4 × 4 matricos determinantas: Matricos determinantas yra pagrindinė tiesinės algebros sąvoka, būtina norint iš matricos išvesti vieną skaliarinę vertę. 4×4 yra kvadratinė matrica su 4 eilutėmis ir 4 stulpeliais, kurios determinantą galima rasti pagal formulę, kurią aptarsime.

Šiame straipsnyje bus nagrinėjama 4 × 4 matricos apibrėžimas ir žingsnis po žingsnio 4 × 4 matricos determinanto apskaičiavimo vadovas. Be to, jame nagrinėjami praktiniai šios matematinės operacijos pritaikymai.

Turinys

kas yra build-essential ubuntu

• Kas yra matricos determinantas?
• 4×4 matricos determinantas
• 4×4 matricos savybės
• 4 × 4 matricos formulės determinantas
• Kaip rasti 4 × 4 matricos determinantą?
• 4 × 4 matricos pavyzdžių determinantas
• 4×4 matricos praktikos klausimų determinantas

Kas yra matricos determinantas?

The matricos determinantas yra skaliarinė reikšmė, kurią galima apskaičiuoti iš a elementų kvadratinė matrica . Jame pateikiama svarbi informacija apie matricą, pvz., ar ji yra apverčiama, ir matricos atvaizduojamų tiesinių transformacijų mastelio koeficientą.

Įvairūs metodai, pvz kofaktorius išplėtimas arba eilutės sumažinimas, gali būti naudojami norint rasti matricos determinantą, atsižvelgiant į matricos dydį ir struktūrą. Apskaičiuotas determinantas žymimas simboliu det arba vertikaliomis juostomis, gaubiančiomis matricą.

4×4 matricos determinantas

4 × 4 matrica yra stačiakampis skaičių masyvas, išdėstytas keturiomis eilėmis ir keturiais stulpeliais. Kiekvienas matricos elementas identifikuojamas pagal jo eilutės ir stulpelio padėtį. Bendra 4 × 4 matricos forma atrodo taip:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Kur_ijreiškia elementą, esantį i^theilutė ir j^thmatricos stulpelyje.

4 × 4 matricos dažniausiai sutinkamos įvairiose srityse, tokiose kaip kompiuterinė grafika, fizika, inžinerija ir matematika. Jie naudojami transformacijoms vaizduoti, tiesinių lygčių sistemoms spręsti ir tiesinės algebros operacijoms atlikti.

4×4 matricos savybės

Štai keletas 4 × 4 matricos savybių, paaiškintų supaprastintai:

• Kvadratinė matrica: 4 × 4 matrica turi vienodą eilučių ir stulpelių skaičių, todėl ji yra kvadratinė.
• Determinantas: 4 × 4 matricos determinantas gali būti apskaičiuojamas naudojant tokius metodus kaip kofaktoriaus išplėtimas arba eilutės mažinimas. Jame pateikiama informacija apie matricos invertuojamumą ir mastelio koeficientą tiesinėms transformacijoms.
• Atvirkščiai: 4 × 4 matrica yra apverčiamas jei jo determinantas nėra lygus nuliui. Atvirkštinė 4 × 4 matrica leidžia išspręsti tiesinių lygčių sistemas ir atšaukti matricos pavaizduotas transformacijas.
• Perkelti: 4 × 4 matricos transponavimas gaunamas sukeičiant jos eilutes ir stulpelius. Tai gali būti naudinga atliekant tam tikrus skaičiavimus ir transformacijas.
• Būdingosios reikšmės ir savieji vektoriai: 4 × 4 matricas galima analizuoti, kad būtų galima jas rasti savąsias reikšmes ir savuosius vektorius , kurie atspindi matricos savybes tiesinėmis transformacijomis.
• Simetrija: Priklausomai nuo konkrečios matricos, ji gali turėti simetrijos savybių, pavyzdžiui, būti simetriška, pasvirusi simetriška arba ne.
• Matricos operacijos: 4 × 4 matricose galima atlikti įvairias operacijas, tokias kaip sudėtis, atimtis, daugyba ir skaliarinė daugyba, laikantis specifinių taisyklių ir savybių.

Skaitykite išsamiai: Determinantų savybės

4 × 4 matricos formulės determinantas

Bet kurios 4 × 4 matricos determinantas, t.y.egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , galima apskaičiuoti pagal šią formulę:

it(A) = a _vienuolika · tai (A _vienuolika ) – a ₁₂ · tai (A ₁₂ ) + a ₁₃ · tai (A ₁₃ ) – a ₁₄ · tai (A ₁₄ )

Kur_ijžymi submatricą, išbraukdamas i^theilutė ir j^thstulpelyje.

Kaip rasti 4 × 4 matricos determinantą?

Norėdami rasti 4 × 4 matricos determinantą, galite naudoti įvairius metodus, tokius kaip išplėtimas nepilnamečiais, eilutės mažinimas arba specifinių savybių taikymas.

Vienas įprastas metodas yra naudoti nepilnamečių išplėtimą, kai išplečiate eilutę arba stulpelį, padaugindami kiekvieną elementą iš jo kofaktoriaus ir susumavus rezultatus. Šis procesas tęsiasi rekursyviai, kol pasieksite 2 × 2 submatricą, kuriai galite tiesiogiai apskaičiuoti determinantą. Norėdami suprasti, kaip rasti 4 × 4 matricos determinantą, apsvarstykite pavyzdį.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

1 veiksmas: išskleiskite pirmąją eilutę:

it(A) = 2 · it(A _vienuolika ) – 1 · it(A ₁₂ ) + 3 · it(A ₁₃ ) – 4 · it(A ₁₄ )

Kur_ijžymi submatricą, gautą išbraukus i-tą eilutę ir j-ą stulpelį.

