Dydis, kuriam būdingas ne tik dydis, bet ir jo kryptis, vadinamas vektoriumi. Greitis, jėga, pagreitis, impulsas ir kt. yra vektoriai.

Vektorius galima dauginti dviem būdais:

• Skaliarinis produktas arba taškinis produktas
• Vektorinis produktas arba kryžminis produktas

Turinys

• Vektorių skaliarinė sandauga / taškinė sandauga
• Vieno vektoriaus projekcija ant kito Vektoriaus
• Skaliarinio produkto savybės
• Nelygybės, pagrįstos taškiniu produktu
• Kryžminis vektorių produktas / vektorinis produktas
• Kryžminio produkto savybės
• Kryžminis produktas determinanto forma
• Taškas ir kryžminis produktas
• DUK apie taškinius ir kryžminius produktus vektoriuose

Vektorių skaliarinė sandauga / taškinė sandauga

Gauta dviejų vektorių skaliarinė sandauga/taškinė sandauga visada yra skaliarinis dydis. Apsvarstykite du vektorius a ir b . Skaliarinė sandauga apskaičiuojama kaip a, b dydžių ir kampo tarp šių vektorių kosinuso sandauga.

Skaliarinė sandauga = |a||b| cos α

Čia

• |a| = vektoriaus dydis a,
• |b| = vektoriaus dydis b , ir
• α = kampas tarp vektorių.

Vektoriai a ir b su kampais α tarp jų

Vieno vektoriaus projekcija ant kito Vektoriaus

Vektorius a gali būti projektuojamas ant linijos l, kaip parodyta žemiau:

CD = vektoriaus a projekcija vektoriuje b

Iš aukščiau pateikto paveikslo aišku, kad vieną vektorių galime projektuoti virš kito vektoriaus. AC yra vektoriaus A dydis. Aukščiau pateiktame paveikslėlyje AD nubrėžta statmenai tiesei l. CD reiškia vektoriaus projekciją a ant vektoriaus b .

Taigi trikampis ACD yra stačiakampis trikampis, todėl galime taikyti trigonometrines formules.

Jei α yra kampo ACD matas, tada

cos α = CD/AC

arba CD = AC cos a

Iš paveikslo matyti, kad CD yra vektoriaus a projekcija vektoriuje b

Taigi, galime daryti išvadą, kad vienas vektorius gali būti projektuojamas virš kito vektoriaus kampo tarp jų kosinusu.

Skaliarinio produkto savybės

• Dviejų vektorių skaliarinė sandauga visada yra tikrasis skaičius (skaliaras).
• Skaliarinė sandauga yra komutacinė, ty a.b =b.a= |a||b| cos α
• Jei α yra 90°, tada skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, nes cos(90) = 0. Taigi vienetinių vektorių x, y kryptimis skaliarinė sandauga yra 0.
• Jei α yra 0°, tada skaliarinė sandauga yra dydžių sandauga a ir b |a||b|.
• Vienetinio vektoriaus su savimi skaliarinė sandauga yra 1.
• Vektoriaus a skaliarinė sandauga su savimi yra |a|²
• Jei α yra 180⁰, vektorių a ir b skaliarinė sandauga yra -|a||b|
• Skaliarinis produktas yra paskirstomas per pridėjimą

a. ( b + c ) = a.b + a.c

• Bet kuriam skaliarui k ir m, tada

l a. (m b ) = km a.b

• Jei vektorių komponentinė forma pateikiama taip:

a = a₁x + a₂ir + a₃Su

b = b₁x + b₂y + b₃Su

tada skaliarinė sandauga pateikiama kaip

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

• Skaliarinė sandauga yra lygi nuliui šiais atvejais:
  • Vektoriaus a dydis lygus nuliui
  • Vektoriaus b dydis lygus nuliui
  • Vektoriai a ir b yra statmeni vienas kitam

Nelygybės, pagrįstos taškiniu produktu

Yra įvairių nelygybių, pagrįstų vektorių taškine sandauga, pavyzdžiui:

• Koši – Švarco nelygybė
• Trikampio nelygybė

Aptarkime juos išsamiai taip:

Koši – Švarco nelygybė

Pagal šį principą bet kuriems dviem vektoriams a ir b , taškinės sandaugos dydis visada yra mažesnis arba lygus vektoriaus a ir vektoriaus b dydžių sandaugai

|a.b| ≤ |a| |b|

Įrodymas:

žvaigždžių topologija

Kadangi a.b = |a| |b| cos α

Mes žinome, kad 0

Taigi darome išvadą, kad |a.b| ≤ |a| |b|

Trikampio nelygybė

Bet kokiems dviem vektoriams a ir b , mes visada turime

| a + b | ≤ | a | + | b |

Trikampio nelygybė

Įrodymas:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(taškinis produktas yra keičiamas)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Tai įrodo, kad | a + b | ≤ | a | + | b|

Vektorių taškinio produkto pavyzdžiai

1 pavyzdys. Apsvarstykite du vektorius, kurių |a|=6 ir |b|=3 ir α = 60°. Raskite jų taškinį produktą.

Sprendimas:

a.b = |a| |b| cos α

Taigi, a.b = 6.3.cos (60°)

=18 (1/2)

a.b = 9

2 pavyzdys. Įrodykite, kad vektoriai a = 3i+j-4k ir vektorius b = 8i-8j+4k yra statmeni.

