Aritmetinė progresija, taip pat žinoma kaip A.P., yra matematikos seka, kurioje skirtumas tarp dviejų iš eilės einančių terminų yra pastovus. Konstanta yra žinoma kaip bendrasis skirtumas. Aritmetinė progresija yra skaičių seka eilės tvarka, kurioje skirtumas tarp bet kurių dviejų iš eilės einančių skaičių yra pastovi reikšmė.

Šiame straipsnyje mes išsamiai sužinosime apie aritmetinės progresijos apibrėžimą, aritmetines progresijos formules, susijusius pavyzdžius ir kitus.

: Java

Turinys

• Kas yra aritmetinė progresija?
• Žymėjimai aritmetinėje progresijoje
• Bendras aritmetinės progresijos skirtumas
• Pirmasis aritmetinės progresijos terminas
• N-asis aritmetinės progresijos narys
• Aritmetinės progresijos suma
• Aritmetinė progresijos formulė (AP formulės)

Kas yra aritmetinė progresija?

Aritmetinė progresija (AP) yra skaičių seka, kurioje skirtumas tarp dviejų iš eilės einančių skaičių yra pastovi reikšmė. Kitaip tariant, aritmetinė progresija gali būti apibrėžta kaip Matematinė seka, kurioje skirtumas tarp dviejų vienas po kito einančių terminų visada yra konstanta.

Pavyzdžiui, skaičių serija: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… yra aritmetinėje progresijoje, kurios bendras skirtumas (d) tarp dviejų iš eilės narių (tarkime 1 ir 2), lygus 1 (2 – 1). Galima pastebėti bendrą skirtumą tarp dviejų iš eilės einančių terminų, net nelyginių ir lyginių skaičių, kuriems 2 yra lygūs. AP trys pagrindiniai terminai yra bendrasis skirtumas (d), n-asis terminas (a_n), ir pirmųjų n narių suma (S_n); visi trys terminai reiškia AP savybes. Išsamiai pažvelkime į bendrą skirtumą,

AP susiduriame su skirtingais žodžiais, pvz., seka, serija ir progresija; dabar pažiūrėkime, ką apibrėžia kiekvienas žodis,

• Seka yra baigtinis arba begalinis skaičių sąrašas, atitinkantis tam tikrą modelį. Pavyzdžiui, 0, 1, 2, 3, 4, 5… yra seka, kuri yra begalinė sveikųjų skaičių seka.

• Serija yra elementų, kuriuos atitinka seka, suma. Pavyzdžiui, 1 + 2 + 3 + 4 + 5… yra natūraliųjų skaičių serija. Kiekvienas sekos ar serijos skaičius vadinamas terminu. Čia 1 yra terminas, 2 yra terminas, 3 yra terminas ir pan.

• Progresavimas yra seka, kurioje bendrasis terminas gali būti išreikštas naudojant matematinę formulę arba seka, kuri naudoja matematinę formulę, kuri gali būti apibrėžta kaip progresija.

Pastaba: Iš esmės yra trys progresavimo tipai:

1. Aritmetinė progresija (AP)
2. Geometrinė progresija (GP)
3. Harmoninė progresija (HP)

Žymėjimai aritmetinėje progresijoje

Aritmetinėje progresijoje susidursime su šiais užrašais:

• Pirma kadencija ⇢ a
• Bendras skirtumas ⇢ d
• N-tas terminas ⇢ a _n
• Pirmųjų n terminų suma ⇢ S _n

Bendroji aritmetinės progresijos forma yra a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Štai keletas AP pavyzdžių:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Bendras aritmetinės progresijos skirtumas

Bendras skirtumas aritmetinėje progresijoje žymimas d. Tai skirtumas tarp kito ir prieš tai buvusio termino. Aritmetinei progresijai ji visada yra pastovi arba vienoda. Žodžiu, jei bendras skirtumas tam tikroje sekoje yra pastovus, galime sakyti, kad tai yra A.P. Jei seka yra_1,a₂, a₃, a₄, ir taip toliau.

Kitaip tariant, bendras aritmetinės progresijos skirtumas žymimas d. Skirtumas tarp nuoseklaus ir ankstesnio termino. Aritmetinei progresijai jis visada yra pastovus arba vienodas. Kitaip tariant, galime pasakyti, kad tam tikroje sekoje, jei bendras skirtumas yra pastovus arba vienodas, tada galime sakyti, kad duotoji seka yra Aritmetinė progresija (AP).

Formulė, skirta rasti bendrą skirtumą, yra

d = (a _{n + 1} – a _n ) = (a _n – a _n-1 )

• Jei bendras skirtumas yra teigiamas, tada AP didėja . Pavyzdžiui, 4, 8, 12, 16... šiose serijose AP didėja

• Jei bendras skirtumas yra neigiamas, tada AP sumažėja . Pavyzdžiui -4, -6, -8…, čia AP sumažėja.

• Jei bendras skirtumas lygus nuliui, tada AP bus pastovus . Pavyzdžiui, 1, 2, 3, 4, 5…, čia AP yra pastovus.

Aritmetinės progresijos seka bus panaši į a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Bendras skirtumas (d) = a ₂ – a ₁ = d

a ₃ – a ₂ = d

a ₄ – a ₃ = d ir pan.

