The atvirkštinė Matrica yra matrica, kurią padauginus iš pradinės matricos gaunama tapatybės matrica. Bet kuriai matricai A jos atvirkštinė reikšmė žymima kaip A^-1.

Išsamiai sužinokime apie atvirkštinę matricą, įskaitant jos apibrėžimą, formulę, metodus, kaip rasti atvirkštinę matricos vertę, ir pavyzdžius.

Turinys

• Matrica atvirkštinė
• Su Matrix Inverse susijusios sąlygos
• Kaip rasti atvirkštinę matricą?
• Atvirkštinė matricos formulė
• Atvirkštinės matricos metodas
• Atvirkštinis 2×2 matricos pavyzdys
• Atvirkštinės matricos determinantas
• Matricos atvirkštinės savybės
• Matricos atvirkštiniai išspręsti pavyzdžiai

Matrica atvirkštinė

Matricos atvirkštinė vertė yra kita matrica, kurią padauginus iš pateiktos matricos, gaunama multiplikacinė tapatybė .

Matricai A ir jos atvirkštinei A^-1, turi tapatybės nuosavybė.

A.A ^-1 = A ^-1 A = I

kur aš yra tapatybės matrica.

Su Matrix Inverse susijusios sąlygos

Žemiau pateikta terminija gali padėti aiškiau ir lengviau suvokti atvirkštinę matricos reikšmę.

Singuliarinė matrica

Matrica, kurios determinanto reikšmė lygi nuliui, vadinama vienaskaita, t.y bet kuri matrica A vadinama vienaskaita, jei |A| = 0. Vienaskaitos matricos atvirkštinė neegzistuoja.

Nevienetinė matrica

Matrica, kurios determinanto reikšmė yra ne nulis, vadinama nevienaskaita matrica, t.y bet kuri matrica A vadinama ne vienaskaita, jei |A| ≠ 0. Egzistuoja ne vienaskaitos matricos atvirkštinė.

Tapatybės matrica

Kvadratinė matrica, kurioje visi elementai, išskyrus pagrindinius įstrižainius, yra lygūs nuliui, vadinama tapatumo matrica. Jis pavaizduotas naudojant I. Tai yra matricos tapatumo elementas, kaip ir bet kuriai matricai A,

A × I = A

Tapatybės matricos pavyzdys yra

aš_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Tai 3 × 3 eilės tapatybės matrica.

Skaityti daugiau :

• Tapatybės matrica

Kaip rasti atvirkštinę matricą?

Matematikoje matricos atvirkštinę vertę galima rasti dviem būdais:

• Matricos formulės naudojimas
• Naudojant atvirkštinės matricos metodus

Atvirkštinė matricos formulė

Matricos A atvirkštinė vertė, tai yra A^-1apskaičiuojamas naudojant atvirkštinę matricos formulę, kuri apima matricos adjunkto dalijimą iš jos determinanto.

Atvirkštinė matricos formulė

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

kur,

• adj A = matricos A adjunktas ir
• |A| = matricos A determinantas.

Pastaba : ši formulė veikia tik kvadratinėse matricose.

Norėdami rasti atvirkštinę matricą naudodami atvirkštinę matricos formulę, atlikite šiuos veiksmus.

1 žingsnis: Nustatykite visų A elementų nepilnamečius.

2 žingsnis: Tada apskaičiuokite visų elementų kofaktorius ir sukurkite kofaktorių matricą, pakeisdami A elementus atitinkamais kofaktoriais.

3 veiksmas: Paimkite A kofaktorių matricos transponavimą, kad surastumėte jos jungtį (parašyta kaip adj A).

4 veiksmas: Padauginkite adj A iš determinanto A atvirkštinės vertės.

Bet kuriai ne vienaskaitos kvadratinei matricai A,

A ^-1 = 1 / |A| × Adj (A)

Pavyzdys: Raskite atvirkštinę matricos vertęA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]naudojant formulę.

Mes turime,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Raskite matricos A adjontą, apskaičiuodami kiekvieno elemento kofaktorius ir tada gaudami kofaktorių matricos transponavimą.

adj A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Raskite matricos determinanto reikšmę.

|A| = 4 (18–25) – 3 (54–5) + 8 (30–2)

⇒ |A| = 49

Taigi, atvirkštinė matrica yra

A^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Atvirkštinės matricos metodas

Yra du atvirkštinės matricos metodai, skirti rasti atvirkštinę matricą:

1. Determinantinis metodas
2. Elementarus transformacijos metodas

1 metodas: Determinantinis metodas

Svarbiausias būdas rasti atvirkštinę matricą yra determinanto naudojimas.

praleisti sąrašą

Atvirkštinė matrica taip pat randama naudojant šią lygtį:

A ^-1 = adj(A) / det(A)

kur,

• adj(A) yra matricos A adjunktas ir
• tai (A) yra matricos A determinantas.

