Funkcijos matematikoje gali būti laikomi pardavimo automatais. Atsižvelgdami į pinigus įvesties forma, jie mainais duoda keletą skardinių ar sausainių. Panašiai funkcijos paima tam tikrus įvesties skaičius ir suteikia mums tam tikrą išvestį. Galima sakyti, kad realiame gyvenime viską galima suformuluoti ir išspręsti funkcijų pagalba. Nuo pastatų projektavimo ir architektūros iki mega dangoraižių – beveik visko realiame gyvenime matematinis modelis reikalauja funkcijų, todėl negalima išvengti, kad funkcijos mūsų gyvenime turi milžinišką reikšmę. Domenas ir diapazonas yra vienas aspektų, per kuriuos galima apibūdinti funkciją.
Pavyzdžiui: Tarkime, ant mašinos viršaus parašyta, kad ką nors nusipirkti galima naudoti tik 20 ir 50 rublių kupiūras. O jei kas nors naudos 10 rupijų banknotus? Mašina neduos jokios produkcijos. Taigi, domenas parodo, kokias įvestis galime turėti funkcijoje. Šiuo atveju 20 rupijų ir 50 rupijų banknotai yra pardavimo automato sritis. Panašiai nesvarbu, kiek pinigų žmogus įdeda į aparatą, jis niekada iš jo negaus sumuštinių. Taigi, čia atsiranda diapazono koncepcija, diapazonas yra galimi išvesties įrenginiai, kuriuos gali suteikti mašina.
Funkcijos diapazonas ir domenas
Funkcijos domenas:
Domenas yra visos reikšmės, kurios gali būti įtrauktos į funkciją, kuriai ji suteikia tinkamą išvestį. Tai visų galimų funkcijos įvesčių rinkinys.
Pavyzdžiui: Žemiau esančiame paveikslėlyje f(x) = x2. Visų įėjimų rinkinys vadinamas domenu, o visų išėjimų rinkinys laikomas diapazonu.
Kaip rasti funkcijos domeną?
Funkcijos srityje turi būti visi realieji skaičiai, išskyrus taškus, kuriuose vardiklis tampa nuliu, o terminai po kvadratinėmis šaknimis tampa neigiami. Norėdami rasti domeną, pabandykite rasti taškus arba įvesties reikšmes, kuriose funkcija neapibrėžta.
Klausimas 1: Raskite domeną
Atsakymas:
Ši funkcija gali duoti neapibrėžtą išvestį, kai x = 1. Taigi, domenas yra R – {1} .
2 klausimas: Raskite šios funkcijos domeną:
Atsakymas :
Svarbu, kad funkcija nebūtų nei Infinity, nei Undefined, todėl turime pamatyti, kokios domeno reikšmės gali paversti funkciją Undefined arba Infinity.
Pažvelgus į vardiklį, aišku, kad reikšmės 3 ir 5 sudaro vardiklį 0, taigi, funkcija begalinė, o tai nėra pageidautina.
Todėl reikšmės x=3 ir x=5 čia negali būti pateikiamos.
eilutę palyginkite c#Domenas bus R – {3,5}.
3 klausimas: suraskite domeno reikšmes, kurių funkcijos Y = (2x 2 -1) ir Z= (1-3x) yra lygūs.
Atsakymas :
Dviejų funkcijų prilyginimas:
2 x2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x+2) = 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Todėl domeno reikšmės yra {1/2, -2}.
Funkcijos diapazonas
Funkcijos diapazonas yra visų galimų jos išėjimų rinkinys.
Pavyzdys: Panagrinėkime funkciją ƒ: A⇢A, kur A = {1,2,3,4}.
Rinkinio domeno elementai vadinami išankstiniais vaizdais, o rinkinio Bendrojo domeno elementai, susieti su išankstiniais vaizdais, vadinami vaizdais. Funkcijos diapazonas yra visų domeno elementų vaizdų rinkinys. Šiame pavyzdyje funkcijos diapazonas yra {2,3}.
Kaip rasti funkcijos diapazoną?
Diapazonas yra funkcijos išvesties reikšmių sklaida. Jei sugebame apskaičiuoti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes, galime susidaryti vaizdą apie funkcijos diapazoną.
