Naujai pertvarkytame 2016 SAT matematikos skyriaus turinį kolegijos taryba suskirstė į keturias kategorijas: Algebros širdis, Problemų sprendimas ir duomenų analizė, Pažangiosios matematikos pasas ir Papildomos matematikos temos. Algebros širdis sudaro didžiausią SAT matematikos skyriaus dalį (33 % testo) , todėl tam reikia gerai pasiruošti. Šiame įraše aptarsiu šios kategorijos turinį ir klausimų tipus, nagrinėsiu praktines problemas ir pateiksiu patarimų, kaip išspręsti šiuos klausimus.

Algebros širdis: apžvalga

Padengtas turinys

Kaip rodo pavadinimas, „Heart of Algebra“ apima algebros turinį, bet koks konkrečiai algebros turinys? Šie klausimai apima:

• Tiesinės lygtys
• Lygčių sistema
• Absoliučioji vertė
• Tiesinių lygčių grafikas
• Tiesinės nelygybės ir nelygybių sistemos

Toliau panagrinėsiu kiekvieną iš šių turinio sričių. Tiksliai paaiškinsiu, ką reikia žinoti kiekvienoje srityje, ir paaiškinsiu kai kurias praktikos problemas.

PASTABA: Visos šiame straipsnyje pateiktos praktikos problemos kyla iš a tikras kolegijos tarybos SAT praktikos testas (Praktinis testas Nr. 1).

Rekomenduočiau neskaityti šio straipsnio, kol neatliksite 1 praktinio testo (todėl aš to tau nesugadinu!). Jei neišlaikėte 1 praktinio testo, pažymėkite šį straipsnį ir grįžkite jį užbaigę. Jei jau atlikote 1 praktinį testą, skaitykite toliau!

Algebros širdies klausimų suskirstymas

Kaip minėjau straipsnio pradžioje, Algebros širdis sudaro 33% matematikos skyriaus, o tai tinka 19 klausimų. 3 skiltyje (ne skaičiuoklės matematikos testas) bus aštuonios, o 4 skiltyje (matematikos testas su skaičiuotuvu) – 11.

Algebros širdies klausimai pateikiami skirtingai. Kadangi jų tiek daug, kolegijos tarybai reikėjo sumaišyti, kaip jie jums užduoda šiuos klausimus. Pamatysite Algebros širdies klausimai su daugybe pasirinkimų ir tinklelio. Galite tiesiog turi būti pateikta su lygtimi (-ėmis) ir ją reikia išspręsti arba tu gali Pateikiamas realaus pasaulio scenarijus kaip žodinė problema ir reikia sukurti lygtį (-es), kad rastumėte atsakymą.

SAT matematikos skyriuje klausimai pateikiami sudėtingumo tvarka (apibrėžiama pagal tai, kiek vidutiniškai mokiniui užtrunka išspręsti problemą ir teisingai į klausimą atsakiusių mokinių procentą). Visoje skiltyje matysite Algebros širdies klausimus : paprasti, „paprasti“ bus rodomi kelių pasirinkimų ir tinklelių pradžioje, o sudėtingesni, kuriems reikia sukurti lygtį ar lygtis, kurias reikia išspręsti, pasirodys pabaigoje.

Pateiksiu kiekvieno tipo klausimų (lengvų ir sudėtingų) pavyzdžius, kai sužinosime apie kiekvieną turinio sritį kitame skyriuje.

Mes einame į algebros užkariavimo kelią!

Turinio srities suskirstymas

Tiesinės lygtys

Tiesinės lygties klausimai gali būti pateikiami keliais būdais. Paprastesni tiesinės lygties klausimai paprašys jūsų išspręsti jums pateiktą tiesinę lygtį. Sunkesniems tiesinės lygties klausimams bus paprašyta parašyti tiesinę lygtį, kuri atspindėtų nurodytą situaciją.

Jokių problemų su skaičiuotuvu

Šis klausimas yra vienas iš paprasčiausių, lengviausių ir tiesiausių Algebros širdies klausimų kad pamatysi. Klausime tiesiog prašoma išspręsti tiesinę lygtį, neįvedus jos į realią situaciją, kuri reikalauja, kad suprastumėte kontekstą ir lygtį.

