Panašūs trikampiai yra tos pačios formos trikampiai, tačiau jų dydis gali būti įvairus. Panašūs trikampiai turi atitinkamas kraštines proporcingai viena kitai ir atitinkamus kampus, lygius vienas kitam. Panašūs trikampiai skiriasi nuo lygiaverčių trikampių. Dvi sutampančios figūros visada yra panašios, tačiau dvi panašios figūros nebūtinai turi būti sutapusios.

Du trikampiai laikomi panašiais, kai jų atitinkami kampai sutampa ir jų kraštinės yra proporcingos. Tai reiškia, kad panašūs trikampiai turi tą pačią formą, nors jų dydžiai gali skirtis. Kita vertus, trikampiai apibrėžiami kaip sutampantys, kai jie ne tik turi tą pačią formą, bet ir turi atitinkamas kraštines, kurių ilgis yra vienodas.

Dabar sužinokime daugiau apie panašūs trikampiai ir jų savybės su išspręstais pavyzdžiais ir kitais išsamiai šiame straipsnyje.

Turinys

• Kas yra panašūs trikampiai?
• Panašių trikampių apibrėžimas
• Panašių trikampių pavyzdžiai
• Pagrindinė proporcingumo teorema (Thaleso teorema)
• Panašių trikampių kriterijai
• Panašių trikampių formulė
• Panašių trikampių geometrijoje formulė
• Panašios trikampio taisyklės
• Kampo kampo (AA) arba AAA panašumo teorema
• Šoninis kampas ir SAS panašumo teorema
• Side-Side-Side arba SSS panašumo teorema
• Kaip rasti panašius trikampius?
• Panašių trikampių plotas – teorema
• Skirtumas tarp panašių trikampių ir lygiaverčių trikampių
• Panašių trikampių taikymas
• Svarbios pastabos apie panašius trikampius
• Išspręsti klausimai apie panašius trikampius
• Praktiniai klausimai Panašūs trikampiai

Kas yra panašūs Trikampiai?

Panašūs trikampiai yra trikampiai, kurie atrodo panašūs vienas į kitą, tačiau jų dydžiai gali skirtis. Panašūs objektai yra tos pačios formos, bet skirtingų dydžių. Tai reiškia, kad panašios formos, padidintos arba sumažintos, turėtų būti viena ant kitos. Ši panašių formų savybė yra žinoma kaip Panašumas .

Yra trys panašios trikampio teoremos:

• AA (arba AAA) arba kampo ir kampo panašumo teorema
• SAS arba šoninio kampo ir šono panašumo teorema
• SSS arba Side-Side-Side panašumo teorema

Panašių trikampių apibrėžimas

Du trikampiai vadinami panašiais trikampiais, jei jų atitinkami kampai yra lygūs ir atitinkamos kraštinės yra vienodos. Atitinkami dviejų panašių trikampių kampai turi būti lygūs. Panašūs trikampiai gali turėti skirtingus atitinkamus trikampio kraštinių ilgius, tačiau atitinkamų kraštinių ilgių santykis turi būti vienodas.

Kai du trikampiai yra panašūs, tai reiškia, kad:

java skaitiklis

• Visos atitinkamų trikampių kampų poros yra lygios.
• Visos atitinkamų trikampio kraštinių poros yra proporcingos.

Simbolis ∼ naudojamas panašių trikampių panašumui pavaizduoti. Taigi, kai du trikampiai yra panašūs, rašome kaip △ABC ∼ △DEF.

Panašių trikampių pavyzdžiai

Įvairūs panašių trikampių pavyzdžiai:

• Jei imsime du trikampius, kurių kraštinės yra vienodos, tai jie yra panašūs trikampiai.
• Vėliavos stiebai ir jų šešėliai yra panašūs trikampiai.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pateikti trikampiai yra panašūs ir mes juos vaizduojame kaip △ABC ∼ △PQR.

Pagrindinė proporcingumo teorema (Thaleso teorema)

Pagrindinė proporcingumo teorema, taip pat žinoma kaip Thaleso teorema, yra pagrindinė geometrijos sąvoka, susijusi su trikampių panašumu. Jame teigiama, kad jei linija brėžiama lygiagrečiai vienai trikampio kraštinei, ji proporcingai padalija kitas dvi kraštines. Paprasčiau tariant, jei tiesė, lygiagreti vienai trikampio kraštinei, kerta kitas dvi kraštines, ji proporcingai padalija šias kraštines.

