TRAPECIJOS TAISYKLĖ: APIBRĖŽIMAS, FORMULĖ, PAVYZDŽIAI IR DUK

Trapecijos taisyklė yra viena iš pagrindinių integracijos taisyklių, kuri naudojama apibrėžiant pagrindinį integracijos apibrėžimą. Tai plačiai naudojama taisyklė, o trapecijos taisyklė pavadinta taip, nes ji suteikia plotą po kreive, padalijant kreivę į mažas trapecijas, o ne į stačiakampius.

Paprastai plotą po kreive randame padalijant plotą į mažesnius stačiakampius ir tada randame visų stačiakampių sumą, tačiau trapecijos taisyklėje plotas po kreive yra padalintas į trapecijas, o tada apskaičiuojama jų suma. Trapecijos taisyklė naudojama apibrėžtųjų integralų reikšmei rasti atliekant skaitinę analizę. Ši taisyklė dar vadinama trapecijos taisykle arba trapecijos taisykle. Išsamiau apie trapecijos taisyklę, jos formulę ir įrodymą, pavyzdį ir kitus sužinosime šiame straipsnyje.

Kas yra trapecijos taisyklė?

Trapecijos taisyklė yra taisyklė, kuri naudojama formos apibrėžtojo integralo reikšmei rasti^b∫_af(x) dx. Žinome, kad apibrėžtojo integralo reikšmė^b∫_af(x) dx yra plotas, esantis po kreive y = f(x) ir x ašimi intervale a ir b x ašyje. Šį plotą apskaičiuojame padalydami visą plotą į kelis mažus stačiakampius ir rasdami jų sumą.

Trapecijos taisyklėje, kaip rodo pavadinimas, plotas po kreive yra padalintas į kelias trapecijas, o tada randama jų suma ir gaunamas kreivės plotas. Trapecijos taisyklė nepateikia geriausio ploto po kreive aproksimacijos nei Simpsono taisyklė, tačiau jos rezultatas yra pakankamai tikslus ir ši taisyklė yra plačiai naudojama skaičiavimuose.

Trapecijos formos taisyklės formulė

Trapecijos taisyklės formulė yra formulė, naudojama norint rasti plotą po kreive. Dabar norėdami rasti plotą po kreive, naudodami trapecijos taisyklę,

Tegu y = f(x) yra ištisinė kreivė, apibrėžta uždarame intervale [a, b]. Dabar uždarą intervalą [a, b] padalijame į n lygių subintervalų, kurių kiekvieno plotis yra

Δx = (b – a)/n

Toks, kad

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_n= b

Dabar naudodami trapecijos taisyklės formulę galime rasti plotą po kreive kaip:

∫^b_af(x) dx = Plotas po kreive = (Δx/2) [y₀+ 2 (ir₁+ ir₂+ ir₃+ ….. + ir_n-1) + y_n]

kur, y₀, ir₁, ir₂,…. ir_nyra funkcijos reikšmės, kai atitinkamai x = 1, 2, 3, ….., n.

Trapecijos formos taisyklės formulės išvedimas

Trapecijos taisyklės formulė plotui po kreive apskaičiuoti gaunama plotą po kreive padalijus į kelias trapecijas ir randant jų sumą.

Pareiškimas:

Tegu f(x) yra tolydi funkcija, apibrėžta intervale (a, b). Dabar intervalus (a, b) padalijame į n lygių subintervalų, kur kiekvieno intervalo plotis yra

Δx = (b – a)/n

taip, kad a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

Tada trapecijos taisyklės formulė yra

∫^b_af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

kur, x_i= a + i△x

Jei n → ∞, išraiškos R.H.S suteikia apibrėžtąjį integralą $int_{a}^{b}f(x) dx$

Įrodymas:

Ši formulė įrodoma padalijus plotą po kreive, kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje, į įvairias trapecijas. Pirmosios trapecijos aukštis yra Δx, o lygiagrečių pagrindų ilgis yra f (x₀) ir f(x₁)

Pirmosios trapecijos plotas = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Panašiai ir likusių trapecijų plotas yra (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], ir taip toliau.

