logo

TechCodeview

Atvirkštinės trigonometrinės tapatybės

Atvirkštinės trigonometrinės tapatybės: Matematikoje atvirkštinės trigonometrinės funkcijos taip pat žinomos kaip arcus funkcijos arba anti-trigonometrinės funkcijos. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra atvirkštinės pagrindinių trigonometrinių funkcijų funkcijos, ty sinuso, kosinuso, liestinės, kosekantinės, sekantinės ir kotangentinės. Jis naudojamas kampams su bet kokiu trigonometriniu santykiu rasti. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos paprastai naudojamos tokiose srityse kaip geometrija, inžinerija ir kt. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra tokios:

Jei a = f(b), tai atvirkštinė funkcija yra



b = f-1a)

kas yra awt

Atvirkštinių atvirkštinių trigonometrinių funkcijų pavyzdžiai yra sin-1x, cos-1x, taip-1x ir kt.

Turinys



Atvirkštinių trigonometrinių tapatybių sritis ir diapazonas

Šioje lentelėje parodytos kai kurios trigonometrinės funkcijos su jų domenu ir diapazonu.

Funkcija Domenas diapazonas
y = be-1x[-vienuolika][-p/2, p/2]
y = cos-1x[-vienuolika][0, p]
y = cosec-1x R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1x R - (-vienuolika)[0, π] – {π/2}
y = taip-1x R (-p/2, p/2)
y = vaikiška lovelė-1x R (0, p)

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų savybės

Toliau pateikiamos atvirkštinių trigonometrinių funkcijų savybės:

1 nuosavybė:



  1. be-1(1/x) = kosek-1x, jei x ≥ 1 arba x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sek-1x, jei x ≥ 1 arba x ≤ -1
  3. taip-1(1/x) = vaikiška lovelė-1x, jei x> 0

2 nuosavybė:

  1. be-1(-x) = -sin-1x, jei x ∈ [-1 , 1]
  2. taip-1(-x) = -tan-1x, jei x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, už |x| ≥ 1

3 nuosavybė

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, jei x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, už |x| ≥ 1
  3. vaikiška lovelė-1(-x) = π – vaikiška lovelė-1x, jei x ∈ R

4 nuosavybė

  1. be-1x + cos-1x = π/2, jei x ∈ [-1,1]
  2. taip-1x + vaikiška lovelė-1x = π/2, jei x ∈ R
  3. cosec-1x + sek-1x = π/2 , kai |x| ≥ 1

5 nuosavybė

  1. taip-1x + taip-1y = taip-1( x + y )/(1 – xy), jei xy <1
  2. taip-1x – taip-1y = taip-1(x – y)/(1 + xy), jei xy> -1
  3. taip-1x + taip-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), jei xy>1 ; x, y> 0

6 nuosavybė

  1. 2 tan-1x = nuodėmė-1(2x)/(1 + x2), už |x| ≤ 1
  2. 2 tan-1x = cos-1(1-x2)/(1 + x2), jei x ≥ 0
  3. 2 tan-1x = taip-1(2x)/(1 – x2), už -1

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos tapatybės

Toliau pateikiamos atvirkštinių trigonometrinių funkcijų tapatybės:

  1. be-1(sin x) = x su sąlyga -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x su sąlyga, kad 0 ≤ x ≤ π
  3. taip-1(tan x) = x su sąlyga -π/2
  4. be-1x) = x, jei -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos (cos-1x) = x, jei -1 ≤ x ≤ 1
  6. taip taip-1x) = x, jei x ∈ R
  7. cosec (kosek-1x) = x, jei -1 ≤ x ≤ ∞ arba -∞
  8. sek (sek-1x) = x, jei 1 ≤ x ≤ ∞ arba -∞
  9. vaikiška lovelė (lovytė-1x) = x numatyta -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2-1)
  14. 2 nuodėmė-1x = nuodėmė-12x√(1 – x2)
  15. 3 nuodėmė-1x = nuodėmė-1(3x - 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3 tan-1x = taip-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. be-1x + nuodėmė-1y = be-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. be-1x – nuodėmė-1y = be-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – ir2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – ir2)}
  22. taip-1x + taip-1y = taip-1(x + y/1 – xy)
  23. taip-1x – taip-1y = taip-1(x – y/1 + xy)
  24. taip-1x + taip-1ir +tan-1z = taip-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Žmonės taip pat žiūri:

