Matematinė indukcija yra matematikos sąvoka, naudojama įvairiems matematiniams teiginiams ir teoremoms įrodyti. Matematinės indukcijos principas kartais vadinamas PMI. Tai metodas, naudojamas įrodinėti pagrindines matematikos teoremas, kurios apima sprendimą iki n baigtinių natūralių terminų.

Matematinės indukcijos principas yra plačiai naudojamas įrodant įvairius teiginius, tokius kaip pirmojo suma n natūraliuosius skaičius pateikiama pagal formulę n(n+1)/2. Tai galima lengvai įrodyti naudojant matematinės indukcijos principą.

Šiame straipsnyje mes išsamiai sužinosime apie matematinės indukcijos principą, jo teiginį, pavyzdį ir kitus.

Turinys

• Kas yra matematinė indukcija?
• Matematinės indukcijos teiginio principas
• Matematinės indukcijos žingsniai
• Matematinės indukcijos pavyzdys

Kas yra matematinė indukcija?

Matematinė indukcija yra vienas iš pagrindinių įrodymų rašymo metodų ir naudojamas įrodyti pateiktą teiginį apie bet kurią gerai organizuotą rinkinį. Paprastai jis naudojamas rezultatams įrodyti arba teiginiams, kurie yra suformuluoti n , kur n yra natūralusis skaičius.

Tarkime, kad P(n) yra n natūraliojo skaičiaus teiginys, tada jį galima įrodyti naudojant matematinės indukcijos principą. Pirmiausia įrodysime P(1), tada tegul P(k) yra teisingas, tada įrodysime, kad P(k+1) . Jei P(k+1) galioja, mes sakome, kad P(n) yra teisingas matematinės indukcijos principu.

Matematinę indukciją galime palyginti su krentančiais domino kauliukais. Kai domino kauliukas nukrenta, jis numuša kitą domino iš eilės. Pirmas domino numuša antrąjį, antrasis numuša trečią ir t.t. Galų gale visi domino kauliukai bus sumušti. Tačiau yra tam tikrų sąlygų, kurias reikia įvykdyti:

• Pagrindinis žingsnis yra tas, kad pradinis domino kaulas turi nukristi, kad pradėtų veikti beldymosi procesas.
• Atstumas tarp domino turi būti lygus bet kuriems dviem gretiems domino kaulams. Priešingu atveju, tam tikras domino kauliukas gali nukristi be boulingo per kitą. Tada reakcijų seka sustos. Išlaikant vienodą atstumą tarp domino, užtikrinama, kad P(k) ⇒ P(k + 1) kiekvienam sveikajam skaičiui k ≥ a. Tai yra indukcinis žingsnis.

Matematinės indukcijos teiginio principas

Bet kurį teiginį P(n), kuris yra n natūraliajam skaičiui, galima įrodyti naudojant matematinės indukcijos principą, atliekant toliau nurodytus veiksmus.

1 žingsnis: Patikrinkite, ar teiginys yra teisingas nereikšmingiems atvejams ( n = 1) y., patikrinkite, ar P(1) yra teisingas.

2 žingsnis: Tarkime, kad teiginys teisingas, kai n = k kai k ≥ 1, ty P(k) yra teisingas.

3 veiksmas: Jei P(k) tiesa reiškia P(k + 1) tiesą, tada teiginys P(n) yra teisingas visiems n ≥ 1 .

Žemiau pateiktame paveikslėlyje yra visi matematinės indukcijos žingsniai

Pirmasis teiginys yra faktas ir jei neįmanoma, kad visi P(n) būtų teisingi, kai n = 1, tada šie teiginiai yra teisingi kai kurioms kitoms n reikšmėms, tarkime, n = 2, n = 3 ir kt.

Jei teiginys teisingas P(k), tada jei įrodyta, kad P(k+1) yra teisingas, mes sakome, kad P(n) yra teisingas visiems n, priklausantiems natūraliems skaičiams (N).

