Integravimas dalimis: Integravimas dalimis yra metodas, naudojamas skaičiuojant dviejų funkcijų sandaugai rasti. Iš esmės tai yra produkto diferencijavimo taisyklės atšaukimas.

Integruoti funkciją ne visada lengva, kartais turime integruoti funkciją, kuri yra dviejų ar daugiau funkcijų kartotinė, šiuo atveju, jei turime rasti integraciją, kurią turime naudoti integravimo pagal dalį koncepciją, kuri naudoja du dviejų funkcijų produktus ir pasakoja, kaip rasti jų integraciją.

Dabar sužinokime apie Integravimas dalimis, jo formulė, išvedimas ir kiti išsamiai šiame straipsnyje.

Kas yra integracija dalimis?

Integravimas pagal dalį yra metodas, naudojamas dviejų ar daugiau funkcijų produkto integracijai rasti, kai integravimas negali būti atliktas naudojant įprastus metodus. Tarkime, kad turime dvi funkcijas f(x) ir g(x) ir turime rasti jų sandaugos integraciją, t. y. ∫ f(x).g(x) dx, kur neįmanoma toliau išspręsti šio sandaugos sandaugos. f(x).g(x).

Ši integracija pasiekiama naudojant formulę:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

čia f'(x) yra pirmoji f(x) diferenciacija.

Ši formulė skaitoma taip:

Pirmosios funkcijos integravimas, padaugintas iš antrosios funkcijos, yra lygus (pirmoji funkcija) padauginta iš (antrosios funkcijos integracija) – integracija (pirmosios funkcijos diferenciacija, padauginta iš antrosios funkcijos integravimo).

Iš aukščiau pateiktos formulės galime nesunkiai pastebėti, kad pirmosios ir antrosios funkcijos pasirinkimas yra labai svarbus šios formulės sėkmei, o kaip pasirenkame pirmąją ir antrąją funkciją, aptarsime toliau šiame straipsnyje.

Kas yra dalinė integracija?

Dalinis integravimas, taip pat žinomas kaip integravimas dalimis, yra metodas, naudojamas skaičiavime, siekiant įvertinti dviejų funkcijų sandaugą. Dalinės integracijos formulė pateikiama taip:

∫ u dv = uv – ∫ v du

kur u ir v yra diferencijuojamos x funkcijos. Ši formulė leidžia supaprastinti gaminio integralą, suskaidant jį į du paprastesnius integralus. Idėja yra pasirinkti u ir dv, kad naująjį integralą dešinėje būtų lengviau įvertinti nei originalų kairėje. Šis metodas ypač naudingas dirbant su funkcijų produktais, kurie neturi paprastų antidarinių.

Dalinės integracijos istorija

Integravimo pagal dalį koncepciją pirmą kartą pasiūlė garsusis Brook Taylor savo knygoje 1715 m. Jis rašė, kad galime rasti dviejų funkcijų, kurių diferenciacijos formulės egzistuoja, sandaugą. Kai kurios svarbios funkcijos neturi integravimo formulių ir jų integravimas pasiekiamas naudojant integraciją, jas iš dalies paimant kaip dviejų funkcijų sandaugą. Pavyzdžiui, ∫ln x dx negalima apskaičiuoti naudojant įprastus integravimo metodus. Bet mes galime jį integruoti naudodami integravimo pagal dalį metodą ir paimdami jį kaip dviejų funkcijų sandaugą, ty ∫1.ln x dx.

Integracija pagal dalių formulę

Integravimo pagal dalis formulė yra formulė, kuri padeda mums pasiekti dviejų ar daugiau funkcijų produkto integraciją. Tarkime, kad turime integruoti dviejų funkcijų sandaugą kaip

∫u.v dx

kur u ir v yra x funkcijos, tai galima pasiekti naudojant

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

Pirmosios ir antrosios funkcijos pasirinkimo tvarka yra labai svarbi, o daugeliu atvejų pirmajai ir antrai funkcijoms rasti yra naudojama koncepcija ILATE.

