3×3 MATRICOS DETERMINANTAS

Determinantas yra pagrindinė tiesinės algebros sąvoka, naudojama norint rasti vieną skaliarinę reikšmę duotai matricai. Šiame straipsnyje bus paaiškinta, kas yra 3 × 3 matrica ir kaip žingsnis po žingsnio apskaičiuoti 3 × 3 matricos determinantą, taip pat jos taikymas. Nesvarbu, ar esate studentas, besimokantis tiesinės algebros, ar entuziastas, siekiantis giliau suprasti matricos operacijas, suprasti 3 × 3 matricos determinantą yra vertingas įgūdis.

Kas yra matricos determinantas?

Matricos determinantas yra vienas skaičius, apskaičiuotas iš kvadratinės matricos. Tiesinės algebros srityje determinantai randami naudojant kvadratinės matricos reikšmes. Šis skaičius veikia kaip mastelio koeficientas, įtakojantis matricos transformaciją. Determinantai vertingi sprendžiant tiesinių lygčių sistemas, ieškant atvirkštinės matricos ir atliekant įvairias skaičiavimo operacijas.

Kas yra 3 × 3 matrica?

3 × 3 matrica yra a matrica kurioje eilučių ir stulpelių skaičius yra lygus 3. Kadangi eilučių ir stulpelių skaičius yra lygus, taigi 3 × 3 yra kvadratinė matrica, kurios eilės yra 3 × 3. Matrica yra tarsi lentelė, sudaryta iš skaičių, suskirstytų į eilutes ir stulpelius. Jis naudojamas matematikos ir kitų sričių duomenims saugoti ir su jais dirbti. Tuo tarpu 3 × 3 matrica yra specifinis matricos tipas, susidedantis iš trijų eilučių ir trijų stulpelių. Jis gali būti pavaizduotas taip:

3 × 3 matrica

3 × 3 matricos savybės

Kaip ir kitos matricos, 3 × 3 matricos taip pat turi keletą svarbių savybių.

Kvadratinė matrica : 3 × 3 matrica turi tris eilutes ir tris stulpelius, todėl ji yra kvadratinė.

Determinantas: 3 × 3 matrica turi determinantą, skaitinę reikšmę, labai svarbią sprendžiant lygtis ir ieškant atvirkštinių.

Matricos daugyba: Galite padauginti 3 × 3 matricą iš kitos matricos, jei pirmosios matricos stulpelių skaičius sutampa su antrosios matricos eilučių skaičiumi.

Atvirkščiai: 3 × 3 matrica gali turėti atvirkštinę vertę, jei jos determinantas nėra nulis. Atvirkštinė matrica, padauginta iš pradinės matricos, suteikia tapatybės matricą.

3 × 3 matricos formulės determinantas

Yra įvairių matricos determinanto skaičiavimo metodų. Dažniausias būdas yra suskaidyti nurodytą 3 × 3 matricą į mažesnius 2 × 2 determinantus. Tai supaprastina determinanto radimo procesą ir yra plačiai naudojamas tiesinėje algebroje.

Paimkime 3 × 3 kvadratinę matricą, kuri parašyta kaip

Apskaičiuoti matricos A determinantą, ty |A|.

Išskleiskite Matricą išilgai pirmosios eilutės elementų.

Todėl,

Kaip rasti 3 × 3 matricos determinantą?

Supraskime 3 × 3 matricos skaičiavimą su pavyzdžiu. Žemiau pateiktai 3 × 3 matricai.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

1 veiksmas: pasirinkite nuorodos eilutę arba stulpelį

Norėdami pradėti, pasirinkite eilutę ir stulpelį, tarkime, kad šiame pavyzdyje pirmą elementą (2) imame kaip nuorodą 3 × 3 matricos determinantui apskaičiuoti.

Taigi, plečiant R eilutę₁

pašalinti

2 veiksmas: perbraukite eilutę ir stulpelį

Pašalinkite pasirinktą eilutę ir stulpelį, kad supaprastintumėte juos 2 × 2 matricoje.

