Matricos rangas apibrėžiamas kaip vektoriaus erdvės, kurią sudaro jos stulpeliai, matmuo. Matricos rangas yra labai svarbi sąvoka tiesinės algebros srityje, nes ji padeda mums žinoti, ar galime rasti lygčių sistemos sprendimą, ar ne. Matricos reitingas taip pat padeda mums žinoti jos vektorinės erdvės matmenis.

Šiame straipsnyje išsamiai nagrinėjama matricos rango sąvoka, įskaitant jos apibrėžimą, kaip apskaičiuoti matricos rangą, taip pat negaliojimą ir jo ryšį su rangu. Taip pat išmoksime išspręsti kai kurias problemas, remiantis matricos rangu. Taigi, pirmiausia pradėkime nuo matricos rango apibrėžimo.

Turinys

• Kas yra matricos rangas?
• Kaip apskaičiuoti matricos reitingą?
• Matricos rango savybės
• Matricos rango pavyzdžiai
• DUK

Kas yra matricos rangas?

Matricos reitingas yra pagrindinė tiesinės algebros sąvoka, matuojanti maksimalų tiesiškai nepriklausomų eilučių ar stulpelių skaičių bet kurioje matricoje. Kitaip tariant, jis nurodo, kiek matricos eilučių ar stulpelių nėra naudingos ir prisideda prie bendros informacijos ar matricos matmenų. Apibrėžkime matricos rangą.

Matricos apibrėžimo reitingas

Matricos rangas apibrėžiamas kaip tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius a matrica .

styginių metodai

Jis žymimas naudojant ρ(A), kur A yra bet kokia matrica. Taigi matricos eilučių skaičius yra matricos rango riba, o tai reiškia, kad matricos rangas negali viršyti bendro matricos eilučių skaičiaus.

Pavyzdžiui, jei matrica yra 3 × 3, tada maksimalus matricos rangas gali būti 3.

Pastaba: Jei matricoje yra visos eilutės su nuliu elementų, tada matricos rangas yra lygus nuliui.

Matricos negaliojimas

Tam tikroje matricoje vektorių skaičius nulinėje erdvėje vadinamas matricos niekiniu arba jis taip pat gali būti apibrėžtas kaip duotosios matricos nulinės erdvės matmuo.

Iš viso matricos stulpelių = Reitingas + Nulity

Skaityti Daugiau apie Reitingo nulingumo teorema .

Kaip apskaičiuoti matricos reitingą?

Yra 3 metodai, kuriuos galima naudoti norint gauti bet kurios duotos matricos rangą. Šie metodai yra tokie:

• Mažasis metodas
• Naudojant Echelon formą
• Įprastos formos naudojimas

Išsamiai aptarkime šiuos metodus.

Mažasis metodas

Būtina sąlyga: Matricos nepilnamečiai

Norint rasti matricos rangą naudojant smulkųjį metodą, atliekami šie veiksmai:

• Apskaičiuokite matricos determinantą (tarkim A). Jei det(A) ≠ 0, tada matricos A rangas = matricos A eilė.
• Jei det(A) = 0, tai matricos rangas yra lygus didžiausios galimos matricos nenulinės mažosios eilės tvarkai.

Leiskite mums suprasti, kaip rasti matricos rangą naudojant minor metodą.

Pavyzdys: Raskite matricos rangą egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} naudojant nedidelį metodą.

DuotaA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• 1 veiksmas: apskaičiuokite A determinantą

it(A) = 1 (35–48) – 2 (28–42) + 3 (32–35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Kadangi det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 eilė

Naudojant Echelon formą

Mažasis metodas tampa labai varginantis, jei matricos tvarka yra labai didelė. Taigi šiuo atveju matricą konvertuojame į Ešelono formą. Matrica, kuri yra viršutinė trikampė forma arba apatinė trikampė forma laikomas ešeloninės formos. Matrica gali būti konvertuojama į Ešelono formą naudojant elementarios eilutės operacijos . Norint apskaičiuoti matricos rangą naudojant Echelon formą, atliekami šie veiksmai:

• Konvertuokite pateiktą matricą į ešeloninę formą.
• Ne nulinių eilučių skaičius, gautas matricos Echelon formoje, yra matricos rangas.

Leiskite mums suprasti, kaip rasti matricos rangą naudojant minor metodą.

Pavyzdys: Raskite matricos rangą egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} naudojant Echelon formos metodą.

DuotaA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• 1 veiksmas: konvertuokite A į ešelono formą

Taikyti R₂= R₂– 4R₁

Taikyti R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Taikyti R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Kadangi matrica A dabar yra apatinės trikampės formos, ji yra ešeloninės formos.

