De Morgano dėsnis yra labiausiai paplitęs dėsnis aibių teorijoje ir Būlio algebroje bei aibių teorijoje. Šiame straipsnyje mes sužinosime apie De Morgano dėsnį, De Morgano dėsnį aibių teorijoje ir De Morgano dėsnį Būlio algebroje kartu su jo įrodymais, tiesos lentelėmis ir loginių vartų diagramomis. Straipsnyje taip pat yra išspręstas De Morgano įstatymo pavyzdys ir DUK apie De Morgano teisę. Sužinokime apie De Morgano dėsnį.

Turinys

• Kas yra De Morgano dėsnis
• De Morgano dėsnis aibių teorijoje
• Pirmasis De Morgano įstatymas
• Antrasis De Morgano dėsnis
• Įrodymas naudojant aibių algebrą
• De Morgano dėsnis Būlio algebroje
• Iš Morgano įstatymo formulės
• Išsprendė De Morgano dėsnio pavyzdžius
• De Morgano dėsnio loginiai pritaikymai

Kas yra De Morgano dėsnis

De Morgano dėsnis yra dėsnis, nurodantis ryšį tarp sąjungos, sankirtos ir papildymų aibių teorijoje. Būlio algebroje jis pateikia ryšį tarp IR, ARBA ir kintamojo papildinių, o logikoje – ryšį tarp IR, ARBA arba teiginio neigimo. Naudodami De Morgano dėsnį galime optimizuoti įvairias logines grandines, kuriose naudojami loginiai vartai, padedantys atlikti tą pačią operaciją, tačiau naudojant labai nedaug aparatų.

De Morgano dėsnis aibių teorijoje

De Morgano dėsnis aibių teorija apibrėžia santykį tarp aibių sąjungos, sankirtos ir papildinių ir yra pateiktas tiek jungties papildiniui, tiek dviejų aibių sankirtai. Aibių teorijoje yra du De Morgano dėsniai:

• Pirmasis De Morgano įstatymas
• Antrasis De Morgano dėsnis

Išsamiai supraskime šiuos įstatymus taip:

Pirmasis De Morgano įstatymas

Pirmas De Morgano įstatymas teigia, kad Dviejų aibių sąjungos papildinys yra lygus kiekvienos aibės papildinių sankirtai.

Tegul A ir B yra dvi aibės, tada matematiškai Pirmasis De Morgano dėsnis pateikiamas taip:

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Kur

• IN atstovauja Sąjungos operacijai tarp rinkinių,
• ∩ reiškia sankirtos operaciją tarp aibių ir
• “ reiškia komplemento operaciją aibėje.

Jis taip pat vadinamas De Morgano Sąjungos įstatymas.

Išsamiai paaiškinkite De Morgano įstatymo įrodymą

Įrodymas naudojant aibių algebrą

Turime įrodyti, (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Tegu X = (A ∪ B)' ir Y = A' ∩ B'

Tegul p yra bet kuris X elementas, tada p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)'

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A arba p ∉ B

⇒ p ∈ A’ ir p ∈ B’

⇒ p ∈ A' ∩ B'

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂ Y. . . (Jo)

Vėlgi, tegul q yra bet kuris Y elementas, tada q ∈ Y ⇒ q ∈ A' ∩ B'

⇒ q ∈ A’ ir q ∈ B’

⇒ q ∉ A arba q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)'

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

Iš (i) ir (ii) X = Y

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Taip pat skaitykite – De-Morgano dėsnių įrodymas Būlio algebroje

Java polimorfizmas

Įrodymas naudojant Venn diagramą

Venno diagrama (A ∪ B)“

Venno diagrama A' ∩ B'

Iš abiejų diagramų galime aiškiai pasakyti,

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Tai pirmasis De Morgano dėsnis.

Antrasis De Morgano dėsnis

Antrasis De Morgano įstatymas teigia, kad Dviejų aibių sankirtos papildinys yra lygus kiekvienos aibės komplementų sąjungai.

Tegul A ir B yra dvi aibės, tada matematiškai Pirmasis De Morgano dėsnis pateikiamas taip:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Kur

• IN atstovauja Sąjungos operacijai tarp rinkinių,
• ∩ reiškia sankirtos operaciją tarp aibių ir
• “ reiškia komplemento operaciją aibėje.

Jis taip pat vadinamas De Morgano sankirtos dėsnis .

