Kūgio nukirpimas yra ypatinga forma, kuri susidaro, kai kūgį pjauname plokštuma, lygiagrečia jo pagrindui. Kūgis yra trimatė forma, turinti apskritą pagrindą ir viršūnę. Taigi kūgio nupjautas galas yra vientisas tūris, susidarantis pašalinus kūgio dalį, kurios plokštuma lygiagreti apskritam pagrindui. Nupjauta forma apibrėžiama ne tik kūgiams, bet gali būti apibrėžta ir įvairių tipų piramidėms (kvadratinė piramidė, trikampė piramidė ir kt.).

Kai kurios įprastos nupjauto kūgio formos, kurias atrandame kasdieniame gyvenime, yra kibirai, lempos gaubtas ir kt. Leiskite mums sužinoti daugiau apie kūgių frustum šiame straipsnyje.

Kas yra Frustum of Cone?

Frustum yra lotyniškas žodis, reiškiantis gabalus, todėl kūgio frustum yra vientisas kūgio gabalas. Kada dešinysis apskritas kūgis yra nupjauta plokštuma, lygiagrečia kūgio pagrindui, taip gauta forma vadinama nupjautu kūgiu. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip plokštuma nupjauna kūgį lygiagrečiai jo pagrindui, kad susidarytų nupjautas kūgis.

Dabar kūgio nutrūkimas lengvai apibrėžiamas kaip

Jei dešinįjį apskritą kūgį nupjauna plokštuma, lygiagreti jo pagrindui, tarp pjovimo plokštumos ir pagrindo plokštumos esančios dalies forma vadinama nupjautu kūgiu.

Kūgio gabalo tinklas

Jei trimatė (3D) forma išpjaunama ir padaroma dvimatė forma, taip gauta forma vadinama tinklu. Galima daryti prielaidą, kad tinkamai ir teisingai sulankstytas figūros tinklelis suformuoja norimą 3D formą. Žemiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas nupjauto kūgio tinklas.

Kūgio gabalo savybės

Kūgio nupjauto kūgio savybės yra labai panašios į kūgio, kai kurios svarbios nupjauto kūgio savybės yra:

• Kūgio pagrindas pirminis kūgis yra nupjautoje kūgio dalyje, bet jo viršūnės nėra nupjautoje kūgio dalyje.
• Kūgio nukirpimo formulės priklauso nuo jo aukščio ir dviejų spindulių (atitinkančių viršutinį ir apatinį pagrindą).
• Kūgio nukirpimo aukštis yra statmenas atstumas tarp jo dviejų pagrindų centrų.

Kūgio gabalo formulės

Kūgio nulupimas yra tokia forma, kuri dažnai matoma mūsų kasdieniame gyvenime, pavyzdžiui, stalinės lempos, kibirai ir kt. Svarbios kūgio nulaužimo formulės yra šios:

• Kūgio gabalo tūris
• Kūgio nukirpimo paviršiaus plotas

Išsamiau apie šias formules sužinokime toliau,

Kūgio gabalo tūris

Nupjautas kūgis yra perpjauta kūgio dalis, kai iš didesnio kūgio pašalinamas mažas kūgis. Todėl norint apskaičiuoti nupjauto kūgio tūrį, tereikia apskaičiuoti skirtumą tarp didesnio ir mažesnio kūgio tūrio.

Tarkime,

• Bendras kūgio aukštis turi būti H + h
• Bendras nuolydžio aukštis turi būti l’ + L
• Viso kūgio spindulys yra r
• Perpjauto kūgio spindulys yra r'

Kadangi kūgio tūris pateiktas kaip V = 1/3πr²h

Viso kūgio tūris V₁= 1/3πr²(H+h)

Mažesnio kūgio tūris V₂=1/3πr'²h)

Dabar nupjauto kūgio (V) tūrį galima apskaičiuoti naudojant formulę,

V=V₁- Į₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Naudojant △OCD ir △OAB trikampių panašumo savybę, galima rašyti,

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = val / r'

Pakeiskite šią (H+h) reikšmę (1) lygtyje ir supaprastinkite,

V = 1/3π[r²(rh / r') – r'²(h)}

= 1/3π[{val³– val.'³} / r’]…(2)

Dar kartą naudodami panašų trikampio savybę △OCD ir △OAB, sužinosime h reikšmę

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r'

rh = val. + val.

