Išvestinės formulės skaičiavime yra vienas iš svarbių skaičiavimo įrankių, nes išvestinės formulės yra plačiai naudojamos norint lengvai rasti įvairių funkcijų išvestis, taip pat padeda tyrinėti įvairias matematikos, inžinerijos ir kt.

Šiame straipsnyje nagrinėjami visi išvestinės formulės glaudžiai įtraukiant bendrąją išvestinę formulę, išvestines logaritminių ir eksponentinių funkcijų formules, išvestines trigonometrinių santykių formules, išvestines atvirkštinių trigonometrinių santykių formules ir išvestines hiperbolinių funkcijų formules. Išvestinė formulė yra svarbi 12 klasės mokiniams jų egzaminams. Taip pat išspręsime keletą išvestinių pavyzdžių naudodami skirtingas išvestinių formules. Atidžiai panagrinėkime išvestinės formulės temą.

Turinys

• Kas yra Darinys?
• Kas yra išvestinės formulės?
• Pagrindinės išvestinės formulės – išvestinės taisyklės skaičiavime
• Išvestinių formulių sąrašas
• Kai kurios kitos išvestinės formulės
• Kaip rasti išvestinius produktus?
• Išvestinės formulės taikymai

Kas yra Darinys?

The dariniai reiškia funkcijos greitį bet kurio kintamojo atžvilgiu. Funkcijos f(x) išvestinė žymima f'(x) arba (d/dx) [f(x)]. Išvestinių radimo procesas vadinamas diferenciacija.

Pagrindinė išvestinės formulė yra išvestinės išvestinės priemonės apibrėžimas, kuri apibrėžiama taip:

f'(x) = rib _{h → 0} [(f(x + h) – f(x))/h]

Yra įvairių išvestinių formulių, įskaitant bendrąsias išvestines formules, išvestines trigonometrinių funkcijų formules ir išvestines atvirkštinių trigonometrinių funkcijų formules ir kt.

Skaitykite išsamiai: Skaičiavimas matematikoje

Kas yra išvestinės formulės?

Išvestinės formulės yra tos matematinės išraiškos, kurios padeda apskaičiuoti kokios nors konkrečios funkcijos išvestinę jos nepriklausomo kintamojo atžvilgiu. Paprastais žodžiais tariant, formulės, padedančios rasti išvestines, vadinamos išvestinėmis formulėmis. Yra kelios išvestinės formulės skirtingoms funkcijoms.

Išvestinės formulės pavyzdžiai

Kai kurie išvestinių formulių pavyzdžiai pateikiami taip:

• Galios taisyklė: Jei f(x) = xⁿ, kur n yra konstanta, tada išvestinė pateikiama taip:

f'(x) = nx ^n-1

• Nuolatinė taisyklė: Jei f(x) = c, kur c yra konstanta, tada išvestinė yra lygi nuliui:

f'(x) = 0

• Eksponentinės funkcijos: Jei f(x) = e^x, tada:

f'(x) = e ^x

Struktūriškai aptarkime visas formules, susijusias su išvestine medžiaga.

Pagrindinės išvestinės formulės – išvestinės taisyklės skaičiavime

Kai kurios iš pagrindinių formulių, leidžiančių rasti išvestinę formulę, yra šios:

• Nuolatinė taisyklė
• Galios taisyklė
• Sumos skirtumo taisyklė
• Produkto taisyklė
• Dalinio taisyklė
• Grandinės taisyklė

Išsamiai aptarkime šias taisykles:

Nuolatinė išvestinių finansinių priemonių taisyklė

Pastovią išvestinių finansinių priemonių taisyklę pateikia taip:

(d/dx) konstanta = 0

Išvestinių finansinių priemonių galios taisyklė

Išvestinių finansinių priemonių galios taisyklė pateikiama taip:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Išvestinių finansinių priemonių sumos skirtumo taisyklė

