Funkcija vienas prieš vieną arba „One-One“ funkcija yra viena iš funkcijų tipai apibrėžiamas per domeną ir kodomeną ir apibūdina konkretų ryšį tarp domeno ir kodomeno. Funkcija „Vienas prieš vieną“ taip pat vadinama injekcine funkcija. Funkcija vienas prieš vieną yra matematinė funkcija, kur kiekvienas elementas domene susieja su unikaliu kodomeno elementu .

Šiame straipsnyje išsamiai nagrinėjamos funkcijos „Viena su viena“ arba „Viena viena“ sąvoka, įskaitant jos apibrėžimą ir pavyzdžius, kurie padės lengvai suprasti šią sąvoką. Taip pat aptarsime kai kurias pavyzdines problemas ir pateiksime keletą praktinių problemų, kurias galėsite išspręsti. Taigi, sužinokime apie šią svarbią matematikos sąvoką, žinomą kaip funkcija „Vienas prieš vieną“.

Turinys

• Kas yra „vienas su vienu“ funkcija?
• „Vienas su vienu“ funkcijų pavyzdžiai
• „Vienas su vienu“ funkcijų savybės
• Funkcija „Vienas prieš vieną“ ir „Įjungta“ funkcija
• Išspręsti funkcijos „vienas su vienu“ pavyzdžiai

Kas yra „vienas su vienu“ funkcija?

„Vienas su vienu“ funkcija, taip pat žinoma kaip injekcinė funkcija, yra ta, kai skirtingi A elementai turi skirtingus elementus, susijusius su B, arba skirtingi A elementai turi skirtingus B vaizdus.

Jei funkcijai yra skirtingi vaizdai, tai reiškia, kad tai įmanoma tik vienas su vienu, jei išankstiniai vaizdai buvo skirtingi, jei B rinkinys turi skirtingus elementus, tai reiškia, kad tai įmanoma tik tada, kai rinkinyje yra skirtingi elementai, kuriems jie buvo išankstiniai vaizdai.

amplitudės moduliacija

Funkcijos „Vienas prieš vieną“ apibrėžimas

Funkcija „f“ iš aibės „A“ į rinkinį „B“ yra „vienas su vienu“, jei nė vienas „A“ elementas nėra susietas su tuo pačiu „B“ elementu.

Panagrinėkime šias dvi diagramas. A diagramoje suprantame, kad 10 žemėlapių su 1, 20 žemėlapių su 2 ir 30 žemėlapių su 3.

Tačiau diagramoje B aišku, kad 10 ir 30 atvaizduoja 3, o 20 žemėlapių 1.

Kadangi domene turime elementų, atitinkančių skirtingas reikšmes kiekviename A diagramos domene, funkcija yra vienas su vienu, todėl mūsų diagrama B nėra vienas prieš vieną.

Tai galima išreikšti matematiškai kaip

f(a) = f(b) ⇒ a = b

„Vienas su vienu“ funkcijų pavyzdys

• Tapatybės funkcija: Tapatybės funkcija yra paprastas funkcijos vienas su vienu pavyzdys. Jis paima įvestį ir grąžina tą pačią reikšmę kaip ir išvestis. Bet kurio realaus skaičiaus x tapatybės funkcija apibrėžiama taip:

f(x) = x

Kiekviena atskira įvestis x atitinka atskirą išvestį f(x), todėl tai yra funkcija „vienas su vienu“.

• Linijinė funkcija: Tiesinė funkcija yra ta, kurios didžiausia kintamojo galia yra 1. Pavyzdžiui:

f(x) = 2x + 3

Tai funkcija vienas su vienu, nes nesvarbu, kokią x reikšmę pasirinksite, gausite unikalią f(x) reikšmę.

• Absoliučios vertės funkcija: Absoliučios reikšmės funkcija f(x)=∣x∣ taip pat yra funkcija vienas su vienu. Bet kurio realaus skaičiaus x absoliučios reikšmės funkcija grąžina neneigiamą reikšmę, o skirtingos x reikšmės duos skirtingas absoliučias reikšmes.

Įrodykime vieną iš tokių funkcijos „vienas su vienu“ pavyzdžių.

