius vektorius. Rasime savuosius vektorius λ = 1, naudodami (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Išspręsdami aukščiau pateiktą lygtį, gauname

• a = K
• y = 0
• z = 0

Tada savasis vektorius yra

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

2 pavyzdys: Raskite matricos A = savuosius vektorius egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Sprendimas:

Matricos savosios reikšmės randamos naudojant

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5–l)²= 0

Taigi savosios reikšmės yra

java eilutės vertė

λ = 5,5

Kadangi visos savosios reikšmės yra lygios, turime tris vienodus savuosius vektorius. Surasime savuosius vektorius, kai λ = 1, naudodami

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Paprasčiausiai tai, kas išdėstyta aukščiau, gauname,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Tada savivektorius yra

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

DUK apie savuosius vektorius

Kas yra savieji vektoriai?

Bet kurios matricos savąjį vektorių apibrėžiame kaip vektorių, kurį padauginus iš matricos gaunamas matricos mastelio kartotinis.

Kaip rasti savuosius vektorius?

Bet kurios matricos A savasis vektorius žymimas in . Matricos savasis vektorius apskaičiuojamas pirmiausia suradus matricos savąją reikšmę.

• Matricos savoji reikšmė randama naudojant formulę |A-λI| = 0, kur λ pateikia savąsias reikšmes.
• Radę savąją reikšmę, pagal formulę radome savąjį vektorių Av = λv, kur v suteikia savąjį vektorių.

Kuo skiriasi Eigenvalue ir Eigenvector?

Bet kurios kvadratinės matricos A savosios reikšmės pavaizduotos λ ir apskaičiuojamos pagal formulę, |A – λI| = 0. Radę savąją reikšmę randame savąjį vektorių pagal, Av = λv.

Kas yra įstrižainė matrica?

Bet kuri matrica, kuri gali būti išreikšta kaip trijų matricų sandauga kaip XDX^-1yra įstrižainė matrica, čia D vadinama įstrižainės matrica.

Ar savosios reikšmės ir savieji vektoriai yra vienodi?

Ne, savosios reikšmės ir savieji vektoriai nėra tas pats. Savosios reikšmės yra mastelio keitiklis, naudojamas saviesiems vektoriams rasti, tuo tarpu savieji vektoriai yra vektoriai, naudojami matricos vektorių transformacijoms rasti.

Ar Eigenvektorius gali būti nulinis vektorius?

Galime turėti savąsias reikšmes nuliui, bet savasis vektorius niekada negali būti nulinis.

Kas yra savųjų vektorių formulė?

Bet kurios matricos savasis vektorius apskaičiuojamas pagal formulę,

Išjungta = λv

kur,
l yra savoji reikšmė
in yra savasis vektorius