Įrodymas naudojant aibių algebrą

Antrasis De Morgano dėsnis: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Tegu X = (A ∩ B)' ir Y = A' ∪ B'

Tegul p yra bet kuris X elementas, tada p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)'

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A ir p ∉ B

⇒ p ∈ A' arba p ∈ B'

⇒ p ∈ A' ∪ B'

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Vėlgi, tegul q yra bet kuris Y elementas, tada q ∈ Y ⇒ q ∈ A' ∪ B'

⇒ q ∈ A' arba q ∈ B'

⇒ q ∉ A ir q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)'

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

Iš (i) ir (ii) X = Y

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Įrodymas naudojant Venno diagramą

Venno diagrama (A ∩ B)'

Venno diagrama A'∪ B'

Iš abiejų diagramų galime aiškiai pasakyti

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

nuo 1 iki 100 romėnų Nr

Tai antrasis De Morgano dėsnis.

De Morgano dėsnis Būlio algebroje

De Morgano dėsnis Būlio algebra apibrėžia ryšį tarp ARBA, IR ir kintamųjų priedų ir yra pateikiamas dviejų reikšmių IR ir AR papildymui. Būlio algebroje yra du De Morgano dėsniai:

• Pirmasis De Morgano įstatymas
• Antrasis De Morgano dėsnis

Išsamiai supraskime šiuos įstatymus, kaip nurodyta toliau:

Pirmasis De Morgano dėsnis Būlio algebroje

Pirmas De Morgano įstatymas teigia, kad Dviejų ar daugiau kintamųjų OR komplementas yra lygus kiekvieno kintamojo komplemento IR.

Tegul A ir B yra du kintamieji, tada matematiškai Pirmasis De Morgano dėsnis pateikiamas taip:

(A + B)’ = A’ . B'

Kur

• + reiškia OR operatorių tarp kintamųjų,
• . reiškia AND operatorių tarp kintamųjų ir
• “ reiškia komplemento operaciją kintamajam.

Pirmieji De Morgano įstatymo logikos vartai

Kalbant apie loginius vartus ir Būlio algebrą, De Morgano dėsnis teigia, kad tiek loginių vartų grandinės, ty NE vartai pridedami prie OR vartų išvesties, ir NE vartai pridedami prie AND vartų įvesties, yra lygiaverčiai. Šios dvi loginių vartų grandinės pateiktos taip:

Pirmoji De Morgano įstatymo tiesos lentelė

Pirmojo De Morgano dėsnio tiesos lentelė pateikiama taip:

Antrasis De Morgano dėsnis Būlio algebroje

Antrasis De Morgano įstatymas teigia, kad Dviejų ar daugiau kintamųjų IR komplementas yra lygus kiekvieno kintamojo komplemento ARBA.

Tegul A ir B yra du kintamieji, tada matematiškai Antrasis De Morgano dėsnis pateikiamas taip:

(A . B)' = A' + B'

Kur

• + reiškia OR operatorių tarp kintamųjų,
• . reiškia AND operatorių tarp kintamųjų ir
• “ reiškia komplemento operaciją kintamajam.

Antrieji De Morgano įstatymo logikos vartai

Loginių vartų ir Būlio algebros kontekste De Morgano dėsnis teigia, kad tiek loginių vartų grandinės, ty NE vartai pridedami prie AND vartų išvesties, ir NE vartai pridedami prie OR vartų įvesties, yra lygiaverčiai. Šios dvi loginių vartų grandinės pateiktos taip:

Antroji De Morgano įstatymo tiesos lentelė

Antrojo De Morgano dėsnio tiesos lentelė pateikiama taip:

Iš Morgano įstatymo logikos

De Morgano logikos įstatyme toliau pateikiami prielinksniai yra tautologija:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

kur,

• ∧ reiškia teiginių junginį,
• ∨ reiškia teiginių disjunkciją,
• ~ vaizduoja teiginio neigimą ir
• ≡ reprezentuoja teiginių lygiavertiškumą.

Iš Morgano įstatymo formulės

Šiame sąraše surašykime visas De Morgano dėsnio formules.

Dėl aibės teorijos:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Būlio algebrai:

• (A + B)’ = A’ . B'
• (A . B)' = A' + B'

Dėl logikos:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Išsprendė De Morgano dėsnio pavyzdžius

1 uždavinys: atsižvelgiant į tai, kad U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} ir B = {2, 3, 9}. Įrodykite antrąjį De Morgano dėsnį.

Sprendimas:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} ir B = {2, 3, 9}

Norėdami įrodyti: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)' = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

A' = {3, 8, 9}

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B' = {7, 8}

A' ∪ B' = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A' ∪ B' = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

2 problema: Atsižvelgiant į tai, kad U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} ir B = {4, 6, 9}. Įrodykite pirmąjį De Morgano dėsnį.