2×2 matrica

3 veiksmas: raskite 2 × 2 matricos determinantą

Pagal formulę raskite 2 × 2 matricos determinantą

Determinantas = (a × d) – (b × c)

Kryžiaus dauginimas

tostring java metodas

Čia a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

įdėję šias reikšmes į aukščiau pateiktą determinanto formulę, gauname

Determinantas = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinantas = 0- (-1)

Determinantas = 0+1

∴ 2 × 2 matricos determinantas = 1

4 veiksmas: padauginkite iš pasirinkto elemento

2 × 2 matricos determinantą padauginkite iš pasirinkto elemento iš atskaitos eilutės (kuri šiuo atveju yra 2, 1 ir 3):

pirmasis elementas = 2 × 1 = 2

5 veiksmas: pakartokite šį procesą antrajam elementui pasirinktoje nuorodos eilutėje

Dėl Antrojo elemento

Raskite antrojo elemento 1 determinantą, įdėdami 2×2 matricos reikšmes į formulę

Determinantas = (a × d) – (b × c)

Čia a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinantas = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinantas = 8 – 2

Determinantas = 6

Dabar padauginkite 2 × 2 matricos determinantą iš pasirinkto elemento iš atskaitos eilutės (kuris šiuo atveju yra 1):

antrasis elementas = 1 × 6 = 6

6 veiksmas: pakartokite šį procesą su trečiuoju pasirinktos nuorodos eilutės elementu

Trečiajam elementui

Raskite trečiojo elemento 3 determinantą, įvesdami 2×2 matricos reikšmes į formulę

Determinantas = (a × d) – (b × c)

Čia a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Determinantas = (4 × -1) – (0 × 2)

atributo klaida python

Determinantas = -4 – 0

Determinantas = -4

Dabar padauginkite 2 × 2 matricos determinantą iš pasirinkto elemento iš atskaitos eilutės (kuris šiuo atveju yra 3):

antrasis elementas = 3 × (-4) = -12

7 veiksmas: formulės naudojimas

Sudėkite visus 4, 5 ir 6 veiksmo rezultatus

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 yra 3 × 3 matricos determinantas.

3 × 3 matricos determinanto taikymas

Matricos determinantas gali būti naudojamas norint rasti atvirkštinę vertę ir išspręsti tiesinės lygties sistemą. Taigi, mes išmokstame rasti atvirkštinę 3 × 3 matricos vertę ir taip pat išspręsti tiesinės lygties sistemą naudodami Cramerio taisyklę, kuri apima 3 × 3 matricos determinanto naudojimą.

3 × 3 matricos atvirkštinė

Kvadratinės matricos A atvirkštinės vertės nustatymo formulė yra tokia:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

kur,

A-1 yra atvirkštinė matrica A .
Det(A) reiškia A matricos determinantą.
adj(A) reiškia matricos A adjugatą

Paprastais žodžiais tariant, galite atlikti šiuos veiksmus, kad surastumėte atvirkštinę matricos vertę:

1 žingsnis. Apskaičiuokite matricos A determinantą.

2 žingsnis. Raskite matricos A adjugatą.

3 veiksmas. Padauginkite kiekvieną adjugato elementą iš 1/det(A).

Ši formulė naudojama kvadratinėms matricoms (matricoms su tuo pačiu skaičiumi eilučių ir stulpelių) ir daroma prielaida, kad determinantas yra ne nulis, o tai yra būtina sąlyga, kad matrica turėtų atvirkštinę reikšmę.

Cramerio taisyklė

Cramerio taisyklė pateikia formulę tiesinių lygčių sistemai išspręsti naudojant determinantus. Tiesinių lygčių sistemai su n kintamųjų pateikiama forma

AX = B

kur,

A = kvadratinės matricos koeficientas
X = stulpelių matrica su kintamaisiais
B = stulpelių matrica su konstantomis

Apsvarstykite šią tiesinių lygčių sistemą

a₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

a₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

a_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Kintamieji x, y, z, … nustatomi naudojant šias formules:

aktorius Zeenat Aman

x = D_x/D
y = D_ir/D
z = D_Su/D

Kur:

D yra koeficiento matricos determinantas.
D_xyra matricos determinantas, gautas pakeitus x koeficientus dešinėje esančiomis konstantomis.
D_iryra matricos determinantas, gautas pakeitus y koeficientus
D_Suyra matricos determinantas, gautas pakeitus z koeficientus

Cramerio taisyklė taikoma, kai koeficiento matricos D determinantas nėra nulis. Jei D = 0, negalima taikyti taisyklės, kuri nurodo arba be sprendimo, arba be galo daug sprendimų, priklausomai nuo konkretaus atvejo.