(r -r’)h = val.

h = Hr' / (r -r')

Pakeičiant šias reikšmes (2) lygtyje,

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r']

= 1/3π[{r³– r’³}h / r']

= 1/3π[{r³– r’³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r'²+rr’)

Taigi,

Nupjauto kūgio tūris = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr’)

Kūgio nukirpimo paviršiaus plotas

Nupjauto kūgio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti pagal skirtumą tarp viso kūgio paviršiaus plotas ir mažesnis kūgis (pašalintas iš viso kūgio). Nupjauto kūgio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti naudojant žemiau pateiktą diagramą, kurioje reikia susumuoti lenktų paviršių paviršiaus plotus ir nupjauto kūgio viršutinio ir apatinio paviršiaus plotus.

Panašiai kaip ir nupjauto kūgio tūris, išlenktas paviršiaus plotas taip pat bus lygus didesnio ir mažesnio kūgio paviršiaus plotų skirtumui.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje trikampiai OAB ir OCD yra panašūs. Todėl naudojant panašumo kriterijus galima rašyti,

int eilutė

l’/l = r’/r…(1)

Kadangi l’ = l – L, taigi iš (1) lygties,

(l – L) / l = r’ / r

Po kryžminio dauginimo,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Viso kūgio išlenkto paviršiaus plotas = πrl

Mažesnio kūgio išlenktas paviršiaus plotas = πr’l’

Skirtumas tarp viso kūgio ir mažesnio kūgio išlenktų paviršiaus plotų = π (rl – r’l’)

Taigi nupjauto kūgio išlenktas paviršiaus plotas (CSA) = πl (r – r’l’/l)

Naudokite (1) lygtį, kad pakeistumėte l’/l reikšmę pirmiau pateiktoje lygtyje ir supaprastinkite,

Nupjauto kūgio CSA = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²- r'²)/r

Dabar pakeiskite l reikšmę iš (2) lygties ir supaprastinkite,

Nupjauto kūgio CSA = πlr/(r – r’)× (r²– r’²)/r = πl (r + r')

Taigi galima rašyti,

Nupjauto kūgio išlenktas paviršiaus plotas = πl (r + r’)

Dabar apskaičiuokime nukirpto kūgio viršutinio ir apatinio pagrindo paviršiaus plotą taip, kad

Kūgio, kurio spindulys r’ = πr’, nupjauto kūgio viršutinio pagrindo paviršiaus plotas²

Kūgio, kurio spindulys yra r = πr, nupjauto kūgio apatinio pagrindo paviršiaus plotas²

Taigi,

Bendras nupjauto kūgio paviršiaus plotas = nupjauto kūgio išlenktas paviršiaus plotas + viršutinio pagrindo paviršiaus plotas + apatinio pagrindo paviršiaus plotas

Todėl,

Bendras nupjauto kūgio paviršiaus plotas = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Taigi bendras nupjauto kūgio paviršiaus plotas yra = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Ši formulė taip pat gali būti parašyta kaip

Bendras nupjauto kūgio paviršiaus plotas yra = πl (r²– r’²)/r + π (r²+ r'²)

Taigi galima rašyti,

Bendras nupjauto kūgio paviršiaus plotas = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

arba

Bendras nupjauto kūgio paviršiaus plotas = πl (r ² – r’ ² )/r + π (r ² + r' ² )

Atkreipkite dėmesį, kad l yra mažesnio kūgio nuožulnus aukštis, kurį galima pateikti kaip

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Skaityti daugiau

• Kūgio tūris
• Cilindro tūris
• Sferos tūris

Išspręsti kūgio fragmento pavyzdžiai

1 pavyzdys: Išsiaiškinkite 15 cm aukščio nupjauto kūgio tūrį, o abiejų pagrindų spindulys yra 5 cm ir 8 cm.