Išvestinių finansinių priemonių sumos ir skirtumo taisyklė apskaičiuojama taip:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Produkto taisyklė išvestinėms priemonėms

Produkto taisyklė išvestinėms finansinėms priemonėms pateikiama taip:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Išvestinių finansinių priemonių dalinio taisyklė

Išvestinių finansinių priemonių koeficiento taisyklė pateikiama taip:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Išvestinių finansinių priemonių grandinės taisyklė

Išvestinės finansinės priemonės grandinės taisyklė pateikiama taip:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Išvestinių formulių sąrašas

Žemiau pateikiamos įvairių funkcijų išvestinės formulės:

Eksponentinės ir logaritminės išvestinės formulės

Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinės formulės pateikiamos žemiau:

ilgas į eilutę java

• (d/dx) e^x= ir^x
• (d/dx) a^x= a^xln a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) žurnalas_ax= (1/x lna)

Skaityti daugiau,

• Logaritmai
• Eksponentinių funkcijų išvestinė

Trigonometrinės išvestinės formulės

Toliau pateikiamos išvestinės trigonometrinių funkcijų formulės:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) vaikiška lovelė x = -kosek²x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Išmokti daugiau apie Trigonometrinių funkcijų išvestinė .

Išvestinė atvirkštinių trigonometrinių funkcijų formulė

Toliau pateikiamos atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės formulės:

• (d/dx) be^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) taip^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) vaikiška lovelė^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sek^-1x = 1/[|x|√(x²-1)]
• (d/dx) kosek^-1x = -1/[|x|√(x²-1)]

Skaityti daugiau, Atvirkštinių trigubų funkcijų išvestinė .

Hiperbolinių funkcijų išvestinė

Toliau pateikiamos išvestinės trigonometrinių funkcijų formulės:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = pats²x
• (d/dx) coth x = -cosech²x
• (d/dx) savarankiškai x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Kai kurios kitos išvestinės formulės

Yra keletas kitų funkcijų, tokių kaip numanomos funkcijos, parametrinės funkcijos ir aukštesnės eilės išvestinės, kurių išvestinės formulės yra išvardytos toliau:

Netiesioginė išvestinė formulė

Netiesioginės funkcijos išvestinės radimo metodas vadinamas numanoma diferenciacija. Paimkime pavyzdį, kad suprastume išvestinių netiesioginio radimo metodą.

Pavyzdys: Raskite xy = 2 išvestinę

Sprendimas:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Iš pateiktos lygties y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

int į eilutę Java

Išmokti daugiau apie Netiesioginis diferencijavimas .

Parametrinė išvestinė formulė

Jei funkcija y(x) išreiškiama trečiojo kintamojo t ir x terminais, o y gali būti pavaizduota x = f(t) ir y = g(t), tada tokio tipo funkcija vadinama parametrine funkcija.

Jei y yra x funkcija, o x = f(t) ir y = g(t) yra dvi diferencijuojamos parametro t funkcijos, tada parametrinės funkcijos išvestinė pateikiama taip:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), kad (dx/dt) ≠ 0

Skaityti daugiau apie Parametrinė diferenciacija .

Aukštesnės eilės išvestinė formulė

Funkcijos išvestinę radus daugiau nei vieną kartą, gaunama aukštesnės eilės funkcijos išvestinė.

n ^th Išvestinė = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Skaityti daugiau apie Aukštesnės eilės išvestinė priemonė .

Kaip rasti išvestinius produktus?

Norėdami rasti funkcijos išvestinius, atliekame šiuos veiksmus:

• Pirmiausia patikrinkite funkcijos tipą, ar ji yra algebrinė, trigonometrinė ir pan.
• Suradę tipą, funkcijai pritaikykite atitinkamas išvestines formules.
• Gauta reikšmė suteikia funkcijos išvestinę, naudojant išvestinių formulę.