Dabar galime pasakyti,

∫^b_af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n) )

Supaprastinus gauname,

∫^b_af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

Taigi įrodyta trapecijos taisyklė.

Kaip taikyti trapecijos taisyklę?

Trapecijos taisyklė randa plotą po kreive, padalijus plotą po kreive į įvairias trapecijas ir tada randa visų trapecijų sumą. Trapecijos taisyklė nėra tobula apibrėžtojo integralo vertės aproksimacija, nes ji naudoja kvadratinį aproksimaciją.

Turime rasti apibrėžtojo integralo reikšmę ∫^b_af(x) dx. Apibrėžtojo integralo reikšmę galima apskaičiuoti naudojant trapecijos taisyklę, atliekant toliau nurodytus veiksmus.

1 žingsnis: Pažymėkite subintervalų, n ir intervalų a bei b reikšmę.

2 žingsnis: Raskite tarpinio intervalo plotį (△x) naudodami formulę △x = (b – a)/n

3 veiksmas: Įdėkite visas reikšmes į trapecijos taisyklės formulę ir suraskite apytikslę duotosios kreivės, kuri reiškia apibrėžtąjį integralą ∫, plotą^b_af(x) dx

∫ ^b _a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

kur, x _i = a + i△x

Trapecijos taisyklės sumavimo žymėjimas

Žinome, kad trapecijos plotas iš esmės yra lygiagrečių kraštinių ilgių vidurkis, padaugintas iš aukščio. Taigi šiuo atveju apsvarstykite i trapeciją^thintervalas,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Kadangi bendras plotas yra visų plotų suma,

masyvas pridedant elementus java

A = A₁+ A₂+ ….+ A_n

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Tai vadinama sigma žymėjimu arba trapecijos sumų sumavimo žymėjimu.

Riemann sumos

Riemannas apibendrina darbą, susijusį su idėja padalyti plotą po kreive į skirtingas stačiakampes dalis. Didėjant stačiakampių skaičiui, sritis tampa vis arčiau esamos srities. Toliau pateiktame paveikslėlyje yra funkcija f(x). Šios funkcijos sritis yra padalinta į daugybę stačiakampių. Bendras plotas po kreive yra visų stačiakampių plotų suma.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau esančiame paveikslėlyje dešinysis stačiakampių galas liečia kreivę. Tai vadinama dešiniojo-Riemano sumomis.

Kitu atveju, kai kairysis stačiakampių galas liečia kreivę, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau, jie vadinami kairiosiomis Riemann sumomis.

Tarkime, kad Δx yra intervalo plotis, plotis n yra intervalų skaičius, kaip nurodyta aukščiau. Tada kreivės plotas, pavaizduotas suma, pateikiamas taip,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Vidurinio taško sumos

Riemanno sumose kairysis arba dešinysis stačiakampio galas liečia kreivę. Šiuo atveju stačiakampio vidurinis taškas liečia kreivę. Visa kita – kaip ir Riemann sumos. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta funkcija f(x) ir skirtingi stačiakampiai vidurinio taško sumose.

Tarkime, A_ižymi i plotą^thstačiakampis. Šiuo atveju šio stačiakampio plotas bus

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Dabar bendras plotas sumavimo žymėjime bus pateiktas taip,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Skaityti daugiau,

Integravimo formulės
Integracija dalimis
Diferencijavimo ir integravimo formulė

Išspręstas trapecijos taisyklės pavyzdys

1 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) apribotą plotą nuo x = 0 iki x = 4 su 4 intervalais.

f(x) = 4

Sprendimas:

Čia a = 0, b = 4 ir n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecijos taisyklė, kai n = 4, yra

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Pakeičiant reikšmes šioje lygtyje,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frak{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

2 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) apribotą plotą nuo x = 0 iki x = 3 su 3 intervalais.

f(x) = x

Sprendimas:

Čia a = 0, b = 3 ir n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecijos taisyklė, kai n = 3, yra

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$
java stygų klasė

Pakeičiant reikšmes šioje lygtyje,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rodyklė dešinėn T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Rodyklė į dešinę T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

3 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) apribotą plotą nuo x = 0 iki x = 2 su 2 intervalais.

f(x) = 2x

Sprendimas:

Čia a = 0, b = 2 ir n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecijos taisyklė, kai n = 2, yra

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Pakeičiant reikšmes šioje lygtyje,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rodyklė dešinėn T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

4 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) apribotą plotą nuo x = 0 iki x = 3 su 3 intervalais.

f(x) = x ²

Sprendimas:

Čia a = 0, b = 3 ir n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecijos taisyklė, kai n = 3, yra

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Pakeičiant reikšmes šioje lygtyje,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rodyklė dešinėn T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

5 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) apribotą plotą nuo x = 0 iki x = 4 su 4 intervalais.

f(x) = x ³ +1

Sprendimas:

Čia a = 0, b = 4 ir n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecijos taisyklė, kai n = 4, yra

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Pakeičiant reikšmes šioje lygtyje,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rodyklė dešinėn T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rodyklė dešinėn T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rodyklė dešinėn T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rodyklė dešinėn T_n= 72$
generuoti atsitiktinį skaičių Java

6 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) apribotą plotą nuo x = 0 iki x = 4 su 4 intervalais.

f(x) = e ^x

Sprendimas:

Čia a = 0, b = 4 ir n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Trapecijos taisyklė, kai n = 4, yra

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Pakeičiant reikšmes šioje lygtyje,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rodyklė dešinėn T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rodyklė dešinėn T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Trapecijos taisyklės taikymas

Skaitinis integravimas:

Pagrindinis trapecijos taisyklės taikymas yra apibrėžtųjų integralų aproksimavimas. Jis naudojamas, kai funkcijos integravimas yra sudėtingas, o skaitinis metodas yra labiau įmanomas. Trapecijos taisyklė dažnai yra pažangesnių skaitmeninio integravimo metodų dalis.

Fizika ir inžinerija:

Fizikoje ir inžinerijoje trapecijos taisyklė gali būti taikoma apskaičiuojant tokius dydžius kaip poslinkis, greitis ir pagreitis. Pavyzdžiui, kai eksperimentiniai duomenys renkami atskirais laiko intervalais, plotui po kreive įvertinti galima naudoti trapecijos taisyklę, suteikiant integralo aproksimaciją.

Ekonomika ir finansai:

Trapecijos taisyklė gali būti taikoma finansiniame modeliavime, siekiant įvertinti dabartinę būsimų pinigų srautų vertę. Tai ypač naudinga atliekant diskontuotų pinigų srautų (DCF) analizę, kurios tikslas yra apskaičiuoti grynąją dabartinę investicijos vertę.

Statistika:

Statistikoje trapecijos taisyklė gali būti naudojama norint įvertinti plotą pagal tikimybių tankio funkcijas arba kaupiamojo pasiskirstymo funkcijas. Tai ypač naudinga tais atvejais, kai tiksli paskirstymo forma nežinoma arba sudėtinga.

DUK apie trapecijos taisyklę

1 klausimas: kas yra trapecijos taisyklė?

Atsakymas:

Trapecijos taisyklė yra taisyklė, naudojama apibrėžiamajam integralui rasti, ji padalija plotą po kreive į kelias trapecijas, tada randamas jų individualus plotas, o tada apskaičiuojama suma, kad būtų gauta apibrėžtojo integralo reikšmė.

2 klausimas: kas yra trapecijos formos taisyklės formulė?

Atsakymas:

Trapecijos taisyklės formulė yra

∫ ^b _a f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

3 klausimas: kodėl ji vadinama trapecijos taisyklės formule?

Atsakymas:

Trapecijos taisyklės formulė vadinama trapecijos taisykle, nes ji padalija plotą po kreive į kelias trapecijas, o tada jų plotas apskaičiuojamas suradus trapecijos sumą.

4 klausimas: kuo skiriasi trapecijos taisyklė ir Riemann sumų taisyklė?

Atsakymas:

Pagrindinis skirtumas tarp trapecijos taisyklės ir Riemann sumų taisyklės yra tas, kad trapecijos taisyklė padalija plotą po kreive kaip trapecijas, o tada suranda plotą, paimdama jų sumą, o Riemann sumos padalija plotą po kreive kaip trapeciją ir tada suranda plotą, paimdamas jų sumą.