Sprendimas:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} ir B = {4, 6, 9}

Norėdami įrodyti: (A ∪ B)' = A' ∩ B'

c++ skaidymo eilutė

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A' = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B' = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A' ∩ B' = {8}

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Taigi įrodyta

3 problema: supaprastinkite Būlio išraišką: Y = [(A + B).C]'

Sprendimas:

Y = [(A + B).C]'

Taikant De Morgano dėsnį (A . B)’ = A’ + B’

Y = (A + B)' + C'

Taikant De Morgano dėsnį (A + B)’ = A’. B'

Y = A'. B' + C'

4 problema: supaprastinkite Būlio išraišką: X = [(A + B)' + C]'

Sprendimas:

X = [(A + B)' + C]'

Taikant De Morgano dėsnį (A + B)’ = A’. B'

X = [(A + B)’]’ . C'

X = (A + B). C'

Norėdami sužinoti daugiau, patikrinkite šiuos šaltinius:

Parodykite De Morgano dėsnio pavyzdžius

Iš Morgano įstatymo praktinių pavyzdžių

1 pavyzdys: picos užpilai

Įsivaizduokite, kad esate picos vakarėlyje ir jums sakoma, kad galite pasirinkti bet kokius priedus, išskyrus grybus ir alyvuoges kartu.

• Naudojant De Morgano dėsnį : Tai reiškia, kad jei nenorite ir grybų, ir alyvuogių (Not (Grybai ir alyvuogės)), galite arba neturėti grybų (Not Mushrooms) arba neturėti alyvuogių (Not Olives) ant savo picos. Taigi, galite valgyti picą su grybais, alyvuogėmis arba ne!

2 pavyzdys: bibliotekos knygos

Jūsų mokytojas sako, kad į klasę negalima neštis knygų apie burtininkus ar drakonus.

• Naudojant De Morgano dėsnį : Tai reiškia, kad jei jums neleidžiama atsinešti knygų apie burtininkus ar drakonus (Ne (Wizards or Dragons)), negalite atsinešti knygų apie burtininkus (Not Wizards) ir negalite atsinešti knygų apie drakonus (Not Dragons). Taigi, knygos apie kosmosą ar gyvūnus vis dar tinka!

3 pavyzdys: žaidimas lauke

Tavo mama sako, kad negali žaisti lauke, jei tuo pačiu metu lyja ir šalta.

• Naudojant De Morgano dėsnį : Tai reiškia, kad jei neišeinate, nes lyja ir šalta (Not (Raining and Cold)), neišeitumėte, jei tik lyja (Not Raining) arba tiesiog šalta (Not Cold). Bet jei saulėta ir šilta, galite eiti!

4 pavyzdys: filmo pasirinkimas

Jūsų draugas sako, kad nenori žiūrėti filmo, kuris yra baisus ar nuobodus.

• Naudojant De Morgano dėsnį : Tai reiškia, kad jei jūsų draugas nenori filmo, kuris būtų baisus ar nuobodus (Not (Scary or Boring)), jis nenori baisaus filmo (Not Scary) ir nenori nuobodaus filmo (Not Boring) . Taigi, juokingas ar jaudinantis filmas būtų tobulas!

De Morgano dėsnio loginiai pritaikymai

Iš Morgano įstatymo – DUK

State De Morgan pirmasis dėsnio teiginys aibių teorijoje.

Pirmasis De Morgano dėsnis aibių teorijoje teigia, kad dviejų aibių sąjungos komplementas yra lygus jų atskirų papildinių sankirtai.

Pasakykite De Morgano antrojo dėsnio teiginį Būlio algebroje.

Antrasis De Morgano dėsnis Būlio algebroje teigia, kad dviejų ar daugiau kintamųjų IR komplementas yra lygus kiekvieno kintamojo komplemento ARBA.

Aibių teorijoje parašykite De Morgano dėsnio formulę.

De Morgano dėsnio formulė aibių teorijoje:

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Parašykite De Morgano dėsnio formulę Būlio algebroje.

De Morgano dėsnio formulė Būlio algebroje:

(i) (A + B)’ = A’ . B'

(ii) (A . B)' = A' + B'

Parašykite keletą De Morgano dėsnio pritaikymų.

Kai kurie De Morgano dėsnio pritaikymai yra sumažinti sudėtingą Būlio išraišką ir ją supaprastinti.

Kaip įrodyti De Morgano dėsnį?

De Morgano dėsnį aibių teorijoje galima įrodyti Venno diagramomis, o De Morgano dėsnį Būlio algebroje – tiesos lentelėmis.