3 × 3 matricos atvirkštinė yra matrica kurią padauginus iš pradinės Matricos gaunama tapatybės matrica kaip produktas. Matricos atvirkštinė dalis yra pagrindinis tiesinės algebros aspektas. Šis procesas atlieka lemiamą vaidmenį sprendžiant tiesinių lygčių sistemas ir įvairias matematines programas. Norint apskaičiuoti atvirkštinę vertę, reikia apskaičiuoti adjungtinę matricą, patikrinti matricos neapverčiamumą, išnagrinėjus jos determinantą (kuris neturėtų būti lygus nuliui), ir pritaikyti formulę atvirkštinei matricai gauti.

Šiame straipsnyje aptariamos įvairios 3 × 3 matricos atvirkštinės sąvokos ir kaip rasti 3 × 3 matricos atvirkštinę vertę apskaičiuojant 3 × 3 matricos kofaktorius, adjontatus ir determinantus. Vėliau šiame straipsnyje taip pat rasite išspręstų pavyzdžių, kad geriau suprastumėte, taip pat pateikiami praktiniai klausimai, siekiant patikrinti, ko iš to išmokome.

kas yra linux failų sistema

Turinys

• Kas yra atvirkštinė 3 × 3 matrica?
• Kaip rasti atvirkštinę 3 × 3 matricą?
• Elementai, naudojami rasti atvirkštinę 3 × 3 matricą
• Atvirkštinė 3 × 3 matricos formulė
• Atvirkštinės 3 × 3 matricos radimas naudojant eilučių operacijas

Kas yra atvirkštinė 3 × 3 matrica?

3 × 3 matricos atvirkštinė vertė yra matrica, kurią padauginus iš pradinės matricos gaunama tapatumo matrica. Norėdami rasti atvirkštinę vertę, galite apskaičiuoti adjungtinę matricą, nustatyti, ar matrica yra apverčiama (ne vienaskaita), patikrindami jos determinantą (kuris neturėtų būti lygus nuliui), tada pritaikykite formulę A.^-1= (adj A) / (det A). Atvirkštinė matrica leidžia spręsti tiesinių lygčių sistemas ir atlikti įvairias matematines operacijas.

Kaip rasti atvirkštinę 3 × 3 matricą?

Norėdami rasti atvirkštinę 3 × 3 matricą, atlikite toliau nurodytus veiksmus:

1 žingsnis: Pirmiausia patikrinkite, ar matricą galima apversti. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite matricos determinantą. Jei determinantas nėra nulis, pereikite prie kito veiksmo.

2 žingsnis: Apskaičiuokite mažesnių 2 × 2 matricų determinantą didesnėje matricoje.

3 veiksmas: Sukurkite kofaktorių matricą.

4 veiksmas: Perkeldami kofaktoriaus matricą, gaukite matricos adjugatą arba adjointą.

5 veiksmas: Galiausiai kiekvieną adjugatinės matricos elementą padalinkite iš pradinės matricos determinanto 3 x 3.

Susiję skaitymai

• Matricos kofaktorius ir nepilnamečiai
• Matricos perkėlimas

Elementai, naudojami rasti atvirkštinę 3 × 3 matricą

Norint rasti atvirkštinę 3 × 3 matricą, daugiausia naudojami du elementai:

• Matricos jungtis
• Matricos determinantas

3 × 3 matricos sujungimas

The matricos adjunktas A randamas transponuojant A kofaktorių matricą. Norėdami detaliai apskaičiuoti matricos adjunktą, vadovaukitės pateiktomis instrukcijomis.

3 × 3 matricoje bet kurio elemento kofaktorius yra determinantas 2 × 2 matricos, sudarytos pašalinus eilutę ir stulpelį, kuriuose yra tas elementas. Ieškodami kofaktorių, kaitaliojate teigiamus ir neigiamus ženklus.

Pavyzdžiui, duota matrica A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Mažoji matrica gaunama taip:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Apskaičiuokite 2 × 2 matricų determinantus, sudarytus padauginus įstrižai ir atimant sandaugas iš kairės į dešinę, t. y. Mažąją.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

eilutės ilgio java

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Taigi, kofaktorių matrica yra:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Perkeldami kofaktorių matricą, gauname adjungtinę matricą.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

3 × 3 matricos determinantas

Naudodami tą patį pavyzdį, kaip aptarėme aukščiau, galime apskaičiuoti A matricos determinantą

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Apskaičiuokite matricos determinantą naudodami pirmąją eilutę,

Det A = 2 (kofaktorius iš 2) + 1 (kofaktorius iš 1) + 3 (kofaktorius iš 3)

Kad A = 2 (0) + 1 (4) + 3 (-2)

Kad A = 2 + 4 – 6

Kad A = 0

Galite patikrinti Triukas apskaičiuoti 3 × 3 matricos determinantą

Atvirkštinė 3 × 3 matricos formulė

Norėdami rasti atvirkštinę 3 × 3 matricos A vertę, galite naudoti formulę A-1 = (adj A) / (det A), kur:

• adj A yra adjunktinė A matrica.
• det A yra A determinantas.

Kad egzistuotų A-1, det A neturėtų būti lygus nuliui. Tai reiškia:

• A^-1egzistuoja, kai det A nėra nulis (A yra ne vienaskaita).
• A^-1neegzistuoja, kai det A yra nulis (A yra vienaskaita).

Štai žingsniai, kaip rasti atvirkštinę 3 × 3 matricą, naudojant tą patį pavyzdį:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

1 žingsnis: Apskaičiuokite adjungtinę matricą (adj A).

