Nuodėmės x integralas yra -cos(x) plius konstanta (C). Tai rodo plotą po sinuso kreive. Funkcija kartojasi kas 2π radianus dėl savo periodiškumo. Šiame straipsnyje paaiškinamas sinuso funkcijos integralas, parodyta jo formulė, įrodymas ir taikymas ieškant konkrečių apibrėžtųjų integralų. Be to, minimos išspręstos problemos ir dažnai užduodami klausimai.

Turinys

• Kas yra nuodėmės x integralas?
• Nuodėmės x formulės integralas
• Nuodėmės x integralo grafinė reikšmė
• Integralas nuodėmės x Įrodymas pakeitimo metodu
• Apibrėžtinis nuodėmės x integralas
• Sin x integralas Nuo 0 iki π
• Sin x integralas Nuo 0 iki π/2

Kas yra nuodėmės x integralas?

Sin(x) integralas, susijęs su x, yra -cos(x) ir konstanta (C). Tai reiškia, kad atskirdami -cos(x) nuo x, gausite sin(x). Integravimo konstanta (C) reiškia bet kokią papildomą pastovią vertę, kuri gali būti pradinėje funkcijoje.

Sin x integralas fiziškai reiškia plotą, padengtą sinuso kreive.

Mokytis,

• Skaičiavimas matematikoje
• Integracija matematikoje

Nuodėmės x formulės integralas

Sinuso funkcijos integralas ∫ sin(x) dx yra lygus -cos(x) + C, kur C yra integravimo konstanta.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Čia cos(x) yra kosinuso funkcija, o C reiškia konstantą, kuri pridedama prie antidarinės, nes konstantos išvestinė yra lygi nuliui.

Nuodėmės x integralo grafinė reikšmė

Sin(x) integralas nuo (a) iki (b) turi grafinę reikšmę apskaičiuojant plotą po kreive šiame intervale. Ištirkime grafinę reikšmę naudodami apibrėžtojo integralo metodą ir geometrinį metodą.

Apibrėžtas integralinis metodas

Sin(x) integralas nuo (a) iki (b) gaunamas taip:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Tai žymi sritis tarp kreivės sin(x) ir x ašies nuo (a) iki (b).

Geometrinis metodas

Apsvarstykite sin(x) grafiką nuo (a) iki (b). Plotas po kreive gali būti suskirstytas į dvi sritis:

• Teigiama sritis: Sritys, kuriose sin(x) yra teigiamas (virš x ašies). Tai prisideda prie teigiamo ploto po kreive.
• Neigiama sritis: Sritys, kuriose sin(x) yra neigiamas (žemiau x ašies). Tai prisideda prie neigiamo ploto po kreive.

Bendras plotas yra šių teigiamų ir neigiamų sričių algebrinė suma.

Pavyzdys:

Norėdami rasti plotą po sin(x) kreive nuo (a = 0) iki (b = π/2).

Naudojant apibrėžtojo integralo metodą:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Tai yra pažymėtas plotas po kreive.

Naudojant geometrinį metodą:

Sin(x) grafikas nuo 0 iki (π/2) yra apskritimo ketvirtis, o plotas iš tiesų yra 1.

Nuodėmės x įrodymo integravimas pakeitimo metodu

Norėdami rasti sin(x) integralą, naudodami pakeitimo metodą, apsvarstykite integralą:

Vienas dažnas trigonometrinių integralų pakeitimas reiškia, kad u yra lygus trigonometrinės funkcijos išraiškai. Šiuo atveju tegul u = cos(x). Tada apskaičiuokite du pagal dx:

du/dx = -sin(x)

Dabar išspręskite dx:

java data į eilutę

dx = -1/sin(x) du

Dabar pradiniame integralu pakeiskite u ir dx kaip u:

Sin(x) integralas dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Supaprastinkite išraišką:

Sin(x) integralas dx = -∫ du

Dabar integruokite jūsų atžvilgiu:

Sin(x) integralas dx = -u + C

Dabar pakeiskite u, kuris buvo apibrėžtas kaip cos (x):

Sin(x) integralas dx = -cos(x) + C

Taigi, naudodami pakeitimo metodą, pasiekėme tą patį rezultatą, kaip ir įrodyme išvestiniais. Sin(x) integralas yra -cos(x) + C, kur C yra integravimo konstanta.