Pavyzdys: Įrodykite, kad funkcija f(x) = 1/(x+2), x≠2 yra vienas su vienu.

Sprendimas:

Pagal funkciją vienas su vienu mes tai žinome

f(a) = f(b)

pakeiskite a į x ir x į b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

kryžmiškai padauginkite aukščiau pateiktą lygtį

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Dabar, kadangi a = b funkcija, sakoma, kad yra funkcija vienas su vienu.

Savybės „Vienas su vienu“ funkcijos

Laikykime, kad f ir g yra dvi funkcijos „vienas su vienu“, o savybės yra tokios:

• Jei f ir g yra vienas prieš vieną, tada f ∘ g atitinka injektyvumą.
• Jei g ∘ f yra vienas prieš vieną, tai funkcija f yra vienas prieš vieną, bet funkcija g gali ir nebūti.
• f: X → Y yra vienas-vienas, tada ir tik tada, jei, atsižvelgiant į bet kokias funkcijas g, h : P → X, kai f ∘ g = f ∘ h, tada g = h. Kitaip tariant, funkcijos vienas-vienas yra būtent monomorfizmas kategorijų aibių rinkinyje.
• Jei f: X → Y yra vienas ir P yra X poaibis, tada f^-1(f(A)) = P. Taigi P galima gauti iš jo vaizdo f(P).
• Jei f: X → Y yra vienas, o P ir Q yra X poaibiai, tada f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Jei ir X, ir Y yra apriboti tuo pačiu elementų skaičiumi, tada f: X → Y yra vienetas, tada ir tik tada, kai f yra surjekcinė arba į funkciją.

Funkcijos „vienas su vienu“ grafikas

Pažiūrėkime vieną iš funkcijos „vienas su vienu“ grafiko

Aukščiau pateiktas funkcijos f(x)= √x grafikas rodo funkcijos „vienas su vienu“ grafinį vaizdą.

Horizontalios linijos testas

Funkcija yra vienas su vienu, jei kiekviena horizontali linija nekerta grafiko daugiau nei viename taške.

Kaip pavyzdį naudokime tiesinę funkciją. Pavadinkime jį f(x) , taigi f(x) turi atvirkštinę funkciją. Norėdami nustatyti, ar f(x) turi atvirkštinę funkciją, turite parodyti, kad tai funkcija vienas su vienu, turite parodyti, kad ji išlaiko horizontalios linijos testą. Taigi, jei nubrėžiame horizontalią liniją ir jei f(x) liečia horizontalią liniją daugiau nei vieną kartą, tai reiškia, kad f(x) nėra funkcija vienas su vienu ir ji neturi atvirkštinės funkcijos.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje jis kerta horizontalią liniją tik viename taške. Taigi f (x) yra funkcija vienas su vienu, o tai reiškia, kad ji turi atvirkštinę funkciją.

Atvirkštinė funkcija „vienas su vienu“.

Tegul f yra funkcija vienas su vienu su domenu A ir diapazonu B. Tada atvirkštinė f yra funkcija su domenu B ir diapazonu A, apibrėžta f^-1(y) =x tada ir tik tada, jei f(x)=y bet kuriam y iš B. Visada atminkite, kad funkcija turi atvirkštinę reikšmę tada ir tik tada, kai ji yra „vienas su vienu“. Funkcija yra vienas su vienu, jei didžiausias eksponentas yra nelyginis skaičius. Bet jei didžiausias skaičius yra lyginis skaičius arba absoliuti reikšmė, tai nėra funkcija „vienas su vienu“.

Pavyzdys: f(x)=3x+2 raskite funkcijos atvirkštinę vertę

Sprendimas:

parašykite funkciją y=f(x) forma

⇒ y=3x+2

leidžia keistis y ir x kintamaisiais

⇒ x=3y+2

išspręskite y pagal x

⇒ x-2=3m

lygtį padalinkite iš 3

⇒ (x-2)/3=3m/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Funkcija „Vienas prieš vieną“ ir „Įjungta“ funkcija

Pagrindiniai skirtumai tarp „One to One“ ir „Onto Functions“ yra išvardyti šioje lentelėje:

Toliau pateiktoje iliustracijoje pateikiamas aiškus skirtumas tarp „vieno“ ir „onto“ funkcijos:

Skaityti daugiau,

• Funkcijos
• Funkcijų tipai
• Ryšys ir funkcija

Išspręstos funkcijos „vienas su vienu“.