Atsakymo paaiškinimas:

Kadangi $k = 3 $, lygtyje k galima pakeisti 3, o tai suteikia ${x-1}/{3} = 3 $. Abi ${x-1}/{3}=3$ puses padauginus iš 3, gaunama $x-1=9$, o jei prie kiekvienos pusės pridėsite 1, rezultatas bus $x=10$. D yra teisingas atsakymas.

Patarimas:

Jei susidūrėte su šiuo klausimu, galite jį išspręsti prijungę x atsakymų variantus ir pažiūrėję, kuris iš jų tinka. Prijungimas veiks, bet užtruks daugiau laiko nei paprasčiausiai išspręsti lygtį.

Jei išspręsite lygtį, kad surastumėte x, galite dar kartą patikrinti savo atsakymą, tada jį prijungdami. Jei įjungsite atsakymo variantą x ir abi lygties pusės yra lygios, žinosite, kad turite teisingą atsakymą!

Toks klausimas šiek tiek sudėtingesnis nes prašoma sukurti tiesinę lygtį, kuri atspindėtų jos pateiktą realaus pasaulio scenarijų.

Atsakymo paaiškinimas:

Yra du būdai, kaip išspręsti šią problemą.

1 metodas: Bendras Armando išsiųstų žinučių skaičius yra lygus jo trumpųjų žinučių siuntimo greičiui (m žinučių per valandą), padaugintam iš 5 valandų, kurias jis praleido susirašinėdamas: m žinučių per valandą × 5 valandos = 5 mln. Panašiai bendras Tyrone'o išsiųstų žinučių skaičius yra lygus jo žinučių siuntimo dažniui (p teksto per valandą), padaugintam iš 4 valandų, kurias jis praleido susirašinėdamas SMS žinutėmis: p teksto per valandą × 4 valandos = 4 p. Bendras Armando ir Tyrone išsiųstų žinučių skaičius yra lygus bendro Armando išsiųstų žinučių skaičiaus ir bendro Tyrone išsiųstų žinučių skaičiaus sumai: $5m+4p$. C yra teisingas atsakymas.

2 metodas: Pasirinkite skaičius ir prijunkite juos. Pavyzdžiui, aš rinksiu skaičius ir sakau, kad Armandas siunčia 3 žinutes per valandą, o Tyrone'as siunčia 10 žinučių per valandą. Pagal pateiktą informaciją, jei Armand sms 5 val., Armand siųsdavo (3 žinutes per valandą)(5 val.) tekstus arba 15 tekstų; jei Tyrone'as rašo 4 valandas, Tyrone'as išsiuntė (10 žinučių per valandą)(4 val.) tekstus arba 40 tekstų. Todėl bendras Armando ir Tyrone atsiųstų tekstų skaičius yra $15+40=55$ tekstai. Dabar prie atsakymų pasirinkimų pridedu skaičius, kuriuos pasirinkau, ir pažiūriu, ar tekstų skaičius atitinka 55 tekstus, taigi atsakymui C – $5(3) +4(10)=15+40=55$ tekstai. Todėl C yra teisingas atsakymas. PASTABA: šiam klausimui ši strategija buvo lėtesnė, tačiau sudėtingesniems klausimams tai gali būti greitesnis ir lengvesnis būdas.

Patarimas:

Paimkite šias problemas vienu žingsniu. Išsiaiškinkite bendrą Armando tekstinių pranešimų skaičių, tada išsiaiškinkite bendrą Tyrone'o tekstinių pranešimų skaičių ir sujunkite juos į vieną išraišką. Neskubėkite pereiti prie galutinio atsakymo. Galite padaryti klaidą kelyje.

Lygčių sistemos

Lygčių sistemos klausimai bus pateikti panašiai kaip ir tiesinių lygčių klausimai; tačiau jie sunkesni nes dabar turite atlikti daugiau žingsnių ir (arba) sukurti antrą lygtį.