Apibrėžtinis nuodėmės x integralas

Apibrėžiamasis sin(x) integralas nuo a iki b, žymimas kaip

∫ ^b _a sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Jis apskaičiuoja grynąjį plotą po sinuso kreive tarp x = a ir x = b, atsižvelgiant į ploto, esančio virš ir žemiau x ašies, kryptį.

Mokytis, Neabejotinas integralas

Sin x integralas Nuo 0 iki Pi

Norėdami rasti sin(x) integralą nuo 0 iki π, galime naudoti antidarinį. Sin(x) antidarinys yra -cos(x). Įvertinę šį antidarinį nuo 0 iki π, gauname:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Kadangi cos(π) yra -1, o cos(0) yra 1, išraiška supaprastinama iki:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Taigi, sin(x) integralas nuo 0 iki π yra lygus 2. Tai žymi plotą tarp sin(x) kreivės ir x ašies nuo x = 0 iki x = π.

Sin x integralas Nuo 0 iki Pi /2

Apibrėžiamasis integralas reiškia plotą tarp kreivės ir x ašies per nurodytą intervalą.

Integralas pateikiamas taip:

∫₀^p/2sin(x) dx

Naudojant antidarinį -cos(x) integralui įvertinti:

cos(x) |[0–π/2]

Dabar pakeiskite π/2 į -cos (x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Prisiminkite, kad cos(π/2) = 0 ir cos(0) = 1. Pakeiskite šias reikšmes:

-(0) – (-1)

Supaprastinti:

0 + 1 = 1

Apibrėžtinis sin(x) integralas nuo 0 iki π/2 lygus 1. Tai reiškia, kad žymėtas plotas tarp sinuso kreivės ir x ašies nuo x = 0 iki x = π/2 yra 1.

Taip pat patikrinkite

• Cos x integravimas
• Tan x integracija
• Integravimo formulės

Nuodėmės x integralas – išspręsti pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskite sin2(x) integralą

Sprendimas:

Už be²(x), galite naudoti formulę, apimančią cos(2x).

∫be²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Padalinkite jį į dvi dalis:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

dx integralas yra tik x. Cos(2x) integralas apima sin(2x) formulės naudojimą. Tai atrodo taip:

= (1/2)x – (1/4)sin (2x) + C

Sujunkite du rezultatus ir pridėkite konstantą C, kad atsižvelgtumėte į bet kokią potencialų konstantą pradiniame integrale.

(1/2)x – (1/4)sin (2x) + C

2 pavyzdys: Raskite sinuso integralą ³ x.

Sprendimas:

Sinuso integralas su kubu x atžvilgiu gali būti parašytas taip:

∫be³x dx

Norėdami supaprastinti, naudokite trigonometrinę tapatybę:

be³x = [1 – cos²(x)] nuodėmė (x)

∫[1 – kos²(x)] sin(x) dx

Paskirstykite ir atskirkite terminus:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integruokite kiekvieną terminą atskirai:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Čia ( C ) reiškia integracijos konstantą.

3 pavyzdys: Raskite sin x integralą ^-1

Sprendimas:

Sin(x) integralas^-1gali būti išreikštas naudojant arcsininę funkciją. Integralas pateikiamas taip:

∫1/sin x = -ln|cosec x + vaikiška lovelė x| + C

Čia (C) yra integracijos konstanta.

4 pavyzdys: Raskite sin x integralą ²

Sprendimas:

Sin²(x) integralą x atžvilgiu galima išspręsti naudojant trigonometrinę tapatybę.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Dabar integruokite kiekvieną terminą atskirai:

1/2∫(1−cos(2x))dx = 1/2 (∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 nuodėmės (2x)] + C

čia ( C ) yra integracijos konstanta.

5 pavyzdys: Raskite sin x integralą ^-3

Sprendimas:

nuodėmės(x) integralas^-3(x) atžvilgiu yra trigonometrinis pakeitimas. Štai kaip galite tai išspręsti:

Tegu u = sin(x), tada du = cos(x)dx

Dabar pakeiskite juos į integralą:

∫ nuodėmė(x)⁻³dx = ∫u⁻³apie

Dabar integruokite su (u):

∫u⁻³tu = u⁻²/−2​ + C

Pakeiskite atgal į (x) naudodami u = sin(x):

∫ nuodėmė(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Taigi, sin(x) integralas^-3(x) atžvilgiu yra -1/2sin²x , kur (C) yra integravimo konstanta.

