Vietinė Maxima ir Minima nurodo funkcijų taškus, kurie apibrėžia aukščiausią ir žemiausią tos funkcijos diapazoną. Funkcijos išvestinė gali būti naudojama vietinėms maksimalioms ir vietinėms minimumams apskaičiuoti. Vietines Maxima ir Minima galima rasti naudojant tiek pirmąjį išvestinės, tiek antrosios išvestinės testą.

Šiame straipsnyje aptarsime Vietinės Maximos ir Minimos įvadą, apibrėžimą, svarbią terminiją ir jos reikšmę. Taip pat suprasime skirtingus Vietos Maximos ir Minimos skaičiavimo metodus matematikoje ir skaičiavimas . Taip pat spręsime įvairius pavyzdžius ir pateiksime praktinius klausimus, kad geriau suprastume šio straipsnio sampratą.

Turinys

• Kas yra Vietinė Maxima ir Vietinė Minima?
• „Local Maxima“ ir „Local Minima“ apibrėžimas
• Sąlygos, susijusios su Vietine Maxima ir Vietine Minima
• Kaip rasti Vietinę Maximą ir Minima?
• Pavyzdžiai „Local Maxima“ ir „Local Minima“.

Kas yra Vietinė Maxima ir Vietinė Minima?

Vietos maksimumai ir minimumai yra vadinami didžiausiomis ir mažiausiomis vertėmis tam tikrame intervale. Vietinis maksimumas atsiranda, kai a reikšmės funkcija šalia konkretaus taško visada yra mažesnės už funkcijos reikšmes tame pačiame taške. Vietinių minimumų atveju funkcijos reikšmės šalia konkretaus taško visada yra didesnės už funkcijos reikšmes tame pačiame taške.

Paprasčiau tariant, taškas vadinamas vietiniu maksimumu, kai funkcija pasiekia didžiausią reikšmę tam tikrame intervale, o taškas vadinamas lokaliniu minimumu, kai funkcija pasiekia mažiausią reikšmę tam tikrame intervale.

Pavyzdžiui, jei einate į kalvotą vietovę ir stovite ant kalvos viršūnės, ta vieta vadinama Vietine Maxima, nes esate aukščiausiame savo aplinkos taške. Panašiai, jei stovite žemiausiame upės ar jūros taške, tas taškas vadinamas vietiniu minimumu, nes esate žemiausiame savo aplinkos taške.

„Local Maxima“ ir „Local Minima“ apibrėžimas

Vietinė Maxima ir Minima yra pradinės bet kurios funkcijos reikšmės, kad susidarytų supratimas apie jos ribas, pvz., didžiausias ir mažiausias išvesties vertes. „Local Minima“ ir „Local Maxima“ dar vadinamos „Local Extrema“.

Vietinė Maxima

Vietinis Maxima taškas yra bet kurios funkcijos taškas, kuriame funkcija pasiekia didžiausią vertę per tam tikrą intervalą. Funkcijos f (a) taškas (x = a) vadinamas Vietiniu maksimumu, jei f(a) reikšmė yra didesnė arba lygi visoms f(x) reikšmėms.

kairysis sujungimas vs dešinysis sujungimas

Matematiškai f (a) ≥ f (a -h) ir f (a) ≥ f (a + h), kur h> 0, tada a vadinama vietiniu maksimumu.

Vietinis minimumas

Vietinis minimumo taškas yra bet kurios funkcijos taškas, kuriame funkcija pasiekia mažiausią reikšmę per tam tikrą intervalą. Funkcijos f (a) taškas (x = a) vadinamas vietiniu minimumu, jei f(a) reikšmė yra mažesnė arba lygi visoms f(x) reikšmėms.

Matematiškai, f (a) ≤ f (a -h) ir f (a) ≤ f (a + h), kur h> 0, tada a vadinama vietiniu minimumu.

Sąlygos, susijusios su Vietine Maxima ir Vietine Minima

Toliau aptariama svarbi terminija, susijusi su Vietine Maxima ir Minima:

Didžiausia vertė

Jei kuri nors funkcija suteikia didžiausią išvesties reikšmę x įvesties reikšmei. Ta x reikšmė vadinama didžiausia. Jei jis apibrėžtas tam tikrame diapazone. Tada tas taškas vadinamas Vietinė Maxima .

Absoliutus maksimumas

Jei kuri nors funkcija suteikia didžiausią x įvesties vertės išvesties reikšmę visame funkcijos diapazone. Ta x reikšmė vadinama absoliučiu maksimumu.

Minimali vertė

Jei kuri nors funkcija suteikia mažiausią išvesties reikšmę x įvesties reikšmei. Ta x reikšmė vadinama minimalia reikšme. Jei jis apibrėžtas tam tikrame diapazone. Tada tas taškas vadinamas Vietinis minimumas .

Absoliutus minimumas

Jei kuri nors funkcija suteikia mažiausią x įvesties vertės išvesties reikšmę visame funkcijos diapazone. Ta x reikšmė vadinama absoliučiu minimumu.

Inversijos taškas

Jei x reikšmė nurodytos funkcijos diapazone nerodo didžiausios ir mažiausios išvesties, tai vadinama inversijos tašku.