Norint rasti matricos A adjontatą, reikalinga A kofaktorių matrica. Tada adjoint (A) yra A kofaktoriaus matricos perkėlimas, ty,

adj (A) = [C _ij ] ^T

• Matricos kofaktoriui, ty C_ij, galime naudoti šią formulę:

C _ij = (-1) ^i+j tai (M _ij )

kur M _ij nurodo (i, j) ^th minor matrica kai i ^th eilė ir j ^th stulpelis pašalinamas.

2 metodas: elementarios transformacijos metodas

Atlikite toliau nurodytus veiksmus, kad surastumėte atvirkštinę matricą elementariosios transformacijos metodu.

1 žingsnis : Pateiktą matricą parašykite kaip A = IA, kur I yra tapatumo matrica, tokia pati kaip A.

2 žingsnis : Naudokite eilutės operacijų arba stulpelių operacijų seką, kol bus pasiekta tapatybės matrica LHS, taip pat naudokite panašias elementarias operacijas RHS, kad gautume I = BA. Taigi RHS matrica B yra atvirkštinė matricai A.

3 veiksmas: Įsitikinkite, kad atlikdami pagrindines operacijas naudojame eilutės operaciją arba stulpelio operaciją.

2 × 2 matricos atvirkštinę vertę galime lengvai rasti naudodami elementariąją operaciją. Supraskime tai naudodamiesi pavyzdžiu.

Pavyzdys: Raskite atvirkštinę vertę 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}naudojant elementarią operaciją.

Sprendimas:

Duota:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Dabar, R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂– R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢ R₁– R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Taigi atvirkštinė matricos A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} yra

A^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Atvirkštinis 2×2 matricos pavyzdys

Atvirkštinė 2 × 2 matrica taip pat gali būti apskaičiuojama naudojant nuorodų metodą, išskyrus aukščiau aptartą metodą. Panagrinėkime pavyzdį, kaip suprasti nuorodų metodą, skirtą 2 × 2 matricos atvirkštinei vertei apskaičiuoti.

Duotajai matricai A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Mes žinome, |A| = (skelbimas – bc)

ir adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

tada naudojant atvirkštinę formulę

A^-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Taigi apskaičiuojama atvirkštinė 2 × 2 matrica.

Atvirkštinė 3X3 matricos pavyzdys

Paimkime bet kurią 3×3 matricą A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

3 × 3 matricos atvirkštinė vertė apskaičiuojama naudojant atvirkštinės matricos formulė ,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Atvirkštinės matricos determinantas

Atvirkštinės matricos determinantas yra pradinės matricos determinanto atvirkštinė vertė. t.y.,

tai (A ^-1 ) = 1 / tai (A)

Pirmiau pateikto teiginio įrodymas aptariamas toliau:

det(A × B) = det (A) × det(B) (jau žinau)

⇒ A × A^-1= I (pagal atvirkštinės matricos savybę)

⇒ it(A × A^-1) = tai (aš)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ bet, det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ tai (A^-1) = 1 / tai (A)

Vadinasi, įrodyta.

Matricos atvirkštinės savybės

Atvirkštinė matrica turi šias savybes:

• Bet kuriai ne vienaskaitos matricai A, (A ^-1 ) ^-1 = A
• Bet kurioms dviem ne vienaskaitos matricoms A ir B, (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
• Egzistuoja ne vienaskaitos matricos atvirkštinė vertė, vienaskaitos matricos atvirkštinė neegzistuoja.
• Bet kokiam nevienaskaitiui A, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Susijęs:

• Apverčiama matrica
• Matricos: ypatybės ir formulės
• Matematinis veiksmas su matricomis
• Matricos determinantas
• Kaip rasti matricos determinantą?

Matricos atvirkštiniai išspręsti pavyzdžiai

Išspręskime keletą pavyzdinių klausimų apie atvirkštinę matricą.

1 pavyzdys: Raskite atvirkštinę matricos vertęold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}naudojant formulę.