Išspręskime keletą problemų, kad iliustruotų „vienas su vienu“ funkcijas:

1 uždavinys: nustatykite, ar ši funkcija yra vienas su vienu: f(x) = 3x – 1

Sprendimas:

1 sprendimas: norėdami patikrinti, ar tai vienas su vienu, turime parodyti, kad dvi skirtingos x reikšmės nėra susietos su ta pačia y verte.

Tarkime, f(a) = f(b), kur a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Kadangi vienintelis būdas f(a) = f(b) yra tada, kai a = b, ši funkcija iš tiesų yra vienas su vienu.

2 uždavinys: nustatykite, ar ši funkcija yra vienas su vienu: g(x) = x ²

Sprendimas:

2 sprendimas: naudosime horizontalios linijos testą, pavaizduodami funkciją. Jei kuri nors horizontali linija kerta grafiką daugiau nei vieną kartą, tai nėra vienas su vienu.

G(x) = x^2 grafikas yra parabolė, atsiverianti į viršų. Bet kuri horizontali linija kerta grafiką tik vieną kartą, todėl ši funkcija nėra „vienas su vienu“.

Praktikuokite problemas, susijusias su funkcijomis „vienas su vienu“.

1 problema: Nustatykite, ar ši funkcija yra „vienas su vienu“:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²– 1
• h(x) =³√x

2 problema: Raskite funkciją, kuri yra vienas su vienu nuo realiųjų skaičių aibės iki realiųjų skaičių aibės.

3 problema: Duota funkcija g(x) = x²+ 1, nustatykite, ar jis yra vienas su vienu visame domene.

4 problema: Apsvarstykite funkciją h(x) = e^x. Ar tai „vienas su vienu“ funkcija?

5 problema: Raskite f(x) = 4x – 7 atvirkštinę funkciją ir nustatykite jos sritį.

6 problema: Nustatykite, ar funkcija p(x) = √x yra vienas su vienu.

7 problema: Jei q(x) = x/2, raskite funkcijos sritį ir diapazoną.

8 problema: Patikrinkite, ar funkcija r(x) = sin (x) yra vienas su vienu intervale [0, π].

9 problema: Apsvarstykite funkciją s(x) = |x|. Ar tai „vienas su vienu“ funkcija?

10 problema: Nustatykite, ar funkcija t(x) = 1/x yra vienas su vienu, ir raskite jos sritį.

Funkcijos „Vienas prieš vieną“ – DUK

1. Kas yra funkcija „vienas su vienu“?

Funkcija „vienas su vienu“ yra matematinė funkcija, susiejanti kiekvieną jo srities elementą su unikaliu jo kodomeno elementu. Kitaip tariant, jis nesusieja dviejų skirtingų domeno elementų su tuo pačiu elementu kodomene.

2. Kaip nustatyti, ar funkcija yra „vienas su vienu“?

Galite naudoti horizontalios linijos testą. Jei nė viena horizontali linija nekerta funkcijos grafiko daugiau nei vieną kartą, tai yra funkcija vienas su vienu.

3. Kuo skiriasi funkcija „vienas su vienu“ nuo funkcijos „onto“?

Funkcija „vienas su vienu“ užtikrina, kad jokie du skirtingi domeno elementai nesusietų su tuo pačiu kodomeno elementu, o funkcija „onto“, dar vadinama surjektyvine funkcija, užtikrina, kad kiekvienas kodomeno elementas būtų susietas su bent vienas elementas domene.

4. Ar visos tiesinės funkcijos yra viena su viena?

Ne, ne visos tiesinės funkcijos yra „vienas su vienu“. Pavyzdžiui, f(x) = 2x yra vienas su vienu, bet g(x) = 2x + 1 nėra, nes jis susieja dvi skirtingas x reikšmes su ta pačia y reikšme (pvz., g(1) = 3 ir g(2) = 5).