The paprastesnė lygčių klausimų sistema paprašys išspręsti vieną kintamąjį, kai gausite dvi lygtis su dviem kintamaisiais.

The sunkesnė lygčių klausimų sistema jums reikės parašyti lygčių sistemą, kuri atspindėtų nurodytą situaciją, ir tada išspręsti vieną kintamąjį naudodami jūsų sukurtas lygtis.

Jokių problemų su skaičiuotuvu

Šis klausimas, be abejonės, yra Paprasčiausios, lengviausios ir paprasčiausios lygčių klausimų sistemos kad pamatysi. Jis nustato lygtis už jus ir tiesiog prašo išspręsti x.

Atsakymo paaiškinimas:

Atėmus kairiąją ir dešiniąją $x+y=−9$ puses iš atitinkamų $x+2y =−25$ kraštinių, gaunama $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , kuri yra lygi $y=−16$. $x+y=−9$ vietoj $y$ pakeitus $−16$, gaunama $x+(−16)=−9$, o tai atitinka $x=−9−(−16) =7$. Teisingas atsakymas yra 7.

Patarimas:

Prijungimas gali būti geras pasirinkimas, jei šis klausimas pateikiamas su keliais atsakymų variantais (šiuo atveju taip nėra). Tačiau taip pat galėjote prijungti savo atsakymą, kad dar kartą patikrintumėte savo darbą!

Čia yra dar viena gana paprasta lygčių klausimų sistema, bet taip yra šiek tiek sunkiau nes reikia pateikti atsakymą ir į x, ir į y (tai sukuria daugiau klaidų).

Atsakymo paaiškinimas:

Pridėjus x ir 19 prie abiejų $2y−x=−19$ pusių, gaunama $x=2y+19$. Tada pakeitus $2y+19$ x vietoje $3x+4y=−23$, gaunama $3(2y + 19)+4y=−23$. Ši paskutinė lygtis yra lygi $10y+57=−23$. Išsprendus $10y+57=−23$ gaunama $y=−8$. Galiausiai, y pakeitus −8 dydžiui $2y−x=−19$, gaunama $2(−8)−x=−19$ arba $x=3$. Todėl duotosios lygčių sistemos sprendinys $(x, y)$ yra $(3, −8)$.

Patarimas:

Prijungimas taip pat būtų buvęs greitas būdas išspręsti šią problemą! Kai prašoma išspręsti abiejų lygčių sistemos kintamuosius, visada pabandykite prijungti!

Toliau pateikiamas a šiek tiek sunkiau. Net jei jums pateikiamos lygtys, vis tiek turite nustatyti, ko jums užduodamas klausimas (kurį kintamąjį turite išspręsti), o tai yra šiek tiek sudėtingesnė, nes jis užduoda klausimą pagal realaus pasaulio scenarijų. Be to, turite tai išspręsti naudodami mentalinę matematiką (nes ji yra skiltyje, kurioje nėra skaičiuoklės).

Atsakymo paaiškinimas:

Norėdami nustatyti jautienos svaro kainą, kai ji buvo lygi vištienos svaro kainai, nustatykite x reikšmę (savaičių skaičių po liepos 1 d.), kai abi kainos buvo lygios. Kainos buvo lygios, kai $b=c$; tai yra, kai $ 2,35 + 0,25x = 1,75 + 0,40x $. Ši paskutinė lygtis atitinka $0,60 = 0,15x $, taigi $x = {0,6} / {0,15} = 4 $. Tada norėdami nustatyti $b$, jautienos svaro kainą, $x$ pakeiskite 4 $b = 2,35 + 0,25x $, o tai suteikia $ b = 2,35 + 0,25 (4) = 3,35 $ dolerio už svarą. Todėl D yra teisingas atsakymas.

Patarimas:

Neskubėkite dirbdami kiekviename žingsnyje. Lengva padaryti nedidelę klaidą ir gauti neteisingą atsakymą.

Skaičiuoklės praktikos problema

Toliau pateikiamas vienas sunkiausių Algebros širdies klausimų. Atsižvelgdami į realaus pasaulio scenarijų, pateiktą klausime, turite sukurti dvi lygtis ir jas išspręsti.