6 pavyzdys: Raskite sin atvirkštinės x integralą

Sprendimas:

Rasti nuodėmės integralą^-1(x) atsižvelgiant į (x), galite naudoti integravimą dalimis. Integravimo pagal dalis formulė yra tokia:

∫udv=uv−∫vdu

u = nuodėmė^-1(x) ir dv = dx

Dabar raskite (du) ir (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Taikykite integravimo pagal dalis formulę:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Dabar integruokite likusį terminą dešinėje pusėje. Pakeitimą galite naudoti leisdami (t = 1 – x²), tada (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Dabar pakeiskite (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Sudėjus viską kartu:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

čia (C) yra integracijos konstanta.

7 pavyzdys: Raskite x sin 2x dx integralą

Sprendimas:

Norėdami rasti xsin(2x) integralą (x) atžvilgiu, galite naudoti integravimą dalimis. Integravimo pagal dalis formulė pateikiama taip:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x ir dv = sin(2x)dx

Dabar raskite (du) ir (v):

du = dx ir v = -1/2cos (2x)

Taikykite integravimo pagal dalis formulę:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Dabar integruokite likusį terminą dešinėje pusėje. Integralą -1/2cos(2x) galima rasti leidžiant (u = 2x) ir naudojant paprastą pakaitalą:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Pakeiskite šį rezultatą atgal į pradinę lygtį:

-1/2x cos(2x) + 1/4 nuodėmės (2x) + C

kartojantis žemėlapis java

Taigi, xsin(2x) integralas, atsižvelgiant į (x), yra -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, kur (C) yra integravimo konstanta.

8 pavyzdys: Raskite sin x cos 2x integralą

Sprendimas:

Norėdami rasti sin(x) cos(2x) integralą (x) atžvilgiu, galite naudoti integravimą dalimis. Integravimo pagal dalis formulė yra tokia:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) ir dv = cos(2x)dx

Dabar raskite (du) ir (v):

du = cos(x) dx ir v = 1/2 sin(2x)

Taikykite integravimo pagal dalis formulę:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1/2sin(x)sin(2x) − ∫1/2sin(2x)cos(x)dx

Dabar integruokite likusį terminą dešinėje pusėje. Vėl galite naudoti integravimą dalimis:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4 cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Tęskite procesą, kol integralas taps valdomas. Supaprastinę gausite galutinį rezultatą:

1/2 nuodėmės(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 nuodėmės(X) cos(2x) + C

čia (C) yra integracijos konstanta.

Nuodėmės x integralas – praktiniai klausimai

Q1. Raskite sinuso integralą nuo 0 iki pi.

Q2. Apskaičiuokite sinuso integralą nuo -π/2 iki π/2.

Q3. Raskite sinuso ir kosinuso integralo reikšmę x atžvilgiu.

4 klausimas. Įvertinkite sinuso(2x) integralą nuo 0 iki π/3.

Q5. Raskite sinuso(3x) antidarinį x atžvilgiu.

6 klausimas. Apskaičiuokite sinuso(2x) integralą nuo π iki 2π.

7 klausimas. Integruokite funkcijos sinusą kvadratu x atžvilgiu.

Q8. Įvertinkite integralą sinuso kvadratu nuo -π/4 iki π/4.

Nuodėmės x integralas – dažnai užduodami klausimai

Kas yra nuodėmės x integralas?

Sin x integralas yra -cos x

Kas yra nuodėmė x?

Sin(x) yra trigonometrinė funkcija, parodanti stačiakampio trikampio kampui priešingos kraštinės ilgio ir hipotenuzės ilgio santykį.

Kas yra nuodėmės x diapazonas?

Sin x diapazonas yra [-1, 1].

Kas yra nuodėmės x integralas ir išvestinė?

Sin x integralas yra -cos x, o si x išvestinė yra cos x

Kas yra Sin x ir Cos x integralas?

Sin x integralas yra -cos x + C, o cos x inegralis yra sin x

Kas yra nuodėmės integralas 2x?

Sin 2x integracija yra (-cos2x)/2 + c