Naudodami aukščiau pateiktą formulę ir ILATE koncepciją galime lengvai rasti dviejų funkcijų sandaugą. Integravimo pagal dalį formulė parodyta paveikslėlyje žemiau,

Integracijos išvedimas pagal dalių formulę

Integravimo pagal dalis formulė išvesta naudojant diferenciacijos sandaugos taisyklę. Tarkime, kad turime dvi funkcijas in ir in ir x, tada jų produkto išvestinė gaunama naudojant formulę,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Dabar išveskite integravimo pagal dalis formulę, naudodami diferenciacijos sandaugos taisyklę.

stygų masyvas

Sąlygų pertvarkymas

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integruojant abi puses x atžvilgiu,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

supaprastinimas,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Taigi gaunama integravimo dalimis formulė.

ILATE taisyklė

ILATE taisyklė mums nurodo, kaip pasirinkti pirmąją ir antrąją funkciją sprendžiant dviejų funkcijų sandaugos integravimą. Tarkime, kad turime dvi x u ir v funkcijas ir turime rasti jų produkto integraciją, tada pasirenkame pirmąją funkciją ir pagal ILATE taisyklę.

Visa ILATE forma aptariama toliau esančiame paveikslėlyje,

ILATE dalinės integracijos taisyklė

ILATE taisyklės suteikia mums pirmosios funkcijos paėmimo hierarchiją, t. y. jei nurodytoje funkcijos sandaugoje viena funkcija yra logaritminė funkcija, o kita funkcija yra trigonometrinė funkcija. Dabar imame logaritminę funkciją kaip pirmąją funkciją, nes ji yra aukščiau ILATE taisyklės hierarchijoje, atitinkamai pasirenkame pirmąją ir antrąją funkcijas.

PASTABA: Ne visada tikslinga naudoti ILATE taisyklę, kartais taip pat naudojamos kitos taisyklės pirmai ir antrai funkcijoms rasti.

Kaip rasti integraciją pagal dalį?

Integravimas pagal dalį naudojamas dviejų funkcijų sandaugai rasti. Tai galime pasiekti atlikdami toliau aptartus veiksmus,

Tarkime, kad turime supaprastinti ∫uv dx

1 žingsnis: Pasirinkite pirmąją ir antrąją funkciją pagal ILATE taisyklę. Tarkime, kad pirmąją funkciją laikome u, o antrąja – v.

2 žingsnis: Atskirkite u(x) nuo x, tai yra, Įvertinkite du/dx.

3 veiksmas: Integruoti v(x) x atžvilgiu, tai yra, Įvertinkite ∫v dx.

Naudokite formulės 1 ir 2 veiksmuose gautus rezultatus,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

4 veiksmas: Supaprastinkite aukščiau pateiktą formulę, kad gautumėte reikiamą integraciją.

Pakartotinis integravimas dalimis

Pakartotinis integravimas dalimis yra integravimo dalimis metodo pratęsimas skaičiavime. Jis naudojamas, kai turite funkcijų produktą, kurį reikia kelis kartus integruoti, kad surastumėte antidarinį. Procesas apima integravimo pagal dalis formulės taikymą iteratyviai, kol pasieksite tašką, kai gautą integralą lengva įvertinti arba jis turi žinomą formą.

Pakartotinai taikydami šią formulę, turėtumėte pradėti nuo integralo, kuris apima dviejų funkcijų sandaugą, o tada pritaikykite integravimą dalimis, kad suskirstytumėte jį į paprastesnius integralus. Tada tęstumėte šį procesą su gautais integralais, kol pasieksite tašką, kai nebereikia papildomų programų arba kai integralai tampa valdomi.

Štai žingsnis po žingsnio pavyzdys, kaip veikia pakartotinis dalių integravimas:

1. Pradėkite nuo dviejų funkcijų sandaugos integralo: ∫ u dv.
2. Taikykite integravimo dalimis formulę, kad gautumėte: uv – ∫ v du.
3. Jei naujasis integralas, gautas dešinėje, vis dar apima funkcijų sandaugą, dar kartą taikykite integravimą dalimis, kad jį toliau skaidytumėte.
4. Tęskite šį procesą, kol gausite paprastesnį integralą, kurį būtų galima lengvai įvertinti, arba tokį, kuris atitinka žinomą integralo formą.

Lentelinis integravimas dalimis

Lentelinis integravimas, taip pat žinomas kaip lentelių metodas arba lentelių integravimo metodas, yra alternatyvi integralų vertinimo metodika, kuri apima pakartotinį integravimo taikymą dalimis. Šis metodas ypač naudingas dirbant su integralais, kai funkcijų sandaugą galima integruoti kelis kartus, kad būtų pasiektas paprastas rezultatas.