Pirmasis aritmetinės progresijos terminas

Aritmetinė progresija gali būti parašyta bendruoju skirtumu (d) taip:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

kur,

• a yra pirmasis AP terminas
• d yra bendras AP skirtumas

N-asis aritmetinės progresijos narys

N-ąjį terminą galima rasti naudojant toliau nurodytą formulę,

T _n = a + (n − 1)d

kur,

• a yra pirmoji AP kadencija
• d yra bendras skirtumas
• n yra terminų skaičius
• T_nyra n-tasis terminas

N-asis aritmetinės progresijos narys

Pastaba: Aritmetinės sekos elgesys grindžiamas bendro skirtumo reikšme.

Java pavyzdinis kodas

• Jei d yra teigiamas, terminai padidės iki teigiamos begalybės.
• Jei d yra neigiamas, narių nariai didėja iki neigiamos begalybės

Aritmetinės progresijos suma

Aritmetinės progresijos sumos formulė paaiškinta toliau; apsvarstykite AP, susidedančią iš n terminų.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Aritmetinės progresijos suma, kai pateikiamas pirmasis ir paskutinis terminas,

S = n/2 (pirmasis AP narys + paskutinis AP narys)

S = N/2[a+ a _n ]

Aritmetinė progresijos formulė (AP formulės)

AP, kurio pirmasis terminas „a“ ir bendras skirtumas „d“, įvairios jo formulės yra šios:

• Bendras skirtumas AP: d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ = a ₄ – a ₃ = … = a _n – a _n-1

• n-asis AP terminas: a _n = a + (n – 1)d

• n AP sąlygų suma: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , kur l yra paskutinis aritmetinės progresijos narys.

Aritmetinės progresijos santrauka

• Aritmetinė progresija (AP) yra skaičių seka, kurioje skirtumas tarp bet kurių dviejų iš eilės einančių skaičių yra pastovi reikšmė. Pavyzdžiui, skaičių serija: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• Bendroji aritmetinės progresijos forma yra a, a + d, a + 2d, a + 3d ...

• Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė yra a _n = a + (n – 1)d

• Pirmųjų n narių suma arba aritmetinės sumos formulė yra S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Straipsnis, susijęs su aritmetine progresija:

• Sumavimo formulė
• Natūralių skaičių suma
• Aritmetinė progresija ir geometrinė progresija

Aritmetinės progresijos pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskite AP, jei pirmasis narys yra 15, o bendras skirtumas yra 4.

Sprendimas:

Kaip mes žinome,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Čia a = 15 ir d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

pašto užsakymo pervežimas

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …ir taip toliau.

Taigi AP yra 15, 19, 23, 27, 31…

2 pavyzdys: suraskite 20-ąjį nurodyto AP terminą: 3, 5, 7, 9, …

Sprendimas:

Duota, 3, 5, 7, 9, 11…

Čia

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

a_n= a + (n − 1)d

a_dvidešimt= 3 + (20− 1)2

a_dvidešimt= 3 + 38

a_dvidešimt= 41

Čia 20-asis terminas yra a_dvidešimt= 41

3 pavyzdys: Raskite pirmųjų 20 5 kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmieji 20 5 kartotinių yra 5, 10, 15, … 100.

Čia aišku, kad sudaryta seka yra aritmetinė seka, kur

žemėlapis java

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20–1)5]

S_n= 10 [10 + 95]

S_n= 1050

Praktiniai klausimai apie aritmetinę progresiją

Q1. Pirmųjų nn aritmetinės progresijos narių sumą pateikia S _n = 3n ² + 2n. Raskite bendrą skirtumą ir pirmąjį terminą.

Q2. Pirmasis aritmetinės progresijos narys yra 7, o 11 narys yra 31. Raskite pirmųjų 11 narių sumą.

Q3. Aritmetinėje progresijoje pirmųjų 10 narių suma yra 150, o kitų 10 narių suma yra 550. Raskite pirmąjį narį ir bendrą skirtumą.

4 klausimas. Jei 4-asis aritmetinės progresijos narys yra 10, o 9-asis narys yra 25, raskite 15-ąjį narį.

Q5. Aritmetinės progresijos bendras skirtumas yra 5. Jei 6-asis narys yra 22, raskite pirmąjį narį ir pirmųjų 12 narių sumą.

DUK apie aritmetinę progresiją

Kas yra aritmetinė progresija su pavyzdžiu?

Aritmetinė progresija yra skaičių seka, kurioje du iš eilės einantys nariai turi bendrą skirtumą. Pavyzdžiui: 3, 6, 9, 12, 15,…

Kaip rasti aritmetinės progresijos sumą?

Norint rasti aritmetinę progresijos sumą, pagal pateiktą informaciją galima naudoti šias formules:

S = n/2 (pirmasis AP narys + paskutinis AP narys) = n/2[a+ a _n ]

Kuo skiriasi aritmetinė progresija ir aritmetinė serija?

Aritmetinė progresija yra sekų skaičius bet kuriame diapazone, kuris suteikia bendrą skirtumą. Tuo tarpu aritmetinė eilutė / seka yra visų aritmetinėje progresijoje esančių terminų suma.

Kas yra AP ir GP formulė?

AP ir GP formulė yra tokia:

• AP: a _n = a + (n – 1).d
• GP: a _n = a.r

Kas yra aritmetinės progresijos naudojimas?

Aritmetinė progresija yra eilutė, kuri suteikia bendrą skirtumą tarp dviejų iš eilės einančių terminų. Jis naudojamas kasdieniame gyvenime apibendrinti modelių rinkinį. Pavyzdžiui, laukdami autobuso, tarkime, kad autobusai važiuoja pastoviu greičiu, AP pagalba galite pasakyti, kada autobusas atvyks. AP taip pat gali būti naudojamas kuriant į piramidę panašias struktūras ir kt.