Atsakymo paaiškinimas:

Norėdami nustatyti parduotų salotų skaičių, parašykite ir išspręskite dviejų lygčių sistemą. Tegul $x$ lygus parduotų salotų skaičiui, o $y$ - parduotų gėrimų skaičiui. Kadangi salotų skaičius plius parduotų gėrimų skaičius yra lygus 209, turi galioti lygtis $x+y=209$. Kadangi kiekvienos salotos kainavo 6,50, kiekviena soda kainavo 2,00, o bendros pajamos buvo 836,50, tai taip pat turi galioti lygtis $ 6,50 x + 2,00y = 836,50 $. Lygtis $x+y=209$ yra lygi $2x+2y=418$, o atėmus kiekvieną $2x+2y=418$ pusę iš atitinkamos $6.50x+2.00y=836.50$ pusės gaunama $4.5x=418.50 $. Todėl parduotų salotų skaičius x buvo $x={418,50}/{4,50}=93 $. Todėl B yra teisingas atsakymas.

Patarimas:

Paimkite šias problemas vienu žingsniu. Parašykite viso parduotų salotų ir gėrimų skaičiaus lygtį, tada išsiaiškinkite pajamų lygtį ir išspręskite. Neskubėkite, kitaip galite padaryti klaidą.

Absoliučioji vertė

Paprastai bus tik vienas absoliučios vertės klausimas SAT matematikos skyriuje. Klausimas paprastai yra gana lengvas ir aiškus, tačiau norint teisingai atsakyti į jį reikia žinoti absoliučios vertės taisykles. Viskas, kas yra absoliuti reikšmė, bus skliausteliuose su absoliučios vertės ženklais, kurie atrodo taip: || Pavyzdžiui, $|-4|$ arba $|x-1|$

Absoliuti reikšmė yra atstumo išilgai skaičių linijos, pirmyn arba atgal, vaizdas.

Tai reiškia, kad viskas, kas yra absoliučios vertės ženkle, taps teigiama nes jis reiškia atstumą išilgai skaičiaus linijos ir neįmanoma turėti neigiamo atstumo. Pavyzdžiui, aukščiau pateiktoje skaičių eilutėje -2 yra 2 atstumu nuo 0. Viskas, kas yra absoliučioje vertėje, tampa teigiama.

Tai taip pat reiškia, kad absoliučios vertės lygtis visada turės du sprendinius . Pavyzdžiui, $|x-1|=2$ turės du sprendinius $x-1=2$ ir $x-1=-2$. Tada išspręskite kiekvieną atskirą lygtį, kad rastumėte du sprendimus, $x=3,-1$.

Dirbdami su absoliučios vertės problemomis, atminkite, kad turite sukurti du atskirus sprendimus – teigiamą ir neigiamą, kaip tai padarėme aukščiau.

Skaičiuoklės praktikos problema

Atsakymo paaiškinimas:

Jei $|n−1|+1$ reikšmė lygi 0, tai $|n−1|+1=0$. Iš abiejų šios lygties pusių atėmus 1, gaunama $|n−1|=−1$. Kairėje lygties pusėje esanti išraiška $|n−1|$ yra absoliuti $n−1$ vertė, ir, kaip ką tik minėjau, absoliuti reikšmė niekada negali būti neigiamas skaičius, nes jis reiškia atstumą. Taigi $|n−1|=−1$ neturi sprendimo. Todėl nėra n reikšmių, kurių $|n−1|+1$ reikšmė būtų lygi 0. D yra teisingas atsakymas.

Patarimas:

Prisiminkite absoliučios vertės taisykles (tai visada teigiama!). Jei prisimenate taisykles, turėtumėte teisingai atsakyti į klausimą!

Tiesinių lygčių grafikas

Šie klausimai patikrina jūsų gebėjimą skaityti grafiką ir interpretuoti jį į $y=mx+b$ formą. Greitas atnaujinimas, $y=mx+b$ yra linijos nuolydžio sankirtos lygtis, kur m reiškia nuolydį, o b – y kirtimo tašką.