Atvirkštinių trigonometrinių tapatybių problemų pavyzdžiai

1 klausimas: pabandykite be -1 x = sek -1 1/√(1-x 2 )

Sprendimas:

Leisk be-1x = y

⇒ sin y = x , (kadangi sin y = statmena/hipotenūza ⇒ cos y = √(1- statmena2)/hipotenuzė )

⇒ cos y = √(1 – x2), čia hipotenuzė = 1

⇒ sek. y = 1/cos y

⇒ sek. y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1 – x2)

⇒ be-1x = sek-11/√(1 – x2)

Vadinasi, įrodyta.

2 klausimas: pabandykite taip -1 x = kosek -1 √(1 + x 2 )/x

Sprendimas:

Tegul taip-1x = y

⇒ y = x, statmena = x ir bazė = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (nes hipotenuzė = √(statmenas2+ bazė2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ taip-1x = kosek-1√(x2+ 1)/x

Vadinasi, įrodyta.

3 klausimas: įvertinkite save kaip -1 x)

Sprendimas:

Tegul cos-1x = y

⇒ cos y = x , bazė = x ir hipotenuzė = 1 todėl sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ įdegis y = √(1 – x2)/x

⇒ y = taip-1√(1 – x2)/x

⇒ cos-1x = taip-1√(1 – x2)/x

Todėl įdegis (cos-1x) = įdegis (deg-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/x.

4 klausimas: taip -1 √(sin x) + vaikiška lovelė -1 √(sin x) = y. Rasti cos ir.

Sprendimas:

Mes žinome tą įdegį-1x + vaikiška lovelė-1x = /2, todėl palyginę šią tapatybę su lygtimi, pateikta klausime, gauname y = π/2

Taigi cos y = cos π/2 = 0.

5 klausimas: taip -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) įdegis -1 x, x> 0. Išspręskite x.

Sprendimas:

taip-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2) įdegis-1x

⇒ 2 įdeg-1(1 – x)/(1 + x) = įdegis-1x …(1)

Mes tai žinome, 2tan-1x = taip-12x/(1 – x2).

Todėl (1) lygties LHS gali būti parašytas kaip

taip-1[ { 2 (1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x) (1 + x)]2}]

= taip-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1–x)2}]

= taip-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= taip-1(1-x2)/(2x)

Kadangi, LHS = RHS todėl

taip-1(1-x2)/(2x) = įdegis-1x

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Kadangi x turi būti didesnis nei 0, todėl x = 1/√3 yra priimtinas atsakymas.

6 klausimas: pabandykite taip -1 √x = (1/2) cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Sprendimas:

Tegul taip-1√x = y

⇒ įdegis y = √x

⇒ taip2y = x

Todėl,

RHS = (1/2) cos-1(1 – taigi2y)/(1 + įdegis2ir)

= (1/2) kaš-1(cos2ir be2y)/(cos2ir + be2ir)

= (1/2) kaš-1(cos2ir be2ir)

= (1/2) kaš-1(kaina 2 m.)

= (1/2) (2 m.)

= ir

= taip-1√x

= LHS

Vadinasi, įrodyta.

7 klausimas: taip -1 (2x)/(1 – x 2 ) + vaikiška lovelė -1 (1-x 2 )/(2x) = π/2, -1

Sprendimai:

taip-1(2x)/(1 – x2) + vaikiška lovelė-1(1-x2)/(2x) = π/2

⇒ taip-1(2x)/(1 – x2) + taip-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2 tan-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ taip-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = įdegis ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 arba x = -1 – √2

Bet pagal klausimą x ∈ (-1, 1) todėl duotai lygčiai sprendinių aibė yra x ∈ ∅.

