Matricų žinios būtinos įvairioms matematikos šakoms. Matricos yra viena iš galingiausių matematikos įrankių. Iš matricų gaunami determinantai. Dabar šiame straipsnyje matome vieną iš determinanto savybių.
Šiame straipsnyje matome, kaip rasti Matricos jungtis. Norėdami sužinoti apie Matricos jungtis turime žinoti apie Kofaktorius matricos.
Turinys
- Matricos apibrėžimo jungtis
- Matricos nepilnametis
- Matricos kofaktorius
- Matricos perkėlimas
- Kaip rasti Matricos Adjoint?
- Matricos Adjont savybės
- Atvirkštinis radimas naudojant matricos adjontą
Matricos apibrėžimo jungtis
Matricos adjunktas yra duotosios matricos kofaktoriaus transponavimo matrica. Bet kuriai kvadratinei matricai A apskaičiuoti jos adj. matrica pirmiausia turime apskaičiuoti duotosios matricos kofaktorių matricą ir tada rasti jos determinantą. Norėdami apskaičiuoti matricos sujungimą, atlikite šiuos veiksmus:
1 žingsnis : Apskaičiuokite visų pateiktos matricos A elementų Mažąją.
2 žingsnis: Raskite kofaktoriaus matricą C naudodami smulkius elementus.
3 veiksmas: Raskite A jungtinę matricą, transponuodami kofaktoriaus matricą C.
Bet kurios 2 × 2 matricos A jos jungties vaizdas parodytas žemiau,
Dabar sužinokime apie matricos mažąjį, kofaktorių ir perkėlimą.
Matricos nepilnametis
Matricos mažoji yra matrica arba elementas, kuris apskaičiuojamas paslepiant elemento, kuriam skaičiuojamas šalutinis elementas, matricos eilutę ir stulpelį. 2 × 2 matricoje nepilnametis yra elementas, kuris rodomas paslepiant elemento, kuriam skaičiuojamas Mažasis, eilutę ir stulpelį.
Išmokti daugiau apie, Nepilnamečiai ir kofaktoriai
Matricos kofaktorius
Kofaktorius yra skaičius, kurį gauname pašalinę nurodyto elemento stulpelį ir eilutę iš matricos. Tai reiškia paimti vieną elementą iš matricos ir ištrinti visą to elemento eilutę bei stulpelį iš matricos, tada kurie elementai yra toje matricoje, tai vadinama kofaktorius.
Kaip rasti matricos kofaktorių
Norėdami rasti matricos elemento kofaktorių, galime atlikti šiuos veiksmus:
1 žingsnis: Ištrinkite visą eilutę ir stulpelį, kuriame yra svarstomas elementas.
2 žingsnis: Paimkite likusius elementus tokius, kokie yra matricoje po 1 veiksmo.
3 veiksmas: Raskite 2 veiksme suformuotos matricos determinantą, vadinamą nepilnametis elemento.
4 veiksmas: Dabar naudokite elemento a kofaktoriaus formulęijy., (-1)i+jMijkur Mij yra i elemento minorinistheilutė ir jthstulpelyje, kuris jau apskaičiuotas 3 veiksme.
5 veiksmas: 4 veiksmo rezultatas yra nagrinėjamo elemento kofaktorius, ir panašiai galime apskaičiuoti kiekvieno matricos elemento kofaktorių, kad surastume nurodytos matricos kofaktorių matricą.
Pavyzdys: Raskite kofaktorių matricą
Sprendimas:
Pateikta matrica yra
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Raskime pirmos eilutės trečiojo stulpelio elemento kofaktorių, ty 3.
1 žingsnis: Ištrinkite visą eilutę ir stulpelį, kuriame yra svarstomas elementas.
t.y.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} 2 žingsnis: Paimkite likusius elementus tokius, kokie yra matricoje po 1 veiksmo.
t.y.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} 3 veiksmas: Raskite 2 veiksme suformuotos matricos determinantą, vadinamą elemento minora.
Nedidelis 3 colių
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 4 veiksmas: Dabar naudokite elemento a kofaktoriaus formulęijy., (-1)i+jMij
3 elemento kofaktorius = (-1)1+3(32) = 32
5 veiksmas: Tęskite visų elementų procedūrą, kad surastumėte A kofaktorių matricą,
y., kofaktorių matrica A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Matricos perkėlimas
Matricos transpozicija yra matrica, kuri susidaro keičiant matricos eilutes ir stulpelius tarpusavyje. Matricos A transponavimas žymimas kaip ATarba A“. Jei matricos A tvarka yra m×n, tai transponavimo matricos tvarka yra n×m.
Išmokti daugiau apie, Matricos perkėlimas
Kaip rasti Matricos Adjoint?
Norėdami rasti matricos jungtį, pirmiausia turime rasti kiekvieno elemento kofaktorių, o tada rasti dar 2 veiksmus. žr. toliau nurodytus veiksmus,
1 žingsnis: Raskite kiekvieno matricoje esančio elemento kofaktorių.
2 žingsnis: Sukurkite kitą matricą su kofaktoriais kaip jos elementais.
3 veiksmas: Dabar suraskite matricos perkėlimą po 2 veiksmo.
Kaip rasti 2 × 2 matricos sujungimą
Panagrinėkime pavyzdį, kaip suprasti, kaip rasti 2 × 2 matricos adjontatą.
Pavyzdys: suraskite jungtį
Sprendimas:
Pateikta matrica yra
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} 1 žingsnis: Raskite kiekvieno elemento kofaktorių.
