logo

TechCodeview

Integravimo formulės

Integravimo formulės yra pagrindinės formulės, naudojamos įvairioms integralinėms problemoms spręsti. Jie naudojami algebrinių išraiškų, trigonometrinių santykių, atvirkštinių trigonometrinių funkcijų ir logaritminių bei eksponentinių funkcijų integravimui rasti. Šios integravimo formulės labai naudingos ieškant įvairių funkcijų integravimo.

Integravimas yra atvirkštinis diferenciacijos procesas, ty jei d/dx (y) = z, tai ∫zdx = y. Bet kurios kreivės integravimas suteikia plotą po kreive. Integraciją randame dviem būdais: Neapibrėžta integracija ir Apibrėžta integracija. Neribotos integracijos atveju integracijai nėra jokių apribojimų, tuo tarpu apibrėžtos integracijos atveju funkcija yra integruota.



Leiskite mums sužinoti apie tai integralinės formulės, ir jų klasifikacija, išsamiai šiame straipsnyje.

Turinys

Integralinis skaičiavimas

Integralinis skaičiavimas yra skaičiavimo šaka, nagrinėjanti integralų teoriją ir taikymą. Integralų paieškos procesas vadinamas integracija. Integralinis skaičiavimas padeda rasti funkcijos antidarinius. Antidariniai dar vadinami funkcijos integralais. Jis žymimas ∫f(x)dx. Integralinis skaičiavimas nagrinėja bendrą vertę, pvz., ilgius, plotus ir tūrius. Integralas gali būti naudojamas ieškant apytikslių duotų duomenų tam tikrų lygčių sprendinių. Integralinis skaičiavimas apima dviejų tipų integravimą:



  • Neterminuota Integralai
  • Apibrėžtieji integralai

Kas yra integravimo formulės?

Integravimo formulės buvo plačiai pateiktos kaip šie formulių rinkiniai. Formulės apima pagrindines integravimo formules, trigonometrinių santykių integravimą, atvirkštines trigonometrines funkcijas, funkcijų sandaugą ir kai kuriuos išplėstinius integravimo formulių rinkinius. Integracija yra būdas sujungti dalis, kad būtų galima rasti visumą. Tai atvirkštinė diferenciacijos operacija. Taigi pagrindinė integravimo formulė yra

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integravimo formulės



Naudojant tai, gaunamos šios integravimo formulės.

Įvairios integralinio skaičiavimo formulės yra

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logtai yra|x| + C
  4. ∫exdx = ex+ C
  5. ∫axdx = (ax/ žurnalastai yraa) + C

Daugiau, integralinės formulės aptariamos toliau straipsnyje,

Pastaba:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , kur k yra pastovi
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Pagrindinės integravimo formulės

Toliau aptariamos kai kurios pagrindinės integravimo formulės, naudojamos integravimo problemoms spręsti. Jie išvedami iš pagrindinės integracijos teoremos. Žemiau pateikiamas pagrindinių integralų formulių sąrašas:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ irxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ irx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {kur, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Integralų formulių klasifikacija

Integralinės formulės skirstomos į įvairias kategorijas pagal šią funkciją.

  • Racionalios funkcijos
  • Neracionalios funkcijos
  • Hiperbolinės funkcijos
  • Atvirkštinės hiperbolinės funkcijos
  • Trigonometrinės funkcijos
  • Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos
  • Eksponentinės funkcijos
  • Logaritminės funkcijos

Trigonometrinių funkcijų integravimo formulės

Trigonometrinių funkcijų integravimo formulės naudojamos integralinėms lygtims, apimančioms trigonometrines funkcijas, išspręsti. Toliau pateikiamas integralinių formulių, apimančių trigonometrines ir atvirkštines trigonometrines funkcijas, sąrašas,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = įdegis x + C
  • ∫ kosek2x dx = -lova x + C
  • ∫ sek x tan x dx = sek x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sek x| +C
  • ∫ lovelė x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sek x dx = log |sek x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – lovytė x| + C