Šiuose klausimuose jums paprastai bus pateiktas linijos grafikas ir, norėdami parašyti linijos lygtį, turėsite nustatyti, koks yra nuolydis ir y-kirtimas.

Skaičiuoklės praktikos problema

Atsakymo paaiškinimas:

Ryšys tarp h ir C pavaizduotas bet kuria nurodytos linijos lygtimi. Tiesės C sankirta yra 5. Kadangi taškai $(0, 5)$ ir $(1, 8)$ yra tiesėje, linijos nuolydis yra ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3 USD. Todėl ryšį tarp h ir C galima pavaizduoti $C=3h+5$, tiesės nuolydžio ir pertraukos lygtimi. C yra teisingas atsakymas.

Patarimas:

Įsiminkite nuolydžio sankirtos formą ($y=mx+b$) ir nuolydžio lygtį $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Žinokite, ką reiškia kiekvienas lygčių kintamasis. Jei visa tai žinote, turėtumėte sugebėti išspręsti bet kokią jums pateiktą linijinės lygties grafikos problemą.

Tiesinės nelygybės ir tiesinių nelygybių sistemos

Šitie yra neabejotinai sudėtingiausi Algebros širdies klausimai nes daugelis studentų susiduria su sunkumais, kai kintamieji derinami su nelygybėmis. Jei jums reikia greito, bet išsamios informacijos apie nelygybę, peržiūrėkite mūsų nelygybių vadovą .

Šie klausimai paprastai rodomi kiekvienos skilties kelių pasirinkimų ir tinklelio pabaigoje. Šie klausimai bus pateikti kaip nesudėtingos jau nustatytos nelygybės (jūsų nebus prašoma sukurti nelygybių ir jums nebus pateiktas realaus pasaulio scenarijus naudojant nelygybes). Nors jie pateikiami paprastai, šie klausimai yra sudėtingi ir lengva suklysti, todėl neskubėkite!

Skaičiuoklės praktikos problemos

Atsakymo paaiškinimas:

Atėmus $3x$ ir prie abiejų $3x−5≥4x−3$ pusių pridėjus 3, gaunama $−2≥x$. Todėl x yra $3x−5≥4x−3$ sprendimas tada ir tik tada, kai x yra mažesnis arba lygus −2, o x NĖRA $3x−5≥4x−3$ sprendimas tada ir tik tada, jei x yra didesnis nei –2. Iš pateiktų pasirinkimų tik −1 yra didesnis nei −2, todėl negali būti x reikšmė. A yra teisingas atsakymas.

Taip pat galite pabandyti atsakyti į tai įtraukdami atsakymų pasirinkimus ir pažiūrėdami, kuris iš jų neveikė. Jei į nelygybę įjungsite A, gausite $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Supaprastinus nelygybę, gautumėte -8≥-7, o tai netiesa, todėl A yra teisingas atsakymas.

Patarimas

Prisiminkite nelygybės taisykles! Neskubėkite atlikdami kiekvieną žingsnį, kad nepadarytumėte klaidų. Taip pat nepamirškite pabandyti prijungti atsakymų variantų, kad rastumėte teisingą atsakymą!

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Atsakymo paaiškinimas:

Kadangi (0, 0) yra nelygybių sistemos sprendimas, duotoje sistemoje 0 vietoj x ir 0 y turi būti gautos dvi tikrosios nelygybės. Po šio pakeitimo y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Taigi a yra teigiamas, o b yra neigiamas. Todėl a > b. A pasirinkimas yra teisingas.

Patarimas:

Šią nelygybių sistemą su keturiais kintamaisiais traktuokite taip pat, kaip traktuotumėte nelygybių sistemą su dviem kintamaisiais. Atminkite, kad jei (0,0) yra sprendimas, tai reiškia, kad kai x=0, y=0.

4 pagrindinės algebros širdies strategijos

Šiame straipsnyje „patarimų“ skyreliuose pateikiau šių klausimų sprendimo strategijas, bet dabar jas apibendrinsiu.