2 veiksmas: apskaičiuokite kiekvienos 3 × 3 submatricos determinantą.

Dėl_vienuolika

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A_vienuolika| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1 [(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |A_vienuolika| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |A_vienuolika| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |A_vienuolika| = 10 + 26 + 4 = 40

Dėl₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1 [(3)(2)-(0) (-1)]

⇒ |A₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

Dėl₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₃| = (0) [(2) (1)-(3) (5)] – (-1) [(3) (1)-(5) (-1)] + 2 [(3) (3)- (2) (-1)]

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₃| = 0 – (-1) (8) + 2 (11)

⇒ |A₁₃| = 8 + 22 = 30

Dėl₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

java eilutės konvertavimas į int

⇒ |A₁₄| = (0) [(2) (2)-(3) (0)] – (-1) [(3) (2)-(0) (-1)] + 2 [(3) (3)- (2) (-1)]

⇒ |A₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₄| = 0 – (-1) (6) + 2 (11)

⇒ |A₁₄| = 6 + 22 = 28

3 veiksmas: 3 × 3 submatricų determinantus pakeiskite išplėtimo formulėje:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

4 veiksmas: apskaičiuokite galutinį determinantą:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

it(A) = 48

Taigi, nurodytos 4 × 4 matricos determinantas yra 48.

Taip pat patikrinkite

• 2×2 matricos determinantas
• 3×3 matricos determinantas

4×4 matricos pavyzdžių determinantas

1 pavyzdys: A =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

Sprendimas:

Pirma Išskleiskite pirmoje eilutėje:

java palyginama sąsaja

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Dabar apskaičiuokite kiekvienos 3 × 3 submatricos determinantą.

Dėl _vienuolika ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1) (13) – 2 (6) + 0 (-4)

= -13 - 12

= -25

Dėl ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2) (-7) – (0) (-14) + (3) (-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

Dėl ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0) ) )-(2) (1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2) (6) – (1) (-14) + (3) (-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Dėl ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2) (1)

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)(0)-(2))

= (2) (-4) – (1) (5) + (0) (-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Dabar išplėtimo formulėje pakeiskite 3 × 3 submatricų determinantus:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Taigi, matricos (A) determinantas yra 24.

2 pavyzdys: Apskaičiuokite matricos determinantąA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Sprendimas:

Norėdami rasti matricos determinantą ( A ), pirmoje eilutėje naudosime išplėtimo pagal nepilnamečius metodą:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Dabar apskaičiuokime 3 × 3 submatricų determinantus:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

gimp eksportuoti kaip jpg

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Dabar pakeiskite šiuos determinantus atgal į išplėtimo formulę:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Taigi, matricos ( A ) determinantas yra det(A) = -120.

3 pavyzdys: Raskite matricos determinantą B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Sprendimas:

Norėdami rasti matricos determinantą ( B ), pirmoje eilutėje naudosime išplėtimo pagal nepilnamečius metodą:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Dabar apskaičiuokime 3 × 3 submatricų determinantus:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 - 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 - 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0–15) + 2 ⋅ (0–6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 - 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= –1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

stygų palyginimas java

Dabar pakeiskite šiuos determinantus atgal į išplėtimo formulę:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ bet kas

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Taigi, matricos ( B ) determinantas yra det(B) = -19

4×4 matricos praktikos klausimų determinantas

Q1: Apskaičiuokite šios 4 × 4 matricos determinantą:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Q2: Raskite matricos determinantą:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

3 klausimas: Apskaičiuokite šios 4 × 4 matricos determinantą:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

4 klausimas: Nustatykite matricos determinantą:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

5 klausimas: Raskite matricos determinantą: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

DUK apie 4 × 4 matricos determinantą

Kaip rasti 4 × 4 matricos determinantą?

Norėdami rasti 4 × 4 matricos determinantą, galite naudoti įvairius metodus, tokius kaip kofaktoriaus išplėtimas arba eilučių mažinimo metodai.

Kas yra 4 × 4 tapatybės matricos determinantas?

4 × 4 tapatybės matricos determinantas yra 1, nes tai yra ypatingas atvejis, kai visi įstrižainės elementai yra 1, o likusieji yra 0.

Kaip rasti 4 × 4 matricos determinantą naudojant kofaktoriaus plėtrą?

Norint nustatyti 4 × 4 matricos determinantą naudojant kofaktoriaus plėtrą, ji suskaidoma į mažesnes 3 × 3 matricas, taikoma kofaktoriaus formulė ir sandaugų sumavimas.

Kokia determinanto formulė?

Determinanto formulė apima elementų ir jų kofaktorių sandaugas kiekvienoje eilutėje ar stulpelyje, atsižvelgiant į jų ženklus.

Ar determinantas gali būti neigiamas?

Taip, determinantai gali būti neigiami, teigiami arba nuliniai, priklausomai nuo konkrečios matricos ir jos savybių.

Ar 4 × 4 matrica gali turėti atvirkštinę vertę?

4 × 4 matrica gali turėti atvirkštinę vertę, jei jos determinantas nėra lygus nuliui; kitu atveju jis yra vienaskaita ir jam trūksta atvirkštinio.

Kaip parodyti, kad 4 × 4 matrica yra apverčiama?

Norėdami parodyti, kad 4 × 4 matrica yra apverčiama, patvirtinkite, kad jos determinantas nėra lygus nuliui, o tai rodo, kad egzistuoja atvirkštinė matrica, ir naudokite papildomus kriterijus, pvz., eilutės sumažinimą, kad patikrintumėte neapverčiamumą.