Matematiškai, jei tiesė DE yra lygiagreti vienai trikampio ABC kraštinei, kertanti kraštines AB ir AC atitinkamai taškuose D ir E, tada pagal pagrindinę proporcingumo teoremą:

BD/DA = CE/HER

Ši teorema yra trikampių, sudarytų iš lygiagrečios tiesės ir pradinio trikampio kraštinių, panašumo pasekmė. Tiksliau, trikampiai ADE ir ABC, taip pat trikampiai ADC ir AEB yra panašūs, nes atitinkami kampai yra lygūs. Vadinasi, panašių trikampių atitinkamų kraštinių santykiai yra lygūs, todėl susidaro proporcingumo ryšys, aprašytas pagrindine proporcingumo teorema.

Pagrindinė proporcingumo teorema plačiai naudojama geometrijoje ir trigonometrijoje sprendžiant įvairias problemas, susijusias su lygiagrečiomis tiesėmis ir trikampiais. Tai yra pagrindinis principas norint suprasti panašių trikampių savybes ir ryšius tarp jų atitinkamų kraštinių ir kampų. Be to, jis sudaro pagrindą pažangesnėms geometrijos koncepcijoms, tokioms kaip lygiagrečių linijų teorema ir pritaikymas įvairiose geometrinėse konstrukcijose ir įrodymuose.

Panašių trikampių kriterijai

Jei du trikampiai yra panašūs, jie turi atitikti vieną iš šių taisyklių:

• Dvi atitinkamų kampų poros yra lygios. (AA taisyklė)
• Trys poros atitinkamų kraštinių yra proporcingos. (SSS taisyklė)
• Dvi poros atitinkamų kraštinių yra proporcingos ir atitinkami kampai tarp jų yra lygūs. (SAS taisyklė)

Skaitykite išsamiai: Panašių trikampių kriterijai

Panašių trikampių formulė

Paskutiniame skyriuje mes ištyrėme dvi sąlygas, pagal kurias galime patikrinti, ar pateikti trikampiai yra panašūs, ar ne. Sąlygos yra tada, kai du trikampiai yra panašūs; atitinkami jų kampai yra lygūs arba atitinkamos kraštinės yra proporcingos. Naudodami bet kurią sąlygą galime įrodyti, kad △PQR ir △XYZ yra panašūs iš toliau pateikto panašių trikampių formulių rinkinio.

Panašių trikampių geometrijoje formulė

△PQR ir △XYZ, jei

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Aukščiau pateikti du trikampiai yra panašūs, ty △PQR ∼ △XYZ.

Panašios trikampio taisyklės

Panašumo teoremos padeda mums nustatyti, ar abu trikampiai yra panašūs, ar ne. Kai neturime kampų ar trikampių kraštinių, naudojame panašumo teoremas.

Yra trys pagrindiniai panašumo taisyklių tipai, kaip nurodyta toliau:

• AA (arba AAA) arba kampo ir kampo panašumo teorema
• SAS arba šoninio kampo ir šono panašumo teorema
• SSS arba Side-Side-Side panašumo teorema

Kampo kampo (AA) arba AAA panašumo teorema

AA panašumo kriterijus teigia, kad jei bet kurie du trikampio kampai yra atitinkamai lygūs bet kuriems dviem kito trikampio kampams, tai jie turi būti panašūs trikampiai. AA panašumo taisyklę nesunku taikyti, kai žinome tik kampų matą ir neįsivaizduojame apie trikampio kraštinių ilgį.

Toliau pateiktame paveikslėlyje, jei žinoma, kad ∠B = ∠G ir ∠C = ∠F:

Ir galime pasakyti, kad pagal AA panašumo kriterijų △ABC ir △EGF yra panašūs arba △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF ir ∠A = ∠E.

Šoninis kampas ir SAS panašumo teorema

Pagal SAS panašumo teoremą, jei kurios nors dvi pirmojo trikampio kraštinės yra tiksliai proporcingos dviem antrojo trikampio kraštinėms, o kampas, sudarytas iš šių dviejų atskirų trikampių kraštinių, yra lygus, tada jie turi būti panašūs trikampiai. Ši taisyklė paprastai taikoma, kai žinome tik dviejų kraštinių matą ir kampą, susidarantį tarp šių dviejų kraštinių abiejuose trikampiuose.

Toliau pateiktame paveikslėlyje, jei žinoma, kad AB/DE = AC/DF ir ∠A = ∠D

Ir galime pasakyti, kad pagal SAS panašumo kriterijų △ABC ir △DEF yra panašūs arba △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side arba SSS panašumo teorema

Pagal SSS panašumo teoremą, du trikampiai bus panašūs vienas į kitą, jei atitinkamas abiejų trikampių kraštinių santykis yra lygus. Šis kriterijus dažniausiai naudojamas, kai turime tik trikampio kraštinių matą ir turime mažiau informacijos apie trikampio kampus.