Taip pat patikrinkite

Matricų tipai
Tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema
Matricos operacijos

3 × 3 matricos išspręstų pavyzdžių determinantas

1 pavyzdys: Raskite matricos A determinantą egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinantas A = 2 (4×2 – 5×6) – 3 (0×2 – 5×1) + 1 (0×6 – 4×1)

⇒ Determinantas A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinantas A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinantas A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinantas A =-44+11

∴ A determinantas, ty |A| = (-33)

2 pavyzdys: Raskite matricos determinantą B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

B determinantas = 1 (3 × 2 – 0 × 1) – 2 (0 × 2 – 0 × 4) + 1 (0 × 1 – 3 × 4)

⇒ B determinantas = 1 (6-0) – 2 (0) + 1 (-12)

⇒ B determinantas = 1(6) – 0 – 12

⇒ B determinantas =6-12

⇒ B determinantas = (-6)

∴ B determinantas, ty |B| = 6

3 pavyzdys: Raskite matricos C determinantą egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Matricos C determinantas = 3(2×4 – 5×0) – 1 (0×4 – 5×2) + 2 (0×0 – 2×2)

⇒ C determinantas = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ C =3(8) – 1(-10) + 2(-4) determinantas

⇒ C determinantas = 24 + 10 -8

⇒ C = 26 determinantas

∴ C determinantas, ty |C| = 26

4 pavyzdys: Išspręskite pateiktą lygčių sistemą naudodami Cramerio taisyklę

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Sprendimas:

1 žingsnis: Pirmiausia suraskite determinantą D koeficiento matricos.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Sprendžiant šį determinantą D

D = 2 (-2 × 2-3 × 1) - 3 (4 × 2-1 × 3) - (-1) (4 × 1-(-2) × 3)

⇒ D = 2 (-4-3) - 3 (8-3) - (-1) (4 + 6)

⇒ D = 2 (-7) – 3 (5) – (-1) (10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

2 žingsnis: Dabar suraskite D lemiančius veiksnius_x,D_irir D_Su

Dėl D_x, pakeičiame x koeficientus konstantomis dešinėje:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Dėl D_ir, pakeičiame y koeficientus konstantomis:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Dėl D_Su, pakeičiame z koeficientus konstantomis:
kurie sukūrė mokyklą

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Sprendžiant determinantą D_x

D_x= 7 (-2×2 – 3×1) – 3 (8×2 – 3×10) – (-1) (8×1 – (-2×10)

⇒ D_x= 7 (-4 – 3) – 3 (16 – 30) – (-1) (8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

Taigi, D_x= 21

Sprendžiant determinantą D_ir

D_ir= 2 (-2×2 – 3×10) – 7 (4×2 – 1×10) – (-1) (4×1 – (-2×10)

⇒ D_ir= 2 (-4 – 30) – 7 (8 – 10) – (-1) (4 + 20)

⇒ D_ir= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_ir= -68 + 14 + 24

⇒ D_ir= -30

Sprendžiant determinantą D_Su

D_Su= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7 (4×3 – (-2×1)

⇒ D_Su= 2 (4 + 6) – 3 (-8 + 10) – 7 (12 + 2)

⇒ D_Su= 2 (10) – 3 (2) – 7 (14)

⇒ D_Su= 20 – 6 – 98

⇒ D_Su= -84

3 veiksmas: Dabar pateikiame D, D reikšmes_x, D_irir D_SuKarmerio taisyklės formulėje, norėdami rasti x, y ir z reikšmes.

x = D_x/D = 21/(-19)

y = D_ir/D = (-30)/(-19)

z = D_Su/D = (-84)/(-19)

Praktiniai klausimai apie 3 × 3 matricos determinantą

Q1. Apskaičiuokite tapatybės matricos determinantą:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Raskite matricos determinantą:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Nustatykite matricos determinantą:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

4 klausimas. Apskaičiuokite matricos determinantą:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Raskite matricos determinantą:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

6 klausimas. Nustatykite matricos determinantą:

labas pasaulis java

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}