• 2 veiksmas: nulinių eilučių skaičius A = 2. Taigi ρ(A) = 2

Įprastos formos naudojimas

Sakoma, kad matrica yra normalios formos, jei ją galima sumažinti iki formos egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Čia aš_rreiškia r eilės tapatumo matricą. Jei matricą galima paversti įprastąja forma, tada sakoma, kad matricos rangas yra r.

Leiskite mums suprasti, kaip rasti matricos rangą naudojant minor metodą.

Pavyzdys: Raskite matricos rangą old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} naudojant įprastos formos metodą.

DuotaA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Taikyti R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁ir R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Taikyti R₁= R₁– 2R₂ir R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

šakalas prieš vilką

Taikyti R₁= R₁+ R₃ir R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Taikyti C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Taigi A gali būti parašytas kaip egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Taigi ρ(A) = 3

Matricos rango savybės

Matricos rango savybės yra tokios:

• Matricos rangas yra lygus matricos tvarkai, jei ji yra nevienetinė matrica.
• Matricos reitingas yra lygus nulinių eilučių skaičiui, jei ji yra ešeloninės formos.
• Matricos rangas yra lygus tapatybės matricos tvarkai joje, jei ji yra normalios formos.
• Matricos rangas
• Matricos rangas
• Tapatybės matricos rangas yra lygus tapatybės matricos tvarkai.
• Nulinės matricos arba nulinės matricos reitingas yra lygus nuliui.

Skaityti daugiau,

• Matricų tipai
• Matricos perkėlimas
• Matricos atvirkštinė

Matricos rango pavyzdžiai

IR 1 pavyzdys: Raskite matricos rangą old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} naudojant nedidelį metodą.

Sprendimas:

DuotaA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

1 veiksmas: apskaičiuokite A determinantą

it(A) = –1 (35–48) + 2 (28–42) – 3 (32–35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = –24

Kadangi det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 eilė

2 pavyzdys. Raskite matricos rangą old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} naudojant nedidelį metodą.

Sprendimas:

DuotaA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

1 veiksmas: apskaičiuokite A determinantą

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 - 72 = 216

Kadangi det(A) ≠ 0, ρ(A) = A = 3 eilė

3 pavyzdys. Raskite matricos rangą old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} naudojant Echelon formos metodą.

eilutę į int java

Sprendimas:

DuotaA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

1 veiksmas: konvertuokite A į ešelono formą

Taikyti R₂= R₂– 4R₁

Taikyti R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Taikyti R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Kadangi matrica A dabar yra apatinės trikampės formos, ji yra ešeloninės formos.

2 veiksmas: nulinių eilučių skaičius A = 2. Taigi ρ(A) = 2

4 pavyzdys. Raskite matricos rangą old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} naudojant Echelon formos metodą.

Sprendimas:

DuotaA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

1 veiksmas: konvertuokite A į ešelono formą

Taikyti R₂= R₂– 4R₁

Taikyti R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Taikyti R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Kadangi matrica A dabar yra apatinės trikampės formos, ji yra ešeloninės formos.

2 veiksmas: nulinių eilučių skaičius A = 2. Taigi ρ(A) = 2

5 pavyzdys. Raskite matricos rangą old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} naudojant įprastos formos metodą.

Sprendimas:

DuotaA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Taikyti R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁ir R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Taikyti R₁= R₁– 2R₂ir R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Taikyti R₁= R₁+ R₃ir R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Taikyti C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Taikyti R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Taigi A gali būti parašytas kaipegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Taigi ρ(A) = 3

Matricos reitingas – DUK

Apibrėžkite matricos rangą.

Matricos rangas apibrėžiamas kaip tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius matricoje. Jis žymimas naudojant ρ(A), kur A yra bet kokia matrica.

Kaip rasti matricos rangą?

Matricos reitingą galima apskaičiuoti įvairiais metodais, tokiais kaip:

• Mažasis metodas
• Naudojant Echelon formą
• Įprastos formos naudojimas

Koks yra matricos rangas, jei matricos determinantas nėra lygus nuliui?

Jei matricos determinantas yra nulis, tada matricos rangas yra lygus matricos eilei.

Kada sakoma, kad Matrica yra Echelon formos?

Teigiama, kad matrica, kuri yra viršutinio trikampio arba apatinio trikampio formos, yra ešeloninės formos.

Kas yra normalioji matricos forma?

Sakoma, kad matrica yra normalios formos, jei ją galima parašyti kaip egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} kur aš_ryra eilės „r“ tapatumo matrica.

Koks yra nulinės matricos rangas?

Nulinės matricos reitingas lygus nuliui.

Koks yra tapatybės matricos rangas?

Tapatybės matricos rangas yra lygus matricos tvarkai.

eilutė prieš stulpelį

Koks yra ryšys tarp matricos negaliojimo ir rango?

Ryšys tarp matricos negaliojimo ir rango yra toks:

Iš viso matricos stulpelių = Reitingas + Nulity