1 strategija: įsiminkite taisykles ir formulę

Norėdami teisingai atsakyti į tokius algebros klausimus, turite žinoti nelygybių taisykles, absoliučios vertės taisykles ir linijos pertraukos ir nuolydžio versijos formulę ($y=mx+b$). Be taisyklių ir formulės šie klausimai yra beveik neįmanomi.

Jei jums reikia daugiau pagalbos dėl bet kurios iš sąvokų, peržiūrėkite mūsų išsamius tiesinių lygčių, lygčių sistemų, absoliučios vertės, nuolydžio formos ir tiesinių nelygybių bei nelygybių sistemų vadovus.

2 strategija: atsakymų prijungimas

Turėtumėte atsakyti į klausimus su atsakymų variantais visada patikrinkite, ar galite įtraukti atsakymo variantus į pateiktą (-es) lygtį (-es) arba nelygybę, kad rastumėte teisingą atsakymą . Kartais šis metodas bus daug paprastesnis nei bandymas išspręsti lygtį.

Net jei pastebėsite, kad atsakymų prijungimas stabdo jus, turėtumėte bent jau pagalvoti, kaip jį naudoti savo darbui patikrinti. Įtraukite rastą atsakymo pasirinkimą ir pažiūrėkite, ar dėl jo gaunama subalansuota lygtis, ar ištaisomos nelygybės. Jei taip, žinote, kad turite teisingą atsakymą!

Įjunkite! Įjunkite!

3 strategija: skaičių prijungimas

Jei neįmanoma įvesti atsakymų, dažnai galima prijungti skaičius, pvz., 2 klausime aukščiau. Kai pasirenkate prijungti skaičius, apskritai nerekomenduoju naudoti -1, 0 ar 1 (nes jie gali sukelti neteisingus atsakymus), ir būtinai perskaitykite klausimą, kad sužinotumėte, kokius skaičius turėtumėte pasirinkti. Pavyzdžiui, 2 klausime skaičiai rodo išsiųstų tekstinių pranešimų skaičių, todėl neturėtumėte naudoti neigiamo skaičiaus teksto pranešimų skaičiui nurodyti, nes neįmanoma išsiųsti neigiamo teksto pranešimų skaičiaus.

Kalbant apie nelygybes, tai ypač svarbu. Dažnai klausime bus sakoma: „Tai galioja visiems $x>0$“. Tokiu atveju negalite prijungti 0 arba -5; galite įvesti tik didesnius nei 0 skaičius, nes tai klausime nustatytas parametras.

4 strategija: dirbkite vienu žingsniu vienu metu

Jei norite atsakyti į klausimus „Heart of Algebra“, turite skirti laiko kiekvienam žingsniui. Šiuos klausimus gali sudaryti 5, 10, 15 žingsnių, ir jūs turite neskubėti, kad įsitikintumėte, jog atlikdami 3 veiksmą nepadarėte mažos klaidos, dėl kurios atsakymas bus neteisingas. Jūs išmanote savo dalykus, todėl neleiskite, kad mažos klaidos jums kainuotų taškų!

Kas toliau?

Dabar, kai žinote, ko tikėtis Algebros širdies klausimais, įsitikinkite, kad esate pasiruošę visos kitos matematikos temos pamatysite per SAT. Visuose mūsų matematikos vadovuose rasite strategijas ir praktikos uždavinius visoms matematikos skiltyje nagrinėjamoms temoms – nuo ​​sveikųjų skaičių iki santykio , apskritimų iki daugiakampių (ir dar daugiau!).

Jaučiate nerimą dėl bandymo dienos? Įsitikinkite, kad tiksliai žinote, ką daryti, ir pasirūpinkite, kad atsipalaiduotumėte ir sutvarkytumėte nervus, kol atėjo laikas imtis SAT.

Pritrūksta laiko SAT matematikos skyriuje? Ieškokite tik mūsų vadovo, kuris padės įveikti laikrodį ir maksimaliai padidinti SAT matematikos rezultatą.

Meškerioti norint gauti puikų rezultatą? Peržiūrėkite mūsų vadovas, kaip gauti tobulą 800 , parašė tobulas įmušėjas.