Sprendimas:

Naudojant aukščiau ištirtą formulę, galima parašyti,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr’)

Atsižvelgiant į

H = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

2 pavyzdys: Išsiaiškinkite kūgio, kurio aukštis yra 10 cm, paviršiaus plotą ir bendrą paviršiaus plotą, o abiejų pagrindų spindulys yra 4 cm ir 8 cm.

Sprendimas:

Žinome paviršiaus ploto ir viso nupjauto paviršiaus ploto formulę. Turime prijungti reikiamas vertes.

Išlenktas nupjauto kaklo paviršiaus plotas = πl(r+r’)

kur,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Atsižvelgiant į
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Apskaičiuojant L reikšmę,

L = √ [10²+ (8–4)²]

= √(100+16) = √(116)

Išlenktas Frustum paviršiaus plotas = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Bendras paviršiaus plotas = išlenktas Frustum paviršiaus plotas + abiejų pagrindų plotas

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

3 pavyzdys: Tarkime, kad turime atvirą metalinį kibirą, kurio aukštis yra 50 cm, o pagrindų spindulys yra 10 cm ir 20 cm. Raskite plotą metalinis lakštas, naudojamas kibirui gaminti.

Sprendimas:

Kibiras yra nulaužto formos, kuris uždaromas iš apačios. Turime apskaičiuoti bendrą šio frustumo paviršiaus plotą.

Duota
H = 50 cm
r ‘= 10 cm
r = 20 cm

Išlenktas Frustum paviršiaus plotas = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20–10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100 (26) = 10 √ (26)

Išlenktas Frustum paviršiaus plotas = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Bendras paviršiaus plotas = išlenktas Frustum paviršiaus plotas + abiejų pagrindų plotas

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

4 pavyzdys: Išsiaiškinkite tūrio išraišką apipjaustytam, jei jo aukštis yra 6y, o spindulys yra atitinkamai y ir 2y.

Sprendimas:

Naudojant aukščiau išnagrinėtą formulę,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr’)

Atsižvelgiant į

H = 6 m
r'= y
r = 2 m

V = 1/3 π6[(2y)²+ (ir)²+ (y) (2 m.)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³vienetas³

DUK apie Piece of Cone

1 klausimas: kas yra kūgio nukirpimas?

Atsakymas:

Kai pjauname kūgį taip, kad pjovimo plokštuma būtų lygiagreti kūgio pagrindui. Taip gauta figūra vadinama kūgio nupjauta dalimi.

2 klausimas: kas yra Frustum of Cone Formulas?

Atsakymas:

Toliau aptariamos nulaužto kūgio formulės. Paimkime pagrindo spindulio „R“ ir viršutinio spindulio „r“ apibrėžimą, aukštį „H“, o tada pasvirusį aukštį,

• Kūgio gabalo tūris (V) = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)
• Bendras nupjauto kūgio paviršiaus plotas = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

3 klausimas: kas yra frustum CSA?

Atsakymas:

Kūgio lenkto paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę,

CSA = πl (r + r')

kur,
r' yra viršutinio frustum apskritimo spindulys
r yra spindulio bazė
l yra nuožulnus aukštis

4 klausimas: koks yra kūgio nupjauto paviršiaus plotas?

Atsakymas:

Nupjauto kūgio paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę,

• Kūgio gabalo CSA = πl [ (r²– r’²) / r’ ]
• Nupjauto kūgio TSA = π (r²+ r'²) + πl [ (r²– r’²) / r’]

5 klausimas: koks yra kūgio nupjautos dalies tūris?

Atsakymas:

Kūgio nutrūkusio kūgio tūris apskaičiuojamas pagal formulę,

• V = 1/3πh[ (r³– r’³) / r’]
• V = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)