8 klausimas: taip -1 1/(1 + 1,2) + įdegis -1 1/(1 + 2,3) + … + taip -1 1/(1 + n(n + 1)) = ruda -1 x. Išspręskite x.

Sprendimas:

taip-11/(1 + 1,2) + įdegis-11/(1 + 2,3) + … + įdegis-11/(1 + n(n + 1)) = ruda-1x

⇒ taip-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + įdegis-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + taip-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = ruda-1x

⇒ (taip-12 – taip-11) + (taip-13 – taip-12) + … + (taip-1(n + 1) – taigi-1n) = taip-1x

⇒ taip-1(n + 1) – taigi-11 = taip-1x

⇒ taip-1n/(1 + (n + 1).1) = ruda-1x

⇒ taip-1n/(n + 2) = ruda-1x

⇒ x = n/(n + 2)

9 klausimas: jei 2tan -1 (be x) = taip -1 (2 sek. x), tada išspręskite x.

Sprendimas:

2 tan-1(be x) = taip-1(2 sek. x)

⇒ taip-1(2sin x)/(1 – nuodėmė2x) = taip-1(2 už cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – nuodėmė2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2x

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 arba sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 arba tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 arba x = π/4

Bet esant x = π/2 duotoji lygtis neegzistuoja, todėl x = π/4 yra vienintelis sprendimas.

10 klausimas: įrodykite, kad lovelė -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Sprendimas:

Taigi tegul x = 2y

LHS = vaikiška lovelė-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= vaikiška lovelė-1[{√(cos2ir + be2y + 2sin y cos y) + √(cos2ir + be2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2ir + be2y + 2sin y cos y) – √(cos2ir + be2y – 2sin ir cos y)} ]

= vaikiška lovelė-1[{√(cos y + sin y)2+ √ (cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √ (cos ir – sin ir)2}]

= vaikiška lovelė-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= vaikiška lovelė-1(2cos y) / (2sin y)

= vaikiška lovelė-1(lovytė ir)

= ir

= x/2.

Atvirkštinių trigonometrinių tapatybių praktikos uždaviniai

1 uždavinys: išspręskite x lygtyje sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

2 problema: įrodykite, kad įdegis -1 (1) + taip -1 (2) + taip -1 (3) = p

3 problema: įvertinkite cos⁡ (be -1 (0,5))

4 problema: jei įdegis -1 (x) + įdegis -1 (2x) = π/4, tada raskite x

DUK apie atvirkštines trigonometrines tapatybes

Kas yra atvirkštinės trigonometrinės funkcijos?

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra atvirkštinės pagrindinių trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, liestinės, kosekantinės, sekantinės ir kotangentinės) funkcijos. Jie naudojami kampams, atitinkantiems duotus trigonometrinius santykius, rasti.

Kodėl atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra svarbios?

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra būtinos įvairiose srityse, tokiose kaip geometrija, inžinerija ir fizika, nes padeda nustatyti kampus pagal trigonometrinius santykius, o tai labai svarbu sprendžiant daugelį praktinių problemų.

Kokie yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų sritys ir diapazonai?

Kiekviena atvirkštinė trigonometrinė funkcija turi tam tikrus domenus ir diapazonus:

s in -1 (x) : domenas [-1, 1] ir diapazonas [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : domenas [-1, 1] ir diapazonas [ 0, π]

taigi -1 (x) : domenas R ir diapazonas (- π/2, π/2)

Ar skaičiuojant galima naudoti atvirkštines trigonometrines funkcijas?

Taip, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos dažnai naudojamos skaičiuojant integravimui ir diferencijavimui. Jie ypač naudingi integruojant funkcijas, kurios apima trigonometrines išraiškas.