Taikant lentelių metodą, kartotinis integravimo pagal dalis procesas organizuojamas į lentelę, todėl lengviau sekti terminus ir efektyviai supaprastinti integralą. Štai kaip veikia lentelės metodas:

1. Pradėkite surašydami funkcijas, susijusias su integralu, į dvi stulpelius: vieną skirtą funkcijai diferencijuoti (u), o kitą – integruoti (dv).
   • Pradėkite nuo integravimo funkcijos (dv) kairiajame stulpelyje ir diferencijavimo funkcijos (u) dešiniajame stulpelyje.
2. Toliau diferencijuokite funkciją u stulpelyje, kol pasieksite nulį arba konstantą. Kiekviename žingsnyje integruokite funkciją dv stulpelyje, kol pasieksite tašką, kai tolesnė integracija nereikalinga.
3. Padauginkite terminus įstrižai ir keiskite kiekvieno termino ženklus (+ ir -). Apibendrinkite šiuos produktus, kad sužinotumėte integracijos rezultatą.

Štai pavyzdys, iliustruojantis lentelių integravimo metodas :

Įvertinkime integralą ∫x sin(x) dx.

• 1 žingsnis: Sukurkite lentelę su dviem stulpeliais u (funkcija atskirti) ir dv (funkcija, skirta integruoti):

• 2 žingsnis: Atskirkite funkciją u stulpelyje ir integruokite funkciją stulpelyje dv:

• 3 veiksmas: Padauginkite terminus įstrižai ir keiskite ženklus:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Taigi, integralo ∫x rezultatas sin(x) dx yra -x cos(x) + sin(x).

Lentelės integravimo metodas yra ypač naudingas dirbant su integralais, kurie apima funkcijas, kurios pasikartoja diferencijuojant ar integruojant, todėl galima sistemingai ir organizuotai rasti antidarinį.

Integravimo pagal dalis taikymas

Integral by Parts turi įvairias integralinio skaičiavimo programas. Jis naudojamas ieškant funkcijos integravimo, kai įprasti integravimo metodai nepavyksta. Naudodami integravimo pagal dalis koncepciją, galime lengvai rasti atvirkštinių ir logaritminių funkcijų integravimą.

Rasime logaritminės funkcijos ir Arktano funkcijos integravimą naudodami integravimo pagal dalies taisyklę,

Logaritminės funkcijos integravimas (log x)

Atvirkštinės logaritminės funkcijos (log x) integravimas pasiekiamas naudojant Integravimo pagal dalį formulę. Integracija aptariama toliau,

1 iš 1000,00

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Log x kaip pirmąją funkciją ir 1 kaip antrąją funkciją.

Naudojant ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Kuri yra reikalinga logaritminės funkcijos integracija.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos integravimas (tan^-1x)

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos integravimas (tan^-1x) pasiekiama naudojant integravimo pagal dalį formulę. Integracija aptariama toliau,

∫ taip^-1x.dx = ∫deg^-1x.1.dx

Įdegio vartojimas^-1x kaip pirmoji funkcija ir 1 kaip antra funkcija.

Naudojant ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ įdegis^-1x.1.dx = įdegis^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ įdegis^-1x.1.dx = įdegis^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫ įdegis^-1x.1.dx = x. taip^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫ įdegis^-1x.dx = x. taip^-1x – ½.log(1 + x2) + C

c programos

Kuris yra būtinas atvirkštinės trigonometrinės funkcijos integravimas.