Toliau pateiktame paveikslėlyje, jei žinoma, kad PQ/ED = PR/EF = QR/DF

Ir galime pasakyti, kad pagal SSS panašumo kriterijų △PQR ir △EDF yra panašūs arba △PQR ∼ △EDF.

Panašių trikampių savybės

Panašūs trikampiai pasižymi įvairiomis savybėmis, kurios plačiai naudojamos sprendžiant įvairius geometrinius uždavinius. Kai kurios bendros panašaus trikampio savybės:

• Panašių trikampių forma yra fiksuota, tačiau jų dydžiai gali skirtis.
• Panašių trikampių atitinkami kampai yra lygūs.
• Panašių trikampių atitinkamos kraštinės yra bendrais santykiais.
• Panašių trikampių plotų santykis lygus juos atitinkančios kraštinės santykio kvadratui.

Kaip rasti panašius trikampius?

Du duoti trikampiai gali būti įrodyti kaip panašūs trikampiai, naudojant aukščiau pateiktas teoremas. Galime atlikti toliau nurodytus veiksmus, kad patikrintume, ar pateikti trikampiai yra panašūs, ar ne:

1 žingsnis: Užsirašykite nurodytus trikampių matmenis (atitinkamas kraštines arba atitinkamus kampus).

2 žingsnis: Patikrinkite, ar šie matmenys atitinka panašių trikampių teoremų (AA, SSS, SAS) sąlygas.

3 veiksmas : Duotieji trikampiai, jei tenkina bet kurią panašumo teoremą, gali būti pavaizduoti naudojant ∼ panašumui pažymėti.

Tai galima geriau suprasti naudojant šį pavyzdį:

Pavyzdys: patikrinkite, ar △ABC ir △PQR yra panašūs trikampiai, ar ne naudokite duotus duomenis: ∠A = 65°, ∠B = 70° ir ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Naudodami nurodytą kampų matavimą, negalime daryti išvados, ar pateikti trikampiai atitinka AA panašumo kriterijų, ar ne. Raskime trečiojo kampo matą ir įvertinkime jį.

Mes žinome, kad naudojant trikampio kampų sumos savybę, ∠C △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

Panašiai ∠Q △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Todėl galime daryti išvadą, kad △ABC ir △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P ir ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Panašių trikampių plotas – teorema

Panaši trikampio ploto teorema teigia, kad dviejų panašių trikampių trikampių plotų santykis yra proporcingas jų atitinkamų kraštinių santykio kvadratui. Tarkime, kad gauname du panašius trikampius ΔABC ir ΔPQR tada

Pagal panašią trikampio teoremą:

(ΔABC plotas) / (ΔPQR plotas) = ​​(AB / PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

Skirtumas tarp panašių trikampių ir lygiaverčių trikampių

Panašūs trikampiai ir sutampantys trikampiai yra dviejų tipų trikampiai, plačiai naudojami geometrijoje sprendžiant įvairias problemas. Kiekvienas trikampio tipas turi skirtingas savybes, o pagrindinis skirtumas tarp jų yra aptartas toliau pateiktoje lentelėje.

Panašių trikampių taikymas

Įvairūs panašaus trikampio pritaikymai, kuriuos matome realiame gyvenime, yra

• Įvairių objektų šešėlis ir aukštis apskaičiuojami naudojant panašių trikampių sąvoką.
• Žemėlapio mastelis naudoja panašaus trikampio koncepciją.
• Fotografijos įrenginiai naudoja panašias trikampio savybes įvairiems vaizdams užfiksuoti.
• Modelių kūrimas naudoja panašių trikampių sąvoką.
• Navigacija ir trigonometrija taip pat naudoja panašų trikampio metodą įvairioms problemoms spręsti ir kt.

Svarbios pastabos apie panašius trikampius:

• Panašių trikampių plotų santykis lygus atitinkamų jų kraštinių santykio kvadratui.
• Visi sutampantys trikampiai yra panašūs, tačiau visi panašūs trikampiai nebūtinai gali būti sutapę.
• ši ' ~ “ simbolis naudojamas panašiems trikampiams žymėti.

Išspręsti klausimai apie panašius trikampius

1 klausimas: pateiktame 1 paveiksle DE || pr. Kr. Jei AD = 2,5 cm, DB = 3 cm ir AE = 3,75 cm. Rasti AC?

Sprendimas:

△ABC, DE || B.C.