Matematinės indukcijos žingsniai

Įvairūs matematinėje indukcijoje naudojami žingsniai yra atitinkamai pavadinti. Įvairių žingsnių, naudojamų matematinės indukcijos principu, pavadinimai yra:

• Bazinis žingsnis: Įrodykite, kad P(k) yra teisingas, kai k =1
• Prielaidos žingsnis: Tegul P(k) yra teisingas visiems k esantis N ir k> 1
• Indukcinis žingsnis: Įrodykite, kad P(k+1) yra teisingas naudojant pagrindines matematines savybes.

Jei pirmiau minėti trys žingsniai yra įrodyti, galime pasakyti, kad pagal matematinės indukcijos principą P(n) yra teisingas visiems n, priklausantiems N.

Matematinės indukcijos pavyzdys

Matematinė indukcija naudojama įvairiems teiginiams įrodyti, mes galime tai išmokti naudodami šį pavyzdį.

Bet kurio teigiamo sveikojo skaičiaus n atveju įrodykite, kad n³+ 2n visada dalijasi iš 3

Sprendimas:

Tegu P(n): n³Pateiktas teiginys + 2n dalijasi iš 3.

1 veiksmas: pagrindinis veiksmas

Pirmiausia įrodome, kad P(1) yra teisingas. Tegul n = 1 iš n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Kadangi 3 dalijasi iš 3. Vadinasi, P(1) yra teisingas.

2 veiksmas: prielaidos veiksmas

Tarkime, kad P(k) yra teisingas

Tada, k³+ 2k dalijasi iš 3

Taigi galime parašyti kaip k³+ 2k = 3n, (kur n yra bet koks teigiamas sveikasis skaičius)….(i)

datos eilutė java

3 veiksmas: įvedimo žingsniai

Dabar turime įrodyti, kad algebrinė išraiška (k + 1)³+ 2(k + 1) dalijasi iš 3

= (k + 1)³+ 2 (k + 1)

= k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2 k) + (3 tūkst²+ 3k + 3)

iš lygties(i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Kadangi tai yra 3 kartotinis, galime pasakyti, kad jis dalijasi iš 3.

Taigi, P(k+1) yra teisingas, ty (k + 1)³+ 2(k + 1) dalijasi iš 3. Dabar pagal matematinės indukcijos principą galime pasakyti, kad P(n): n³+ 2n dalijasi iš 3 yra tiesa.

Skaityti daugiau,

• Aritmetinė progresija
• Geometrinė progresija

Išspręsti matematinės indukcijos pavyzdžiai

1 pavyzdys: Jei visi n ≥ 1, įrodykite, kad 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Sprendimas:

Tegu pateiktas teiginys yra P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Paimkime teigiamą sveikąjį skaičių k ir tarkime, kad P(k) yra teisingas, t.

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Dabar įrodysime, kad P(k + 1) taip pat yra teisingas, todėl dabar turime,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Taigi P(k + 1) yra teisingas, kai P(k) yra teisingas visiems natūraliems skaičiams. Vadinasi, matematinės indukcijos proceso metu pateiktas rezultatas yra teisingas visiems natūraliems skaičiams.

2 pavyzdys: Jei visi n ≥ 1, įrodykite, kad 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Sprendimas:

Tegu pateiktas teiginys yra S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Paimkime teigiamą sveikąjį skaičių k ir tarkime, kad S(k) yra teisingas, t.

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Dabar įrodysime, kad S(k + 1) taip pat yra teisingas, todėl dabar turime,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Taigi S(k + 1) yra teisingas, kai S(k) yra teisingas visiems natūraliems skaičiams. Ir mes iš pradžių parodėme, kad S (1) yra teisingas, taigi S (n) yra teisingas visiems natūraliems skaičiams.

3 pavyzdys: Jei visi n ≥ 1, įrodykite, kad 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Sprendimas:

Tegu pateiktas teiginys yra S(n),

ir S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Jei n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Taigi S(1) yra tiesa.