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integravimo formulės

Toliau pateikiamos įvairios atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integravimo formulės, naudojamos integraliems klausimams spręsti,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = nuodėmė-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = įdegis-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = vaikiška lovelė-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = kosek-1x + C

Išplėstinės integracijos formulės

Kai kurios kitos pažangios integravimo formulės, kurios yra labai svarbios sprendžiant integralus, yra aptariamos toliau,

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2– x2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a įdegis-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √(x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√ (a2– x2) dx = nuodėmė-1x/a + C
  • ∫√(a2– x2) dx = x/2 √(a2– x2) dx + a2/2 be-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √(x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Įvairios integravimo formulės

Įvairių tipų integraliniams klausimams spręsti naudojami įvairūs integravimo metodai. Kiekvienas metodas yra standartinis rezultatas ir gali būti laikomas formule. Kai kurie svarbūs metodai aptariami toliau šiame straipsnyje. Pažiūrėkime tris svarbius integravimo būdus.

  • Integravimas pagal dalių formulę
  • Integravimas pagal pakeitimo formulę
  • Integravimas pagal dalinių trupmenų formulę

Integravimas pagal dalių formulę

Integracija dalimis Formulė taikoma, kai duota funkcija lengvai apibūdinama kaip dviejų funkcijų sandauga. Integracija pagal dalių formulę, naudojama matematikoje, pateikta toliau,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Pavyzdys: Apskaičiuokite ∫ xe x dx

Sprendimas:

∫ automobilisxdx yra ∫ f(x) g(x) dx formos

tegul f(x) = x ir g(x) = ex

mes žinome, kad ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ automobilisxdx = x ∫exdx – ∫( 1 ∫exdx) dx+ c

= automobilisx- Tai yrax+ c

Integravimas pagal pakeitimo formulę

Integravimas pagal pakeitimo formulę taikoma, kai funkcija yra kitos funkcijos funkcija. t.y. tegul I = ∫ f(x) dx, kur x = g(t), kad dx/dt = g'(t), tada dx = g'(t)dt

Dabar I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Pavyzdys: Įvertinkite ∫ (4x +3) 3 dx

Sprendimas:

Tegu u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

mygtukas centriniam css

= 1/4 ∫ (u)3apie

= 1/4. in4/5

= u4/dvidešimt

= 4x+3)4/dvidešimt

Integravimas pagal dalinių trupmenų formulę

Integravimas dalinėmis trupmenomis Formulė naudojama, kai reikalingas P(x)/Q(x) integralas, o P(x)/Q(x) yra netinkama trupmena, todėl P(x) laipsnis yra mažesnis už (<) Q(x) laipsnis, tada trupmena P(x)/Q(x) rašoma kaip

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

kur

  • R(x) yra x daugianario
  • P 1 (x)/ Q(x) yra tinkama racionali funkcija

Dabar R (x) + P integracija1(x)/ Q(x) lengvai apskaičiuojamas naudojant aukščiau aptartas formules.

Integralų taikymas

Integralinės formulės yra labai naudingos matematikos formulės, naudojamos įvairioms užduotims atlikti. Įvairūs integralų programos apima:

  • Kreivės ilgio radimas
  • Vietos po kreive radimas
  • Funkcijos apytikslių reikšmių radimas
  • Objekto kelio nustatymas ir kt
  • Norėdami rasti plotą po kreive
  • Rasti netaisyklingų formų paviršiaus plotą ir tūrį
  • Norėdami rasti masės arba svorio centrą

Šios formulės iš esmės skirstomos į dvi kategorijas:

  • Apibrėžtos integravimo formulės
  • Neribotos integracijos formulės

Apibrėžta integravimo formulė

Kai pateikiama integravimo riba, naudojamos apibrėžtosios integralinės formulės. Apibrėžtoje integracijoje klausimo sprendimas yra pastovi reikšmė. Paprastai apibrėžta integracija išsprendžiama taip,

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Neribotos integracijos formulė

Neapibrėžtos integracijos formulės naudojamos neapibrėžtai integracijai išspręsti, kai integracijos riba nenurodyta. Neapibrėžtoje integracijoje naudojame integracijos konstantą, kuri paprastai žymima C