Elemento kofaktorius ties A[1,1]: 5
Elemento kofaktorius ties A[1,2]: -4
Elemento kofaktorius ties A[2,1]: -3
Elemento kofaktorius ties A[2,2]: 2
2 žingsnis: Sukurkite matricą iš kofaktorių
t.y.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} 3 veiksmas: Kofaktoriaus matricos perkėlimas,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Kaip rasti 3 × 3 matricos sujungimą
Paimkime 3 × 3 matricos pavyzdį, kad suprastume, kaip apskaičiuoti tos matricos Adjoint.
Pavyzdys: suraskite jungtį
Sprendimas:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} 1 žingsnis: Raskite kiekvieno elemento kofaktorių.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 2 žingsnis: Sukurkite matricą iš kofaktorių
arp-a komanda
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} 3 veiksmas: Matricos C perkėlimas į duotosios matricos adjunktą.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Kuri yra adjunktinė duotajai matricai A.
Matricos Adjont savybės
Matricos jungtys turi įvairių savybių, kai kurios iš tų savybių yra šios:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| ašn
- Adj (BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Adj A)
Atvirkštinis radimas naudojant matricos adjontą
Atvirkštinės reikšmės radimas yra vienas iš svarbių Matricos Adjoint pritaikymų. Norėdami rasti atvirkštinę matricos vertę naudodami Adjoint, galime atlikti šiuos veiksmus:
1 žingsnis: Surask matricos determinantas .
2 žingsnis: Jei determinantas yra nulis, tada matrica nėra apverčiama ir nėra atvirkštinės.
3 veiksmas: Jei determinantas yra ne nulis, tada raskite matricos adjunktą.
4 veiksmas: Padalinkite matricos adjunktą iš matricos determinanto.
5 veiksmas: 4 veiksmo rezultatas yra pateiktos matricos atvirkštinė vertė.
Pavyzdys: Raskite atvirkštinę vertę
Sprendimas:
Duota matrica
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1 (45–48)–2 (36–42) + 3 (32–35)
⇒ |A| = -3 -2 (-6) + 3 (-3)
⇒ |A| = -3 + 12 - 9 = 0
Taigi atvirkštinė A neegzistuoja.
Išmokti daugiau apie, Matricos atvirkštinė
Išspręsti matricos sujungimo pavyzdžiai
1 pavyzdys: Raskite duotosios matricos Adjoint
Sprendimas:
1 veiksmas: raskite kiekvieno elemento kofaktorių
Norėdami rasti kiekvieno elemento kofaktorių, turime po vieną ištrinti kiekvieno elemento eilutę ir stulpelį, o ištrynę paimti esamus elementus.
Elementų kofaktorius, kai A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Elementų kofaktorius, kai A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Elementų kofaktorius, kai A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Elementų kofaktorius, kai A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2 × 9 – 8 × 3) = 6Elementų kofaktorius, kai A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Elementų kofaktorius, kai A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1 × 8 – 6 × 2) = 4Elementų kofaktorius, kai A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Elementų kofaktorius, kai A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1 × 5 – 7 × 3) = 16Elementų kofaktorius, kai A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Matrica atrodo taip, kaip su kofaktoriais:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Galutinė kofaktorių matrica:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} 2 veiksmas: raskite 1 veiksme gautos matricos transponavimą
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Tai yra Matricos jungtis.
2 pavyzdys: Raskite duotosios matricos Adjoint
Sprendimas:
1 veiksmas: raskite kiekvieno elemento kofaktorių
Norėdami rasti kiekvieno elemento kofaktorių, turime po vieną ištrinti kiekvieno elemento eilutę ir stulpelį, o ištrynę paimti esamus elementus.
Elemento kofaktorius ties A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Elementų kofaktorius ties A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Elementų kofaktorius ties A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Elementų kofaktorius ties A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Elementų kofaktorius ties A[2,1] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Elementų kofaktorius ties A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Elementų kofaktorius ties A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Elementų kofaktorius ties A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Elementų kofaktorius ties A[3,2] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Galutinė kofaktorių matrica:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} 2 veiksmas: raskite 1 veiksme gautos matricos transponavimą
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Tai yra Matricos jungtis.
DUK apie Matricos prijungimą
Kas yra matricos adjoint?
Kvadratinės matricos adjunktas yra pradinės matricos kofaktorių matricos transponavimas. Jis taip pat žinomas kaip adjugato matrica.
Kaip apskaičiuojamas matricos sujungimas?
Norėdami apskaičiuoti matricos adjunktą, turite rasti nurodytos matricos kofaktorių matricą ir tada ją perkelti.
Kas yra matricos sujungimo naudojimas?
Pagrindinis matricos adjunkto taikymas arba panaudojimas yra rasti atvirkštinę apverčiamųjų matricų vertę.
Koks yra atvirkštinės matricos ir jos jungties santykis?
Matricos atvirkštinė vertė gaunama padalijus jos adjunktą iš determinanto. Tai yra, jei A yra kvadratinė matrica, o det(A) yra ne nulis, tada
A -1 = adj(A)/det(A)
Kas yra Adjugato matrica?
Gretutinė matrica taip pat vadinama adjugato matrica. Tai duotosios matricos kofaktoriaus transponavimas.
Kuo skiriasi matricos prijungimas ir perkėlimas?
Matricos adjunktas yra kofaktorių matricos transpozicija, o matricos transpozicija gaunama keičiant jos eilutes ir stulpelius.
Ar kvadratinė matrica visada yra apverčiama?
Ne, kvadratinė matrica ne visada yra apverčiama. Kvadratinė matrica yra apverčiama tik tuo atveju, jei jos determinantas nėra nulis.
Ar galima apskaičiuoti nekvadratinės matricos adjontą?
Ne, matricos adjunktą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai dėl jos apibrėžimo.