Paimkime teigiamą sveikąjį skaičių k ir tarkime, kad S(k) yra teisingas, t.

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Dabar įrodysime, kad S(k + 1) taip pat yra teisingas, todėl dabar turime,

1 + 3 + 5+…+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1) + 2k + 2–1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Taigi S(k + 1) yra teisingas, kai S(k) yra teisingas visiems natūraliems skaičiams. Ir mes iš pradžių parodėme, kad S (1) yra teisingas, taigi S (n) yra teisingas visiems natūraliems skaičiams.

4 pavyzdys: Jei visi n ≥ 1, įrodykite, kad 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Sprendimas:

Tegu pateiktas teiginys yra S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Paimkime teigiamą sveikąjį skaičių k ir tarkime, kad S(k) yra teisingas, t.

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Dabar įrodysime, kad S(k + 1) taip pat yra teisingas, todėl dabar turime,

js rinkinys

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Taigi S(k + 1) yra teisingas, kai S(k) yra teisingas visiems natūraliems skaičiams. Ir mes iš pradžių parodėme, kad S (1) yra teisingas, taigi S (n) yra teisingas visiems natūraliems skaičiams.

5 pavyzdys: Įrodykite a _n = a ₁ + (n – 1) d yra bendrasis bet kurios aritmetinės sekos narys.

Sprendimas:

Jei n = 1, turime a_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁, taigi formulė teisinga, kai n = 1,

Tarkime, kad formulė a_k= a₁+ (k – 1) tinka visiems natūraliems skaičiams.

Dabar įrodysime, kad formulė tinka ir k+1, taigi dabar turime,

a_{k + 1}= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Darėme prielaidą, kad a_k= a₁+ (k – 1) d, o pagal aritmetinės sekos apibrėžimą a_k+1– a_k= d,

Tada_{k + 1}– a_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁– a₁+ kd – kd + d
= d

Taigi formulė teisinga k + 1, kai ji teisinga k. Ir mes iš pradžių parodėme, kad formulė teisinga, kai n = 1. Taigi formulė teisinga visiems natūraliems skaičiams.

DUK apie matematinę indukciją

Kas yra matematinės indukcijos principas?

Matematinės indukcijos principas yra principas, kuris sako, kad bet kuriam teiginiui P(n), jei jis teisingas bet kokiai savavališkai reikšmei 'a', jei P(a) yra teisingas ir jei P(k) yra tiesa, tada įrodydami P( k+1), kad būtų teisinga, galime įrodyti, kad P(n) yra teisingas visiems n ≥ a ir n, priklausantiems natūraliems skaičiams.

Kas yra matematinės indukcijos naudojimas?

Matematinė indukcija yra pagrindinis matematikos principas, įrodantis pagrindinius matematikos teiginius, kurių negalima lengvai įrodyti kitomis priemonėmis.

Kas yra matematinės indukcijos matricose principas?

Matematinės indukcijos matricose principas yra pagrindinis principas, naudojamas pagrindiniams teiginiams įrodyti matricose, kurie nėra lengvai įrodomi kitais būdais.

Kaip taikyti matematinės indukcijos principą?

Matematinės indukcijos principas naudojamas matematiniams teiginiams įrodyti, tarkime, kad turime įrodyti teiginį P(n), tada taikomi žingsniai:

1 žingsnis: Įrodykite, kad P(k) yra teisingas, kai k =1

2 žingsnis: Tegul P(k) yra teisingas visiems k esantis N ir k> 1

3 veiksmas: Įrodykite, kad P(k+1) yra teisingas naudojant pagrindines matematines savybes.

Taigi, jei P(k+1) yra tiesa, tada sakome, kad P(n) yra tiesa.

Kokie yra problemos sprendimo žingsniai naudojant matematinę indukciją?

Trys pagrindiniai matematinės indukcijos žingsniai yra

• Bazinis žingsnis
• Prielaidos žingsnis
• Indukcinis žingsnis