Trigonometrinis pakeitimas yra vienas iš pakeitimo integravimo metodų, kai funkcija arba išraiška duotame integrale pakeičiama trigonometrinėmis funkcijomis, tokiomis kaip sin, cos, tan ir kt. Integravimas pakeitimu yra lengviausias pakeitimo metodas.

Jis naudojamas, kai keičiame funkciją, kurios išvestinė jau yra įtraukta į duotąją integralinę funkciją. Taip funkcija supaprastinama ir gaunama paprastų integralų funkcija, kurią galime lengvai integruoti. Jis taip pat žinomas kaip u pakaitalas arba atvirkštinės grandinės taisyklė. Arba kitaip tariant, naudodami šį metodą, galime nesunkiai įvertinti integralus ir antidarinius.

Trigonometrinis pakeitimas

Kas yra trigonometrinis pakaitalas?

Trigonometrinis pakeitimas yra procesas, kurio metu trigonometrinė funkcija pakeičiama kita išraiška. Jis naudojamas integralams įvertinti arba tai yra būdas rasti funkcijų, turinčių kvadratinių reiškinių kvadratines šaknis arba formos racionaliąsias galias, antidarinius.frac{p}{2} (kur p yra sveikas skaičius) kvadratinių išraiškų. Tokių posakių pavyzdžiai yra

({x^2+4})^frac{3}{2} arbasqrt{25-x^2} arba pan.

Trigonometrinio pakeitimo metodas gali būti naudojamas, kai kiti įprastesni ir lengviau naudojami integravimo metodai nepavyksta. Trigonometrinis pakeitimas daro prielaidą, kad esate susipažinę su standartinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis, diferencialinio žymėjimo naudojimu, integravimu naudojant u pakeitimą ir trigonometrinių funkcijų integravimą.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Čia aptarsime kai kurias svarbias formules, priklausomai nuo funkcijos, kurią turime integruoti, pakeičiame vieną iš šių trigonometrinių išraiškų, kad supaprastintume integravimą:

∫cosx dx = sinx + C

iškviesti javascript funkciją iš html

∫sinx dx = −cosx + C

∫ sek²x dx = tanx + C

∫ kosek²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|sekx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Skaitykite išsamiai: Skaičiavimas matematikoje

Kada naudoti trigonometrinį pakaitalą?

Trigonometrinį pakeitimą naudojame šiais atvejais:

Kaip taikyti trigonometrinį pakeitimo metodą?

Galime taikyti trigonometrinį pakeitimo metodą, kaip aptarta toliau,

Integruotas su a²– x²

Panagrinėkime integralo, apimančio a, pavyzdį²– x².

Pavyzdys: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Tarkime, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Taigi aš =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Kaip, x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integruotas su x ² + a ²

Panagrinėkime integralo, kuriame dalyvauja x, pavyzdį²+ a².

eilutėje java

Pavyzdys: Raskite integralą old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Sprendimas:

Įdėkime x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, gauname

Taigi aš =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I =frac{1}{a} heta + c

Kaip, x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integruotas su a ² + x ² .

Panagrinėkime integralo, apimančio a, pavyzdį²+ x².

Pavyzdys: Raskite integralą old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Sprendimas:

Tarkime, x = a tanθ

⇒ dx = sek²θ dθ

Taigi aš =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integruotas su x ² – a ² .

Panagrinėkime integralo, apimančio x, pavyzdį²– a².

Pavyzdys: Raskite integralą old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Tarkime, x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Taigi aš =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

pavasario inicializr

⇒ I =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Skaityti daugiau,

• Integravimo formulės
• Integracija pakeitimu
• Integracija dalimis

Trigonometrinio pakeitimo problemų pavyzdžiai

1 uždavinys: raskite integralą old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Sprendimas:

Paėmus 5 bendrąjį vardiklį,

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Pagal 1 teoremą a =frac{3}{5}

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

2 uždavinys: Raskite integralą old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Sprendimas:

Paimant √2 bendrą vardiklį,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Pagal 1 teoremą a = 2

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

3 uždavinys: Raskite integralą old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Sprendimas:

Pertvarkydami gauname

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Čia a = 3 ir x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Pakeičiant šias reikšmes,

aš =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Paimkime,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Pakeitę šias vertes, gauname

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Kaip, u = cos θ ir x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ į =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ į =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Vadinasi, I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

4 uždavinys: Raskite integralą old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Sprendimas:

java pertraukai

Paėmus 9 bendrąjį vardiklį,

aš =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Pagal 2 teoremą a =frac{2}{3}

⇒ I =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

5 uždavinys: Raskite integralą old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Sprendimas:

Paėmus 4 bendrąjį vardiklį,

aš =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Pagal 3 teoremą a =frac{5}{4}

java palyginimo eilutė

⇒ I =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

6 uždavinys: Raskite integralą old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Sprendimas:

Paėmus 2 bendrus vardiklius,

aš =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

aš =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Pagal 4 teoremą a =frac{3}{2}

aš =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

aš =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

aš =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

aš =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

aš =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

7 uždavinys: Raskite integralą old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Sprendimas:

Pertvarkę gauname

aš =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

aš =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

aš =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

aš =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Pagal 2 teoremą turime

x = x-frac{1}{2} ir a =frac{sqrt{3}}{2}

aš =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

aš =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrinis pakeitimas – DUK

Kas yra trigonometrinis pakaitalas?

Trigonometrinis pakaitalas yra integravimo technika, naudojama išspręsti integralus, apimančius išraiškas su radikalais ir kvadratinėmis šaknimis, pvz., √(x²+ a²), √(a²+ x²), ir √(x²– a²).

Kada turėčiau naudoti trigonometrinį pakeitimą?

Trigonometrinis pakeitimas yra naudingas, kai turite integralą, apimantį radikaliąją išraišką, ypač kai radikaliojoje išraiškoje yra kvadratinis terminas.

Kokie yra trys trigonometriniai pakaitalai, dažniausiai naudojami integraluose?

Trys dažniausiai naudojami trigonometriniai pakaitalai yra šie:

• Pakeiskite x = a sin θ, kai radikalinėje išraiškoje yra a formos terminas²– x².
• Pakeiskite x = tan θ, kai radikalinėje išraiškoje yra x formos terminas²– a².
• Pakeiskite x = a sec θ, kai radikalinėje išraiškoje yra x formos terminas²+ a².

Kaip kas nors pasirenka, kurį trigonometrinį pakaitalą naudoti?

Turėtumėte pasirinkti trigonometrinį pakaitalą pagal radikalios išraiškos formą. Jei radikaliojoje išraiškoje yra a^2 – x^2 formos terminas, naudokite x = a sin θ. Jei radikalioje išraiškoje yra x^2 – a^2 formos terminas, naudokite x = a tan θ. Jei radikaliojoje išraiškoje yra x^2 + a^2 formos terminas, naudokite x = a sec θ.