AD/DB = AE/EC (pagal Thaleso teoremą)

2,5/3 = 3,75/x, kur EC = x cm

(3 × 3,75) / 2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

Vadinasi, AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

2 klausimas: 1 paveiksle DE || pr. Kr. Jei AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm ir AC = 9 cm. Rasti AE?

Sprendimas:

Atnaujinkite sql su prisijungimu

Tegu AE = x cm.

△ABC, DE || B.C.

Pagal Talio teoremą turime

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7 × 9) / 6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Taigi AE = 2,25 cm

3 klausimas: Įrodykite, kad tiesė, nubrėžta per vienos trikampio kraštinės vidurio tašką (1 pav.), lygiagreti kitai kraštinei, perkerta trečiąją kraštinę.

Sprendimas:

Duota ΔΑΒC, kurioje D yra AB ir DE || vidurio taškas BC, susitikimas AC prie E.

ĮRODYTI AE = EC.

Įrodymas: Nuo DE || BC, pagal Thaleso teoremą, turime:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, nurodyta)

AE/EC = 1

AE = EC

4 klausimas: pateiktame 2 paveiksle AD/DB = AE/EC ir ∠ADE = ∠ACB. Įrodykite, kad ABC yra lygiašonis trikampis.

Sprendimas:

Mes turime AD/DB = AE/EC DE || Kr. [Pagal Talio teoremą]

∠ADE = ∠ABC (atitinka ∠s)

Tačiau ∠ADE = ∠ACB (duota).

Vadinasi, ∠ABC = ∠ACB.

Taigi, AB = AC [kraštinės, priešingos vienodiems kampams].

Vadinasi, △ABC yra lygiašonis trikampis.

5 klausimas: jei D ir E yra taškai atitinkamai △ABC kraštinėse AB ir AC (2 pav.), kad AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm ir AE = 1,8 cm, parodykite, kad DE | | pr. Kr.

Sprendimas:

Pateikta, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm ir AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 ir AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Taigi, priešingai Talio teoremai, DE || pr. Kr.

6 klausimas: Įrodykite, kad atkarpa, jungianti bet kurių dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus (2 pav.), yra lygiagreti trečiajai kraštinei.

Sprendimas:

△ABC, kur D ir E yra atitinkamai AB ir AC vidurio taškai.

Kadangi D ir E yra atitinkamai AB ir AC vidurio taškai, turime:

AD = DB ir AE = EC.

AD/DB = AE/EC (kiekvienas lygus 1)

Taigi, priešingai Talio teoremai, DE || pr. Kr

Svarbios su matematika susijusios nuorodos:

• Kas yra paprastas susidomėjimas
• Pralaimėjimo formulė
• Kampo sumos savybė
• Dalijimasis iš 11
• Juostinė diagrama
• Trigonometrijos panaudojimas
• Natūralių skaičių sąrašas
• Pitagoro modelis
• Matematikos projektas 9 klasei

Praktiniai klausimai Panašūs trikampiai

Q1. Dviejuose panašiuose trikampiuose △ABC ir △ADE, jei DE || BC ir AD = 3 cm, AB = 8 cm ir AC = 6 cm. Raskite AE.

Q2. Dviejuose panašiuose trikampiuose △ABC ir △PQR, jei QR || BC ir PQ = 2 cm, AB = 12 cm ir AC = 9 cm. Raskite PR.

Q3. Dviejuose panašiuose trikampiuose ΔABC ir ΔAPQ kraštinių ilgis yra AP = 9 cm, PB = 12 cm ir BC = 24 cm. Raskite ΔABC ir ΔAPQ plotų santykį.

4 klausimas. Dviejuose panašiuose trikampiuose ΔABC ir ΔAPQ kraštinių ilgis yra AP = 3 cm , PB = 4 cm ir BC = 8 cm. Raskite ΔABC ir ΔAPQ plotų santykį.

Santrauka – panašūs trikampiai

Panašūs trikampiai yra geometrinės figūros, kurios turi tą pačią formą, bet skiriasi dydžiu, pasižymi vienodais atitinkamais kampais ir proporcingomis atitinkamomis kraštinėmis. Pagrindinės teoremos, tokios kaip kampas-kampas (AA), šoninis kampas-pusė (SAS) ir šoninė pusė-pusė (SSS), nustato trikampio panašumo kriterijus.

Šie principai yra pagrindiniai tokiose srityse kaip inžinerija, kompiuterinė grafika ir architektūra, nes jie gali išlaikyti formos vientisumą keičiant mastelį. Thaleso teorema arba pagrindinė proporcingumo teorema iliustruoja, kaip tiesė, lygiagreti vienai trikampio kraštinei, proporcingai padalija kitas dvi, dar labiau parodydama trikampių panašumo sampratą.