Sprendimas:

Mes turime,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Raskite matricos A adjontą, apskaičiuodami kiekvieno elemento kofaktorius ir tada gaudami kofaktorių matricos transponavimą.

adj A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Raskite matricos determinanto reikšmę.

|A| = 2 (4–6) – 3 (4–4) + 1 (3–2)

= –3

Taigi, atvirkštinė matrica yra

A^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

2 pavyzdys: Raskite atvirkštinę matricos A=old{ formulę.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Sprendimas:

Mes turime,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Raskite matricos A adjontą, apskaičiuodami kiekvieno elemento kofaktorius ir tada gaudami kofaktorių matricos transponavimą.

adj A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Raskite matricos determinanto reikšmę.

|A| = 6 (0–4) – 2 (0–8) + 3 (0–0)

= 16

Taigi, atvirkštinė matrica yra

A^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

3 pavyzdys: Raskite matricos A= atvirkštinę vertęold{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } naudojant formulę.

Sprendimas:

Mes turime,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Raskite matricos A adjontą, apskaičiuodami kiekvieno elemento kofaktorius ir tada gaudami kofaktorių matricos transponavimą.

adj A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Raskite matricos determinanto reikšmę.

|A| = 1 (1–0) – 2 (0–0) + 3 (0–0)

= 1

Taigi, atvirkštinė matrica yra

A^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

prioritetinė eilė java

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

4 pavyzdys: Raskite matricos A= atvirkštinę vertęold{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } naudojant formulę.

Sprendimas:

Mes turime,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Raskite matricos A adjontą, apskaičiuodami kiekvieno elemento kofaktorius ir tada gaudami kofaktorių matricos transponavimą.

adj A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Raskite matricos determinanto reikšmę.

|A| = 1 (1–16) – 2 (2–12) + 3 (8–3)

= 20

Taigi, atvirkštinė matrica yra

A^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Dažnai užduodami klausimai apie atvirkštinę matricą

Kas yra atvirkštinė matrica?

Matricos atvirkštinė vertė vadinama atvirkštine matricos verte. Apverčiamos tik kvadratinės matricos, kurių determinantai skiriasi nuo nulio. Tarkime, bet kurios kvadratinės matricos A su atvirkštine matrica B jų sandauga visada yra tos pačios eilės tapatybės matrica (I).

[A] × [B] = [I]

Kas yra Matrica?

Matrica yra stačiakampis skaičių masyvas, suskirstytas į nustatytą eilučių ir stulpelių skaičių. Matricos eilučių ir stulpelių skaičius vadinamas jos matmeniu arba tvarka.

Kas yra atvirkštinė 2 × 2 matrica?

Bet kuriai matricai A arba tvarkai 3 × 3 jos atvirkštinė randama naudojant formulę,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Kas yra 3 × 3 matricos atvirkštinė vertė?

Bet kurios kvadratinės 3 × 3 matricos atvirkštinė (tarkim A) yra tos pačios eilės matrica, žymima A^-1kad jų produktas būtų 3 × 3 eilės tapatybės matrica.

[A] _3×3 × [A ^-1 ] _3×3 = [aš] _3×3

Ar adjoint ir atvirkštinė matrica yra tas pats?

Ne, matricos adjunktas ir atvirkštinė matricos vertė nėra tas pats.

Kaip naudoti atvirkštinę matricą?

Matricos atvirkštinė vertė naudojama sprendžiant algebrines išraiškas matricos forma. Pavyzdžiui, norint išspręsti AX = B, kur A yra koeficientų matrica, X yra kintamoji matrica, o B yra pastovioji matrica. Čia kintamoji matrica randama naudojant atvirkštinę operaciją kaip,

X = A ^-1 B

Kas yra apverčiamosios matricos?

Matricos, kurių atvirkštinė egzistuoja, vadinamos invertuojamomis. Invertuojamos matricos yra matricos, kurios turi ne nulį determinantą.

Kodėl atvirkštinė 2 × 3 matrica neegzistuoja?

Egzistuoja tik kvadratinės matricos atvirkštinė vertė. Kadangi 2 × 3 matrica yra ne kvadratinė, o stačiakampė matrica, jos atvirkštinė neegzistuoja.

Panašiai 2 × 1 matrica taip pat nėra kvadratinė, o stačiakampė matrica, todėl jos atvirkštinė neegzistuoja.

Kas yra atvirkštinė tapatybės matrica?

Atvirkštinė tapatybės matrica yra pati tapatybės matrica. Taip yra todėl, kad tapatybės matrica, žymima kaip aš (arba aš _n Tam, kad n × n matrica), yra vienintelė matrica, kurios kiekvienas elementas išilgai pagrindinės įstrižainės yra 1, o visi kiti elementai yra 0. Kai tapatybės matricą padauginame iš pačios (arba atvirkštinės), gauname tapatybės matricą.