Realūs dalinės integracijos taikymai

Kai kurie bendri dalinės integracijos taikymai realiame gyvenime yra šie:

• Antidarinių radimas
  • Inžinerijoje ir fizikoje dalinė integracija naudojama norint rasti funkcijų, atspindinčių fizikinius dydžius, antidarinius. Pavyzdžiui, mechanikoje jis naudojamas judesio lygtims gauti iš jėgos ir pagreičio lygčių.
• Wallis produktas
  • Wallis sandaugą, begalinį pi sandaugą, galima gauti naudojant dalinės integracijos metodus. Šis produktas pritaikytas tokiose srityse kaip skaičių teorija, tikimybių teorija ir signalų apdorojimas.
• Gama funkcijos tapatybė
  • Gama funkcija, kuri išplečia faktorių funkciją iki kompleksinių skaičių, turi įvairių pritaikymų matematikoje, fizikoje ir inžinerijoje. Dalinė integracija naudojama norint įrodyti tapatybes, susijusias su gama funkcija, kurios yra labai svarbios tokiose srityse kaip tikimybių teorija, statistinė mechanika ir kvantinė mechanika.
• Naudojimas harmoninėje analizėje
  • Dalinė integracija atlieka svarbų vaidmenį harmoninėje analizėje, ypač Furjė analizėje. Jis naudojamas Furjė transformacijų savybėms nustatyti, pvz., konvoliucijos teoremai ir Furjė serijų savybėms. Šie rezultatai taikomi tokiose srityse kaip signalų apdorojimas, vaizdo analizė ir telekomunikacijos.

Integravimas pagal dalių formules

Naudodami integravimo pagal dalis koncepciją galime išvesti įvairių funkcijų integravimą. Kai kurios svarbios formulės, gautos naudojant šią techniką

• ∫ ir^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√(a²– x²).dx = ½ . x.√(a²– x²) + a²/2. be^-1x/a + C

Integravimas pagal dalių pavyzdžius

1 pavyzdys: Raskite ∫ e ^x x dx.

Sprendimas:

Tegu I = ∫ e^xx dx

u ir v pasirinkimas naudojant ILATE taisyklę

u = x
v = e^x

Skiriantis u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Naudojant integravimo pagal dalį formulę,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ e^xdx) dx

⇒ I = xe^x− ir^x+ C

⇒ I = e^x(x – 1) + C

2 pavyzdys: Apskaičiuokite ∫ x sin x dx.

Sprendimas:

Tegu I = ∫ x sin x dx

u ir v pasirinkimas naudojant ILATE taisyklę

u = x
v = sin x

Skiriantis u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Naudojant integravimo pagal dalį formulę,

⇒ I = ∫ x sin x dx

Diana Mary Blacker

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

3 pavyzdys: Raskite ∫ nuodėmę ⁻¹ x dx.

Sprendimas:

Tegu aš= ∫ nuodėmė⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.nuodėmė⁻¹x dx

u ir v pasirinkimas naudojant ILATE taisyklę

u = nuodėmė⁻¹x
v = 1

Skiriantis u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

tostring java

Naudojant integravimo pagal dalį formulę,

⇒ I = ∫ nuodėmė⁻¹x dx

⇒ I = be⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Tegu, t = 1 − x²

Skiriantis abi puses

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ nuodėmė⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Integravimo pagal dalis praktikos problemos

1. Integruoti xe ^x

2. Integruoti x sin(x)

3. Integruoti x ² ln(x)

4. Integruoti e ^x cos(x)

5. Integruoti ln(x)

DUK apie integravimą pagal dalis

Kas yra integracija dalimis?

Integravimas dalimis yra būdas rasti dviejų funkcijų sandaugą, kai įprastiniai integravimo būdai nepavyksta. Integravimas pagal dalies formulę yra

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

Kas yra integravimo pagal dalis formulė?

Dviejų funkcijų f(x) ir g(x) integravimo pagal dalį formulė yra tokia:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kur f'(x) yra f(x) diferenciacija.

Kaip išvesti integraciją pagal dalių formulę?

Integravimas pagal dalies formulę išvedamas naudojant diferenciacijos sandaugos taisyklę.

Kodėl naudojame integravimo pagal dalis formulę?

Integravimo pagal dalį formulė naudojama funkcijos integravimui rasti, kai įprasti diferencijavimo metodai nepavyksta. Atvirkštinių trigonometrinių ir logaritminių funkcijų integravimą galime rasti naudodami integravimo pagal dalies formulę

Kas yra integravimo dalimis taikymas?

Integravimas dalimis turi įvairias programas, o pagrindinis jos pritaikymas yra tas, kad jis naudojamas funkcijos integravimui rasti, kai funkcija pateikiama kaip funkcijų produktas, kurio negalima toliau supaprastinti. Pavyzdžiui, ∫ f(x).g(x) dx pasiekiamas naudojant integravimą dalimis.