1 klausimas: raskite diapazoną. f(x) =
Atsakymas:
Kadangi funkcija yra kvadratinė šaknis, ji niekada negali pateikti neigiamų verčių kaip išvesties. Taigi, minimali reikšmė gali būti tik 0, kai x = 1. Didžiausia reikšmė gali pakilti iki begalybės, kai nuolat didiname x.
Taigi funkcijos diapazonas yra [0,∞).
2 klausimas: funkcijos ƒ sritis, kurią apibrėžia f(x) =
Atsakymas:
Duota, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Renkantis domeno rinkinį, reikia užtikrinti du dalykus:
- Vardiklis niekada nepasiekia nulio.
- Terminas, esantis kvadratinės šaknies viduje, netampa neigiamas.
Išplėskime, kas parašyta kvadratinės šaknies viduje.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} Šiuo atveju negalime pateikti nė vienos iš reikšmių, x ≥ 0 arba x <0.
Vadinasi, f neapibrėžtas jokiam x ∈ R. Taigi sritis yra tuščia aibė.
Domenas ir kvadratinių funkcijų diapazonas
Kvadratinės funkcijos yra f(x) = ax formos funkcijos2+ bx + c, kur a, b ir c yra konstantos, o a ≠ 0. Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolės pavidalu. Iš esmės tai yra išlenkta forma, atsiverianti aukštyn arba žemyn.
Pažiūrėkime, kaip pavaizduoti kvadratines funkcijas,
Taigi, mūsų kvadratinėje funkcijoje
- jei a> 0, parabolė atsiveria į viršų.
- jei <0, parabolė atsidaro žemyn.
Dabar viršūnė yra aukščiausias arba žemiausias mūsų kreivės taškas, priklausomai nuo kvadratinės funkcijos grafiko. Rasti bendrosios kvadratinės išraiškos grafiko viršūnę.
Standartinėje kvadratinėje formoje viršūnė pateikiama pagal
Pastaba: Kiekviena kreivė yra simetriška aplink vertikalią ašį.
Pažvelkime į keletą pavyzdžių,
Klausimas: Nubraižykite f(x) = 2x grafiką 2 + 4x + 2.
Atsakymas:
Palyginus šią lygtį su bendrąja kvadratinės funkcijos lygtimi. a = 2, b = -4 ir c = 2.
Kadangi a> 0, ši parabolė atsivers aukštyn.
- Viršūnės x reikšmė =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Viršūnės y reikšmė = 2 (-1)2+ 4 (-1) + 2 = 0
Taigi, viršūnė yra (-1,0). Kadangi parabolė atsidaro į viršų, tai turi būti mažiausia funkcijos reikšmė.
Taškas, kuriame grafikas kerta y ašį, yra (0,2).
Kvadratinių funkcijų diapazoną ir domeną galima lengvai sužinoti nubraižant grafiką. Ne visada būtina braižyti visą grafiką, nes diapazonui turėtų būti žinoma tik parabolės kryptis (aukštyn arba žemyn) ir parabolės vertė viršūnėje. Vertė viršūnėje visada yra minimali arba didžiausia, priklausomai nuo parabolės krypties. Tokių funkcijų sritis visada yra sveikieji realieji skaičiai, nes visur yra apibrėžti t.y.; nėra įvesties vertės, dėl kurios jie galėtų pateikti neapibrėžtą išvestį.
Pažvelkime į kitą pavyzdį, susijusį su parabolės domenu ir diapazonu.
Klausimas: Nubraižykite grafiką ir suraskite duotosios funkcijos sritį ir diapazoną, f(x) = -x 2 + 4.
Atsakymas:
Kadangi a = -1. Parabolė atsivers žemyn t.y.; minimalios reikšmės nebus, ji tęsis iki begalybės. Bet bus didžiausia vertė, kuri atsiras viršūnėje.
Norint rasti viršūnės padėtį, galima naudoti ankstesnę formulę. Viršūnė yra padėtyje (0,4).
Vertė viršūnėje (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Taigi, didžiausia vertė yra 4, o mažiausia vertė yra neigiama iš begalybės.
Funkcijos diapazonas – (-∞, 4] ir domenas yra R .