Sužinokite daugiau, Absoliuti Maxima ir Minima

Kaip rasti Vietinę Maximą ir Minimą?

Vietos Maxima ir Minima nustatomos tik konkrečiam diapazonui, tai nėra visos funkcijos maksimumas ir minimumas ir netaikomi visam funkcijos diapazonui.

Skaičiuojant Vietinę Maximą ir Minima yra toks metodas. Šitie yra:

• Pirmame žingsnyje paimame funkcijos išvestinę.

• Antrame žingsnyje išvestinę nustatome lygią nuliui ir apskaičiuojame c kritinius taškus.

• Trečiame žingsnyje mes naudojame Pirmas darinys ir Antrasis išvestinis testas nustatyti Vietinę Maximą ir Vietinį minimumą.

Kas yra pirmasis išvestinis testas?

Pirma, paimame pirmąją funkcijos išvestinę, kuri suteikia funkcijos nuolydį. Artėjant prie maksimalaus taško, funkcijos nuolydis didėja, tada didžiausiame taške tampa nuliu, o po to mažėja tolstant nuo jo.

Panašiai ir minimaliame taške, artėjant prie minimalaus taško, kreivės nuolydis mažėja, tada minimaliame taške tampa nuliu, o po to didėja tolstant nuo to taško.

Paimkime funkciją f(x), kuri yra ištisinė kritiniame taške c atvirame intervale I, o f'(c) = 0 reiškia nuolydį kritiniame taške c = 0.

Norėdami patikrinti f'(x) pobūdį aplink kritinį tašką c, turime šias sąlygas, kad nustatytume vietinio maksimumo ir minimumo reikšmes iš pirmojo išvestinės testo. Šios sąlygos yra:

• Jei f ′(x) keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, kai x didėja per c, tada f(c) rodo didžiausią tos funkcijos reikšmę duotame diapazone. Vadinasi, taškas c yra Local Maxima taškas, jei pirmoji išvestinė f ‘(x)> 0 bet kuriame taške yra pakankamai arti c kairėje, o f ‘(x) <0 bet kuriame taške pakankamai arti dešinėje nuo c.

• Jei f ′(x) keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, kai x didėja per c, tada f(c) rodo mažiausią tos funkcijos reikšmę duotame diapazone. Vadinasi, taškas c yra vietinio minimumo taškas, jei pirmoji išvestinė f ‘(x) 0 bet kuriame taške yra pakankamai arti c dešinėje.

• Jei f'(x) nekeičia ženklo reikšmingai, kai x didėja per c, tai taškas c nerodo didžiausios (Local Maxima) ir mažiausios (Local Minima) funkcijos reikšmės. Tokiu atveju taškas c yra vadinamas Infleksijos tašku.

Skaityti daugiau apie Pirmasis išvestinis testas .

Kas yra antrasis išvestinis testas?

Antrasis išvestinės testas naudojamas norint išsiaiškinti bet kurios funkcijos absoliutaus maksimumo ir absoliutaus minimumo reikšmes tam tikrame intervale. Paimkime funkciją f(x), kuri yra ištisinė kritiniame taške c atvirame intervale I, o f'(c) = 0, reiškia nuolydį kritiniame taške c = 0. Čia paimame antrąją išvestinę f (x) funkcijos f(x), kuri suteikia funkcijos nuolydį.

Norėdami patikrinti f'(x) pobūdį, turime šias sąlygas, kad nustatytų vietinio maksimumo ir minimumo reikšmes iš antrojo išvestinės testo. Šios sąlygos yra:

• Taškas c yra Local Maxima taškas, jei pirmoji išvestinė f'(c) = 0, o antroji išvestinė f(c) <0. Taškas x= c bus Vietinė Maxima, o f(c) bus didžiausia vietinė f(x) reikšmė.

• Taškas c yra vietinio minimumo taškas, jei pirmoji išvestinė f'(c) = 0, o f(c) antroji išvestinė> 0. Taškas x= c bus vietinis minimumas, o f(c) bus Vietinė mažiausia f(x) reikšmė.

• Testas nepavyksta, jei pirmoji išvestinė f'(c) = 0, o antroji išvestinė f(c) = 0, tai taškas c nerodo didžiausios (Local Maxima) ir mažiausios (Local Minima) funkcijos reikšmės. , Tokiu atveju taškas c vadinamas vingio tašku, o taškas x = c vadinamas Posūkio taškas.

Taip pat patikrinkite

• Išvestinių finansinių priemonių taikymas
• Giminė Maxima ir Minima
• Diferencijavimo ir integravimo formulė

Pavyzdžiai „Local Maxima“ ir „Local Minima“.

1 pavyzdys: išanalizuokite funkcijos f(x) = 2x vietinius maksimumus ir vietinius minimumus ³ – 3x ² – 12x + 5 naudojant pirmąjį išvestinį testą.

Sprendimas:

Duota funkcija yra f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Pirmoji funkcijos išvestinė yra f'(x) = 6x²– 6x – 12, jis naudos kritiniams taškams išsiaiškinti.