Sprendimas :

Žinome, kad vektoriai yra statmeni, jei jų taškinė sandauga yra lygi nuliui

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3) (8) + (1) (-8) + (-4) (4)

=24-8-16 =0

int į eilutę konvertavimas java

Kadangi skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, galime daryti išvadą, kad vektoriai yra statmeni vienas kitam.

Kryžminis vektorių produktas / vektorinis produktas

Skaitytojai jau yra susipažinę su erdvine dešiniarankio stačiakampio koordinačių sistema. Šioje sistemoje x ašies sukimas prieš laikrodžio rodyklę į teigiamą y ašį rodo, kad dešiniarankis (standartinis) varžtas pasisuks teigiamos z ašies kryptimi, kaip parodyta paveikslėlyje.

3D stačiakampė koordinačių sistema

The dviejų vektorių vektorinė sandauga arba kryžminė sandauga a ir b su kampu α tarp jų matematiškai apskaičiuojamas kaip

a × b = |a| |b| be α

Reikia pažymėti, kad kryžminė sandauga yra vektorius su nurodyta kryptimi. Rezultatas visada yra statmenas ir a, ir b.

Be to, jei duoti du vektoriai,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)irmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), jų kryžminė sandauga, žymima a × b, apskaičiuojama taip:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Jei a ir b yra lygiagretūs vektoriai, rezultatas turi būti lygus nuliui, nes sin(0) = 0

Kryžminio produkto savybės

• Kryžminis produktas generuoja vektorinį kiekį. Rezultatas visada yra statmenas ir a, ir b.
• Lygiagrečių vektorių / kolinearinių vektorių kryžminė sandauga yra lygi nuliui, nes sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Dviejų viena kitai statmenų vektorių, kurių kiekvienas yra vieneto dydžio, kryžminė sandauga yra vienybė. (Kadangi nuodėmė(0)=1)
• Kryžminis produktas nėra keičiamas.

a × b nėra lygus b × a

• Kryžminis produktas yra paskirstomas, palyginti su papildymu

a × ( b + c ) = a × b + a × c

• Jei k yra skaliarinis,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• Judėdami pagal laikrodžio rodyklę ir paėmę bet kurių dviejų vienetinių vektorių porų skersinę sandaugą, gauname trečią, o prieš laikrodžio rodyklę – neigiamą rezultatą.

Kryžkite gaminį pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę

Galima nustatyti tokius rezultatus:

Kryžminis produktas determinanto forma

Jei vektorius a yra atstovaujama kaip a = a1x + a2y + a3z ir vektorius b yra atstovaujama kaip b = b1x + b2y + b3z

Tada kryžminis produktas a × b galima apskaičiuoti naudojant determinanto formą

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Tada a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Jei a ir b yra gretimos lygiagretainio OXYZ kraštinės, o α yra kampas tarp vektorių a ir b.

Tada lygiagretainio plotas pateikiamas | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektoriai a ir b kaip gretimos lygiagretainio kraštinės

Pavyzdžiai iš C Ross produktas vektorių

1 pavyzdys. Raskite dviejų vektorių a ir b kryžminę sandaugą, jei jų dydžiai yra atitinkamai 5 ir 10. Atsižvelgiant į tai, kad kampas tarp jų yra 30°.

Sprendimas:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 statmenai a ir b

2 pavyzdys Raskite lygiagretainio, kurio gretimos kraštinės yra, plotą

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

Sprendimas :

Plotas apskaičiuojamas surandant gretimų kraštinių skersinę sandaugą

geriausia šypsena pasaulyje

a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Todėl ploto dydis yrasqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Taškas ir kryžminis produktas

Kai kurie bendri taškinio ir kryžminio vektorių sandaugos skirtumai yra šie:

Skaityti daugiau,

• Vektorinė algebra
• Skaliarinis ir vektorius
• Dviejų vektorių skaliarinė sandauga
• Vektorių produktas

DUK apie taškinius ir kryžminius produktus vektoriuose

Ką geometriškai vaizduoja taškinė sandauga?

Dviejų vektorių taškinė sandauga reiškia vieno vektoriaus projekciją į kitą, išskaidytą pagal jų dydžius ir kampo tarp jų kosinusą.

Kaip taškinis produktas naudojamas geometrijoje?

Jis naudojamas norint rasti kampus tarp vektorių, nustatyti ortogonalinius vektorius, apskaičiuoti projekcijas ir matuoti vektorių panašumą.

Kas atsitiks, jei dviejų vektorių taškinė sandauga yra lygi nuliui?

Jei taško sandauga yra nulis, tai reiškia, kad vektoriai yra statmeni (statmenai) vienas kitam.

Ką geometriškai vaizduoja kryžminė sandauga?

Dviejų vektorių kryžminė sandauga reiškia vektorių, statmeną plokštumai, kurioje yra pirminiai vektoriai. Jo dydis lygus vektorių suformuoto lygiagretainio plotui.

Kaip rasti kryžminio produkto kryptį?

Naudokite dešinės rankos taisyklę: Nukreipkite dešinįjį nykštį pirmojo vektoriaus kryptimi, rodomąjį pirštą į antrojo vektoriaus kryptį, o vidurinis pirštas bus nukreiptas kryžminio sandaugos kryptimi.