Išvestinės formulės taikymai

Yra daug išvestinių formulių pritaikymų. Kai kurios iš šių programų yra išvardytos žemiau:

• Išvestinės priemonės naudojamos bet kokio kiekio pokyčio greičiui rasti.
• Jis gali būti naudojamas norint rasti maksimumus ir minimumus.
• Jis naudojamas didinant ir mažinant funkcijas.

Žmonės taip pat žiūri:

• Diferencijavimo formulės
• Diferencijavimo ir integravimo formulė
• Logaritminė diferenciacija

Išspręsti išvestinės formulės pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskite x išvestinę ⁵ .

Sprendimas:

Tegu y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y' = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

2 pavyzdys: Raskite log išvestinę ₂ x.

Sprendimas:

Tegu y = log₂x

⇒ y’ = (d/dx) [log₂x]

⇒ y' = 1/ [x ln2]

3 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) = 8 išvestinę. 6 ^x

Sprendimas:

f(x) = 8 . 6^x

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^x]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^x]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

4 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) = 3sinx + 2x išvestinę

Sprendimas:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

vartotojo vardo pavyzdys

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

5 pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) = 5cos išvestinę ^-1 x + e ^x

Sprendimas:

f(x) = 5cos^-1x + e^x

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + ir^x

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + ir^x

Praktikos problemos dėl išvestinės formulės

1 problema: Įvertinkite: (d/dx) [x⁴].

2 problema: Raskite y = 5cos x išvestinę.

3 problema: Raskite y = cosec x + cot x išvestinę.

4 problema: Raskite f(x) = 4 išvestinę^x+ žurnalas₃x + įdegis^-1x.

5 problema: Įvertinkite: (d/dx) [40].

6 problema: Raskite f(x) = x išvestinę⁵+ 5x³+1.

DUK apie išvestinę formulę

Kas yra Darinys?

Reikšmė, nurodanti funkcijos kitimo greitį bet kurio kintamojo atžvilgiu, vadinama išvestine.

Kaip vaizduojamos išvestinės priemonės?

Išvestinės vaizduojamos kaip (d/dx) arba jei f(x) yra funkcija, tada f(x) išvestinė vaizduojama kaip f'(x).

Kaip apskaičiuojama konstantos išvestinė?

Konstantos išvestinė visada lygi nuliui. Matematinis žymėjimas, jei „C“ yra konstanta, tada dC/dx = 0.

Parašykite bendrąją išvestinę x formulęⁿ.

Bendroji x išvestinės formulėⁿ= nx^n-1.

Kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinius?

Funkcijos išvestinėms apskaičiuoti galime taikyti išvestinių formulę pagal pateiktą funkciją.

Kokia yra logaritminės funkcijos išvestinės formulė?

Natūralaus logaritmo funkcijos ln(x) išvestinė yra 1/x. Matematiniame žymėjime, jei y = ln(x), tai dy/dx = 1/x.

Kuri formulė naudojama eksponentinių funkcijų išvestinei rasti?

Eksponentinės funkcijos išvestinė, y = a^x(kur „a“ yra konstanta), randamas naudojant formulę dy/dx = a^x× ln(a).

Kas yra aukštesnės eilės išvestinės priemonės?

Aukštesnės eilės išvestinės yra funkcijos, paimtos daugiau nei vieną kartą, išvestinės. Antrasis vedinys yra pirmojo vedinys, trečiasis yra antrojo vedinys ir pan.

Kas yra išvestinė formulė e^x?

Funkcijos f(x) = e išvestinė^x(kur „e“ yra Eulerio skaičius, maždaug 2,71828) yra tiesiog f'(x) = e^x.

Parašykite išvestinę u/v formulę.

Dviejų funkcijų u(x) ir v(x) dalinio išvestinė pateikiama pagal koeficiento taisyklę:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Kas yra išvestinė 1/x formulė?

Funkcijos f(x) = 1/x išvestinė gaunama taip:

f'(x) = -1/x ²