Norėdami rasti jungtinę matricą, pakeiskite A elementus atitinkamais kofaktoriais.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

lygus metodui java

2 žingsnis: Raskite A determinantą (det A).

Norėdami apskaičiuoti A determinantą, galite naudoti 3 × 3 matricos formulę. Šiuo atveju det A = -8.

3 veiksmas: pritaikykite formulę A^-1= (adj A) / (det A), kad rastumėte atvirkštinę matricą A^-1.

Padalinkite kiekvieną jungtinės matricos elementą iš A determinanto:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Supaprastinus trupmenas,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Atvirkštinės 3 × 3 matricos radimas naudojant eilučių operacijas

Norėdami rasti atvirkštinę 3 × 3 matricos vertę, galite atlikti šiuos veiksmus:

1 žingsnis: Pradėkite nuo nurodytos 3 × 3 matricos A ir sukurkite tokio pat dydžio tapatybės matricą I, padėdami A kairėje, o I - dešinėje padidintos matricos pusėje, atskirtą linija.

2 žingsnis: Taikykite eilučių operacijų seriją papildytai matricai kairėje, kad transformuotumėte ją į tapatybės matricą I. Matrica dešinėje linijos pusėje, kuri tampa A^-1, yra pradinės matricos A atvirkštinė vertė.

Sužinokite daugiau, Elementarioji matricų operacija

Taip pat patikrinkite

• Matricų tipai
• Apverčiama matrica
• Matricos pėdsakas

Išspręsti atvirkštinės 3 × 3 matricos pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskite atvirkštinę vertę

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Sprendimas:

Mažoji D matrica = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Mažoji D matrica =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Matricos kofaktorius, ty X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Matricos X transponavimas = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Dabar D determinantą rasime naudodami pirmąją eilutę:

Kad D = 3 (2) + 0 (-4) + 2 (7)

⇒ Kad D = 6+0+14

⇒ Kad D = 20

Matricos D arba D atvirkštinė^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

2 pavyzdys: Raskite atvirkštinę vertę

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Matricos mažoji E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Matricos E kofaktorius, ty X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Dabar suraskime matricos E determinantą naudodami pirmąją eilutę:

padaryti scenarijų vykdomąjį

Kad E = 1 (-1) + 1 (0) + 1 (1)

Kad E = -1 + 0 + 1

Kad E = 0

∴ Kadangi matricos E determinantas yra lygus 0, matricos E arba E atvirkštinė vertė^-1neįmanoma.

Praktiniai klausimai apie atvirkštinę 3 × 3 matricą

Q1. Apskaičiuokite šios 3 × 3 matricos atvirkštinę vertę:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Raskite matricos B atvirkštinę vertę:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Nustatykite, ar matrica C yra apverčiama, ir, jei taip, suraskite atvirkštinę:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

4 klausimas. Apskaičiuokite matricos D atvirkštinę vertę:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. Jei tai matrica E, patikrinkite, ar ji yra apverčiama, ir, jei taip, suraskite atvirkštinę:

vienvietis dizainas

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Atvirkštinė 3×3 matrica – DUK

1. Kas yra atvirkštinė 3×3 matrica?

3 × 3 matricos atvirkštinė vertė yra kita matrica, kurią padauginus iš pradinės matricos gaunama tapatybės matrica.

2. Kodėl svarbu rasti atvirkštinį?

Jis būtinas sprendžiant tiesinių lygčių, transformacijų ir įvairių matematinių operacijų sistemas.

3. Kaip apskaičiuojate 3 × 3 matricos atvirkštinę vertę?

Paprastai randate adjungtinę matricą, patikrinate determinanto reikšmę, kuri nėra nulis, ir taikote konkrečią formulę.

4. Kada neegzistuoja atvirkštinė 3×3 matrica?

Jis neegzistuoja, kai matricos determinantas yra nulis, todėl ji yra vienaskaita.

5. Ar bet kuri 3×3 matrica gali turėti atvirkštinę?

Ne, atvirkštines vertes turi tik ne vienaskaitos matricos, kurių determinantas nėra nulis.

6. Koks yra Adjoint Matrix vaidmuo ieškant atvirkštinio?

Papildoma matrica padeda apskaičiuoti atvirkštinę vertę, pateikdama kiekvieno elemento kofaktorius.

7. Kuriose srityse plačiai naudojama 3×3 matricos inversijos koncepcija?

3×3 matricos inversijos sąvoka naudojama inžinerijoje, fizikoje, kompiuterinėje grafikoje ir įvairiose matematinėse disciplinose.

8. Kaip gauti atvirkštinę 3 × 3 matricą?

Norėdami rasti atvirkštinę 3 × 3 matricos vertę, galite atlikti šiuos veiksmus:

• Pirmiausia apskaičiuokite matricos determinantą.
• Jei determinantas nėra lygus 0, pereikite prie kito veiksmo. Jei jis yra 0, matrica neturi atvirkštinės reikšmės.
• Raskite nepilnamečių matricą sukurdami 3 × 3 matricas kiekvienam pradinės matricos elementui, neįskaitant elemento, į kurį sutelkiate dėmesį, eilutę ir stulpelį.
• Apskaičiuokite kofaktorių matricą, taikydami pliuso ir minuso ženklų šabloną nepilnamečių matricos elementams.
• Perkelkite kofaktorių matricą pakeisdami eilutes stulpeliais.
• Galiausiai padalykite perkeltą kofaktorių matricą iš determinanto, kad gautumėte atvirkštinę 3 × 3 matricą.