Norint rasti kritinį tašką, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6 (x²– x – 2) = 0

6 (x + 1) (x – 2) = 0

Taigi kritiniai taškai yra x = -1 ir x = 2.

Išanalizuokite Pirmąjį išvestinį tiesioginį tašką iki kritinio taško x = -1. Taškai yra {-2, 0}.

f'(-2) = 6 (4 + 2 - 2) = 6 (4) = +24 ir f'(0) = 6 (0 + 0 - 2) = 6 (-2) = -12

Išvestinės ženklas yra teigiamas kairėje nuo x = -1, o neigiamas dešinėje. Vadinasi, tai rodo, kad x = -1 yra Vietinė Maxima.

Dabar panagrinėkime Pirmosios išvestinės tiesioginį tašką iki kritinio taško x = 2. Taškai yra {1,3}.

f'(1) = 6 (1 -1 -2) = 6 (-2) = -12 ir f'(3) = 6 (9 + -3 - 2) = 6 (4) = +24

gimp išsaugojimas kaip jpeg

Išvestinės ženklas yra neigiamas į kairę nuo x = 2, o teigiamas į dešinę. Vadinasi, tai rodo, kad x = 2 yra vietinis minimumas.

Todėl Vietinė Maxima yra -1, o Vietinė Minima yra 2.

2 pavyzdys: išanalizuokite funkcijos f(x) = -x vietinius maksimumus ir vietinius minimumus ³ +6x ² -12x +10 naudojant antrąjį išvestinės testą.

Sprendimas:

Duota funkcija yra f(x) = -x³+6x²-12x +10

Pirmoji funkcijos išvestinė yra f'(x) = -x³+6x²-12x +10, jis bus naudojamas kritiniams taškams išsiaiškinti.

Norint rasti kritinį tašką, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1) (x – 3) = 0

Taigi kritiniai taškai yra x = 1 ir x = 3

Dabar paimkite antrąją funkcijos išvestinę,

f(x) = 6x – 12

Įvertinkite f(x) kritiniame taške x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, taigi x = 1 atitinka Vietinę Maximą.

Įvertinkite f(x) kritiniame taške x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, taigi x = 3 atitinka vietinius minimumus.

Dabar apskaičiuosime funkcijų reikšmes kritiniuose taškuose:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, todėl vietinis maksimumas yra (1, 3)

atributo klaida python

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, todėl vietinis maksimumas yra (3, 1)

Praktiniai klausimai apie Local Minima ir Maxima

Q1. Raskite funkcijos f(x) = 2×3 – 3x lokalinius maksimumus ir vietinius minimumus²-12x +5 naudojant antrąjį išvestinės testą.

Q2. Raskite ir išanalizuokite funkcijos f(x) = – x lokalinius maksimumus ir vietinius minimumus²+4x -5 naudojant antrąjį išvestinės testą.

Q3. Raskite funkcijos f(x) = x lokalinius maksimumus ir vietinius minimumus²-4x +5 naudojant pirmąjį išvestinį testą.

4 klausimas. Raskite ir išanalizuokite funkcijos f(x) = 3x lokalinius maksimumus ir vietinius minimumus²-12x +5 naudojant pirmąjį išvestinį testą.

Q5. Raskite ir išanalizuokite funkcijos f(x) = x lokalinius maksimumus ir vietinius minimumus³– 6x²+9x + 15 naudojant pirmąjį išvestinį testą.

6 klausimas. Raskite ir išanalizuokite funkcijos f(x) = 2x lokalinius maksimumus ir vietinius minimumus³-9x²+12x +5 naudojant antrąjį išvestinės testą.

Vietinė Maxima ir Vietinė Minima – DUK

Kas yra Vietinė Maxima?

Taškas vadinamas Local Maxima, kai funkcija pasiekia didžiausią reikšmę tam tikrame intervale.

Kaip rasti vietinį maksimumą?

Atskirdami funkciją ir radę kritinę reikšmę, kuriai esant nuolydis lygus nuliui, galime rasti vietinį maksimumą.

Kas yra vietinis minimumas?

Taškas vadinamas vietiniais minimumais, kai funkcija pasiekia mažiausią reikšmę tam tikrame intervale.

Kokius metodus galite naudoti skaičiuodami „Local Maxima“ ir „Local Minima“?

Pirmasis išvestinis testas ir antrasis išvestinis testas.

Kuo skiriasi pirmasis išvestinis testas nuo antrojo išvestinės testo?

Pirmasis išvestinis testas yra apytikslis metodas lLcal maksimumų ir vietinių minimumų vertei apskaičiuoti, o antrasis išvestinis testas yra sistemingas ir tikslus metodas vietinių maksimumų ir vietinių minimumų vertei apskaičiuoti.

Ką reiškia inversijos taškas?

Jei taško reikšmė duotosios funkcijos diapazone nerodo didžiausios ir mažiausios išvesties, tas taškas vadinamas inversijos tašku.

Kam naudinga „Local Maxima“ ir „Local Minima“?

Norėdami sužinoti kraštutinę funkcijos reikšmę tam tikrame diapazone.