∫f(x) = F(x) + C

  • Neapibrėžti integralai
  • Apibrėžkite integralias savybes
  • Trigonometrinių funkcijų integravimas

Integralų formulių pavyzdžiai

1 pavyzdys: Įvertinkite

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 x dx
  • ∫ 4e x dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/nuodėm 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Sprendimas:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4) (x4/3) + C

(iv) ∫3 x dx

= (3x/ žurnalastai yra3) + C [∫a x dx = (a x / žurnalas tai yra a) + C]

(v) ∫4e x dx

= 4∫exdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , kur k yra pastovi]

= 4 irx+ C [∫e x dx = e x + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sek. x dx [ ∫tan x .sec x dx = sek x + C ]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫kosek2x dx [∫kosek 2 x dx = -lova x + C ]

= -lovytė x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– x2)] dx [mes tai žinome, dx = nuodėmė -1 (x/a) + C]

= be-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2– 32)}] dx [mes tai žinome,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a) sek-1(x/a) + C]

= (1/3) sek-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [žinome, kad ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – lovelė x| +C

2 pavyzdys: Įvertinkite ∫{e 9log tai yra x + ir 8logas tai yra x }/{Tai yra 6logai tai yra x + ir 5logai tai yra x } dx

Sprendimas:

Nuo, tai yra purtant tai yra x = x a

∫{e 9log tai yra x + ir 8logas tai yra x }/{Tai yra 6logai tai yra x + ir 5logai tai yra x } dx

= ∫{x9+ x8}/{x6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/x5dx

= ∫x3dx [mes tai žinome, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

3 pavyzdys: Įvertinkite ∫ sin x + cos x dx

Sprendimas:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [žinome, kad ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [žinome, kad ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

4 pavyzdys: Įvertinkite ∫4 x+2 dx

Sprendimas:

∫4 x+2 dx = ∫4x. 42dx

= ∫16. 4xdx [ žinojome, kad ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , kur k yra pastovus]

= 16∫ 4xdx [∫a x dx = (a x / žurnalas tai yra a) + C]

= 16 (4x/log 4) + C

5 pavyzdys: Įvertinkite ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Sprendimas:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Mes tai žinome, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3 [x2/2] + x + C

6 pavyzdys: Įvertinkite ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Sprendimas:

1 + cos 2x = 2cos 2 x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sek2xdx

= 2∫sek2x dx [Mes tai žinome, ∫sek 2 x dx = įdegis x + C ]

= 2 tan x + C

7 pavyzdys: Įvertinkite ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

Sprendimas:

∫(3 cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, kur k yra pastovi]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sek2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Praktikos problemos dėl integravimo formulių

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

DUK apie integravimo formules

Kas yra visos integravimo formulės?

Integravimo formulės yra formulės, naudojamos įvairioms integravimo problemoms spręsti,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ irxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ irx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {kur, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Kokios yra UV integravimo formulės?

UV integravimo formulė yra

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Ką reiškia integracija matematikoje?

Jei funkcijos g(x) išvestinė yra f(x), tai f(x) integracija yra g(x) ty ∫f(x)dx = g(x). Integracija pavaizduota simboliu ∫

Kaip mes integruojame naudodami integravimo formules?

Integracija gali būti pasiekta naudojant formules,

  • Apibrėžkite nedidelę tam tikrų matmenų objekto dalį, kuri, sudėjus be galo daug kartų, sudaro visą objektą.
  • Naudodami integravimo formules per tą mažą dalį išilgai skirtingų matmenų, gauname visą objektą.

Kas yra integrali formulė pagal dalį?

Integralo formulė pagal dalį naudojama integralui išspręsti, kai pateikiama neteisinga trupmena.

Kas yra integravimo formulių naudojimas?

Įvairioms integralinėms problemoms spręsti naudojamos integravimo formulės. Įvairios problemos, su kuriomis susiduriame kasdieniame gyvenime, gali būti lengvai išspręstos integruojant, pavyzdžiui, surasti bet kurio objekto masės centrą, surasti raketų, raketų, lėktuvų ir kt. trajektoriją.