Tarkime, kad yra du sudėtiniai teiginiai, X ir Y, kurie bus žinomi kaip loginis ekvivalentiškumas tada ir tik tada, kai abiejų jų tiesos lentelės stulpeliuose yra tos pačios tiesos reikšmės. Simbolio = arba ⇔ pagalba galime pavaizduoti loginį ekvivalentiškumą. Taigi X = Y arba X ⇔ Y bus šių teiginių loginis ekvivalentas.
Naudodamiesi loginio ekvivalentiškumo apibrėžimu, išsiaiškinome, kad jei sudėtiniai teiginiai X ir Y yra loginis ekvivalentiškumas, šiuo atveju X ⇔ Y turi būti tautologija.
Loginio ekvivalentiškumo dėsniai
Šiame įstatyme mes naudosime simbolius „IR“ ir „ARBA“, kad paaiškintume loginio ekvivalentiškumo dėsnį. Čia IR žymimas simboliu ∧, o OR – simboliu ∨. Egzistuoja įvairūs loginio ekvivalentiškumo dėsniai, kurie apibūdinami taip:
Idempotentinis įstatymas:
Idempotentiniame įstatyme naudojame tik vieną teiginį. Pagal šį dėsnį, jei sujungsime du tuos pačius teiginius su simboliais ∧(ir) ir ∨(arba), tada gautas teiginys bus pats teiginys. Tarkime, kad yra sudėtinis teiginys P. Idempotentams dėsniui nurodyti naudojamas toks užrašas:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Šio įstatymo tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P, P ∨ P ir P ∧ P stulpeliuose.
Taigi galime pasakyti, kad P ∨ P = P ir P ∧ P = P.
Komutaciniai įstatymai:
Du teiginiai naudojami komutaciniam įstatymui parodyti. Pagal šį dėsnį, jei sujungsime du teiginius su simboliu ∧(ir) arba ∨(arba), tai gautas teiginys bus toks pat, net jei pakeisime teiginių vietą. Tarkime, kad yra du teiginiai, P ir Q. Šių teiginių teiginys bus klaidingas, kai abu teiginiai P ir Q yra klaidingi. Visais kitais atvejais tai bus tiesa. Komutaciniam dėsniui nurodyti naudojamas šis žymėjimas:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | K | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P ∨ Q ir Q ∨ P stulpeliuose.
Taigi galime pasakyti, kad P ∨ Q ? Q ∨ P.
Tas pats, ką galime įrodyti P ∧ Q ? Q ∧ P.
Asociacinė teisė:
Trys teiginiai naudojami asociatyviniam įstatymui parodyti. Pagal šį dėsnį, jei tris teiginius sujungsime su skliaustų pagalba simboliu ∧(ir) arba ∨(arba), tai gautas teiginys bus toks pat, net jei pakeisime skliaustų tvarką. Tai reiškia, kad šis įstatymas nepriklauso nuo susivienijimo ar asociacijos. Tarkime, kad yra trys teiginiai P, Q ir R. Šių teiginių teiginys bus klaidingas, kai P, Q ir R yra klaidingi. Visais kitais atvejais tai bus tiesa. Asociaciniam įstatymui nurodyti naudojamas toks žymėjimas:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | K | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P ∨ (Q ∨ R) ir (P ∨ Q) ∨ R stulpeliuose.
Taigi galime pasakyti, kad P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Tas pats, ką galime įrodyti P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Paskirstymo įstatymas:
Trys teiginiai naudojami paskirstymo dėsniui parodyti. Pagal šį dėsnį, jei sujungsime teiginį su simboliu ∨(OR) su kitais dviem teiginiais, kurie yra sujungti su simboliu ∧(AND), tada gautas teiginys bus toks pat, net jei teiginius derinsime atskirai su simbolį ∨(OR) ir sujungtus teiginius sujungiant su ∧(AND). Tarkime, kad yra trys teiginiai P, Q ir R. Paskirstymo dėsniui nurodyti naudojamas toks užrašas:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | K | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P ∨ (Q ∧ R) ir (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) stulpeliuose.
Taigi galime pasakyti, kad P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Taip pat, kaip galime įrodyti P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Tapatybės įstatymas:
Tapatybės įstatymui parodyti naudojamas vienas teiginys. Pagal šį dėsnį, jei sujungsime teiginį ir tikrąją reikšmę su simboliu ∨(arba), tada bus sukurta tikroji reikšmė. Jei sujungsime teiginį ir klaidingą reikšmę su simboliu ∧(ir), tada jis sugeneruos patį teiginį. Panašiai tai darysime su priešingais simboliais. Tai reiškia, kad jei sujungsime teiginį ir tikrąją reikšmę su simboliu ∧(ir), tada jis sugeneruos patį teiginį, o jei sujungsime teiginį ir klaidingą reikšmę su simboliu ∨(arba), tada jis sugeneruos Klaidinga vertė. Tarkime, kad yra sudėtinis teiginys P, tikroji reikšmė T ir klaidinga reikšmė F. Tapatybės įstatymui nurodyti naudojamas toks užrašas:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | T | F | P∨T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P ∨ T ir T stulpeliuose. Taigi galime sakyti, kad P ∨ T = T. Panašiai šioje lentelėje taip pat yra tos pačios tiesos reikšmės P ∨ F ir P stulpeliuose. galime pasakyti, kad P ∨ F = P.