Panašūs trikampiai yra labai svarbūs praktiniam naudojimui, pradedant nuo aukščių ir atstumų skaičiavimo navigacijos srityje iki optimizavimo technologijų ir statybos srityse, parodant platų jų svarbą tiek akademiniame, tiek realiame kontekste.

Panašūs trikampiai – DUK

Kas yra panašūs 10 klasės trikampiai?

Panašūs trikampiai yra trikampiai, kurių visi kampai buvo lygūs, o jų kraštinės yra vienodos. Jie turi panašią formą, bet ne panašią sritį.

Kas yra panašių trikampių formulės?

Panašios trikampių formulės yra formulės, kurios nurodo, ar du trikampiai yra panašūs, ar ne. Dviejų trikampių △ABC ir △XYZ atveju panaši trikampių formulė yra:

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y ir ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Kuris simbolis naudojamas panašiems trikampiams pavaizduoti?

Panašūs trikampiai vaizduojami naudojant simbolį „~“. Jei du trikampiai △ABC ir △XYZ yra panašūs, mes juos vaizduojame kaip △ABC ~ △XYZ, jis skaitomas kaip trikampis ABC, panašus į trikampį XYZ.

Kokios yra 3 panašios trikampio teoremos?

Mes galime lengvai įrodyti, kad du trikampiai yra panašūs, naudodami tris trikampių teoremą, kurios yra

• AA (arba AAA) arba kampo ir kampo panašumo teorema
• SAS arba šoninio kampo ir šono panašumo teorema
• SSS arba Side-Side-Side panašumo teorema

Kokios yra panašių trikampių savybės?

Svarbios panašaus trikampio savybės:

• Panašūs trikampiai turi fiksuotas formas, tačiau jų dydžiai gali skirtis.
• Atitinkami kampai yra lygūs panašiame trikampyje.
• Panašaus trikampio atitinkamos kraštinės yra bendrais santykiais.

Kaip sužinoti, ar du trikampiai yra panašūs?

Jei visi trikampio kampai yra lygūs, galime lengvai pasakyti, kad trikampiai yra panašūs.

Kurie trikampiai visada panašūs?

Trikampis, kuris visada yra panašus, yra lygiakraštis trikampis. Kadangi visi lygiakraščių trikampių kampai visada yra 60 laipsnių, bet kurie du lygiakraščiai trikampiai visada yra panašūs.

Kas yra panašių trikampių sritis?

Dviejų panašių trikampių plotų santykis visada lygus jų kraštinių kvadratų santykiui. Dviejų trikampių △ABC ir △XYZ atveju galime pasakyti, kad

• sritis △ ABC / sritis △ XYZ = (AB / XY)²

Kas yra panašus trikampio kriterijus?

Panašūs trikampio kriterijai yra kriterijai, pagal kuriuos galime paskelbti tris trikampius panašiais trikampiais ir šie trys kriterijai yra:

• AAA kriterijai (kampas-kampas-kriterijai)
• SAS kriterijai (šoninio kampo ir šono kriterijai)
• SSS kriterijai (šoniniai-šaliniai kriterijai)

Kas yra panašių trikampių tėvas?

Euklidas, senovės graikų matematikas, dažnai vadinamas geometrijos tėvu, savo darbe „Elementai“ pateikė pagrindinius principus, kaip suprasti panašius trikampius.

saugomų programų valdymas

Ar panašūs trikampiai yra proporcingi?

Taip, panašūs trikampiai yra proporcingi. Tai reiškia, kad panašių trikampių atitinkamos kraštinės yra proporcingos, o tai reiškia, kad panašių trikampių atitinkamų kraštinių santykis išlieka pastovus.

Kurie trikampiai visada yra panašūs?

Trikampiai, turintys tuos pačius tris kampus, visada yra panašūs. Tai pagrindinė savybė, žinoma kaip kampo ir kampo (AA) panašumo kriterijus.

Ar visi stačiakampiai trikampiai yra panašūs?

Ne, ne visi stačiakampiai trikampiai yra panašūs. Nors stačiakampiai trikampiai su tais pačiais smailiais kampais yra panašūs, hipotenuzės ilgis ir kraštinių ilgių santykis gali skirtis, todėl stačiakampiai trikampiai nepanašūs.

Koks yra dviejų panašių trikampių santykis?

Bet kurių dviejų atitinkamų kraštinių santykis panašiuose trikampiuose išlieka pastovus. Tai reiškia, kad jei imsite atitinkamas panašių trikampių kraštines ir suformuosite santykį, rezultatas visada bus toks pat, nepaisant pasirinkto konkretaus kraštinių ilgio.