Tas pats, ką galime įrodyti P ∧ T ? P ir P ∧ F ? F
Papildymo įstatymas:
Komplemento įstatyme naudojamas vienas teiginys. Pagal šį dėsnį, jei sujungsime teiginį su jo papildomu teiginiu su simboliu ∨(arba), tada jis sugeneruos tikrąją reikšmę, o jei šiuos teiginius sujungsime su simboliu ∧(ir), tai generuos klaidingą. vertė. Jei paneigsime tikrąją vertę, tada ji generuos klaidingą vertę, o jei paneigsime klaidingą vertę, ji generuos tikrąją vertę.
Komplemento dėsniui nurodyti naudojamas šis žymėjimas:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P ∨ ¬P ir T stulpeliuose. Taigi galime sakyti, kad P ∨ ¬P = T. Panašiai šioje lentelėje taip pat yra tos pačios tiesos reikšmės P ∧ ¬P ir stulpeliuose. F. Taigi galime pasakyti, kad P ∧ ¬P = F.
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės ¬T ir F stulpeliuose. Taigi galime sakyti, kad ¬T = F. Panašiai šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės ¬F ir T stulpeliuose. Taigi galime pasakyti, kad ¬F = T.
Dvigubo neigimo įstatymas arba involiucijos įstatymas
Dvigubo neigimo dėsniui parodyti naudojamas vienas teiginys. Pagal šį dėsnį, jei paneigsime neigiamą teiginį, tada gautas teiginys bus pats teiginys. Tarkime, kad yra teiginys P ir neigiamas teiginys ¬P. Dvigubo neigimo dėsniui nurodyti naudojamas šis užrašas:
¬(¬P) ? P
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | ¬P | ¬ (¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės ¬(¬P) ir P stulpeliuose. Taigi galime pasakyti, kad ¬(¬P) = P.
Iš Morgano įstatymo:
Du teiginiai naudojami parodyti De Morgano dėsnį. Pagal šį dėsnį, jei sujungsime du teiginius su simboliu ∧(AND) ir atliksime šių kombinuotų teiginių neigimą, tada gautas teiginys bus toks pat, net jei abiejų teiginių neigimą sujungsime atskirai su simboliu ∨( ARBA). Tarkime, kad yra du sudėtiniai teiginiai, P ir Q. De Morgano dėsniui nurodyti naudojama tokia žyma:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | K | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės ¬(P ∧ Q) ir ¬ P ∨ ¬Q stulpeliuose. Taigi galime pasakyti, kad ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Tas pats, ką galime įrodyti ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Absorbcijos įstatymas:
Du teiginiai naudojami absorbcijos dėsniui parodyti. Pagal šį dėsnį, jei teiginį P sujungsime su simboliu ∨(OR) su tuo pačiu teiginiu P ir vienu kitu teiginiu Q, kurie yra sujungti su simboliu ∧(AND), tada gautas teiginys bus pirmasis teiginys P. Tas pats rezultatas bus sugeneruotas, jei sukeisime simbolius. Tarkime, kad yra du sudėtiniai teiginiai, P ir Q. Absorbcijos dėsniui nurodyti naudojamas šis žymėjimas:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Šių žymėjimų tiesos lentelė aprašyta taip:
| P | K | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P ∨ (P ∧ Q) ir P stulpeliuose. Taigi galime pasakyti, kad P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Panašiai šioje lentelėje taip pat yra tos pačios tiesos reikšmės P ∧ (P ∨ Q) ir P stulpeliuose. Taigi galime pasakyti, kad P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Loginio ekvivalentiškumo pavyzdžiai
Yra įvairių loginio lygiavertiškumo pavyzdžių. Kai kurie iš jų aprašyti taip:
1 pavyzdys: Šiame pavyzdyje nustatysime teiginio lygiavertiškumo ypatybę, kuri apibūdinama taip:
p → q ? ¬p ∨ q
Sprendimas:
Tai įrodysime naudodamiesi tiesos lentele, kuri aprašyta taip:
| P | K | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės p → q ir ¬p ∨ q stulpeliuose. Taigi galime pasakyti, kad p → q ? ¬p ∨ q.
2 pavyzdys: Šiame pavyzdyje nustatysime teiginio lygiavertiškumo ypatybę, kuri apibūdinama taip:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Sprendimas:
| P | K | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Šioje lentelėje yra tos pačios tiesos reikšmės P ↔ Q ir (P → Q) ∧ (Q → P) stulpeliuose. Taigi galime sakyti, kad P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
3 pavyzdys: Šiame pavyzdyje naudosime lygiavertę savybę, kad įrodytume šį teiginį:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q )
Sprendimas:
Norėdami tai įrodyti, naudosime kai kuriuos iš aukščiau aprašytų įstatymų ir iš šio įstatymo turime:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Dabar aukščiau pateiktoje lygtyje naudosime komutacinį įstatymą ir gausime:
metodo perkrova
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Dabar šioje lygtyje naudosime paskirstymo įstatymą ir gausime:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Dabar šioje lygtyje naudosime paskirstymo įstatymą ir gausime:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Dabar šioje lygtyje naudosime komplemento dėsnį ir gausime:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Dabar naudosime tapatybės įstatymą ir gausime:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Dabar šioje lygtyje naudosime komutacinį įstatymą ir gausime:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Galiausiai (1) lygtis tampa tokia:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Galiausiai galime pasakyti, kad (1) lygtis tampa p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)