Būlio algebra yra algebros rūšis, kuri sukuriama naudojant dvejetainę sistemą. 1854 m. anglų matematikas George'as Boole'as pasiūlė šią algebrą. Tai Aristotelio teiginių logikos variantas, kuriame naudojami simboliai 0 ir 1 arba tiesa ir klaidinga. Būlio algebra yra susijusi su dvejetainiais kintamaisiais ir loginėmis operacijomis.

Būlio algebra yra labai svarbi kuriant skaitmenines elektronikos sistemas, nes visos jos naudoja sąvoką Būlio algebra komandoms vykdyti. Be skaitmeninės elektronikos, ši algebra taip pat taikoma aibių teorijoje, statistikoje ir kitose matematikos srityse.

Šiame straipsnyje mes išsamiai sužinosime apie pagrindines Būlio operacijas, Būlio išraiškas, tiesos lenteles, Būlio dėsnius ir kitus.

Turinys

• Būlio algebros operacijos
• Būlio Algberos lentelė
• Būlio išraiška ir kintamieji
• Būlio algebros terminijos
• Tiesos lentelės Būlio algebroje
• Būlio algebros taisyklės
• Būlio algebros dėsniai
• Būlio algebros teoremos
• Išspręsti Būlio algebros pavyzdžiai

Būlio algebros operacijos

Būlio algebroje naudojamos įvairios operacijos, tačiau pagrindinės operacijos, sudarančios Būlio algebrą, yra.

• Neigimas arba NE operacija
• Jungtis arba AND operacija
• Disjunkcija arba ARBA operacija

Būlio algebros išraiška

Patikrinti: Būlio algebros pagrindai skaitmeninėje elektronikoje

Šios operacijos turi savo simbolius ir pirmenybę, o toliau pridėtoje lentelėje parodytas simbolis ir šių operatorių pirmenybė.

Šias operacijas galime lengvai apibrėžti naudodami du loginius kintamuosius.

Paimkime du loginius kintamuosius A ir B, kurie gali turėti bet kurią iš dviejų reikšmių 0 arba 1, t. y. jie gali būti IŠJUNGTI arba ĮJUNGTI. Tada šios operacijos paaiškinamos taip:

Operacija Neigimas arba NE

Naudojant NE operacija apverčia Būlio kintamojo reikšmę nuo 0 iki 1 arba atvirkščiai. Tai galima suprasti taip:

• Jei A = 1, tai naudojant NOT operaciją gauname (A)' = 0

• Jei A = 0, tai naudojant operaciją NOT mes gauname (A)' = 1
• Neigimo operaciją taip pat pavaizduojame kaip ~A, ty jei A = 1, ~A = 0

Patikrinti: Būlio algebros savybės

Jungtis arba operacija AND

Naudojant IR operacija atitinka sąlygą, jei tiek atskirų kintamųjų reikšmės yra teisingos, tiek jei kuri nors iš reikšmių yra klaidinga, ši operacija duoda neigiamą rezultatą. Tai galima suprasti kaip

• Jei A = tiesa, B = tiesa, tada A . B = Tiesa

• Jei A = tiesa, B = klaidinga arba A = klaidinga, B = tiesa, tada A . B = klaidinga

• Jei A = klaidinga, B = klaidinga, tada A . B = klaidinga

Patikrinti: Būlio algebrinės teoremos

Disjunkcijos (ARBA) operacija

Naudojant ARBA operacija tenkina sąlygą, jei kuri nors atskirų kintamųjų reikšmė yra teisinga, ji duoda neigiamą rezultatą tik tuo atveju, jei abi reikšmės yra klaidingos. Tai galima suprasti kaip

Fibonačio serija c

• Jei A = tiesa, B = tiesa, tada A + B = tiesa

• Jei A = tiesa, B = klaidinga arba A = klaidinga, B = tiesa, tada A + B = tiesa

• Jei A = klaidinga, B = klaidinga, tada A + B = klaidinga

Būlio algebros lentelė

Žemiau pateikta Būlio algebros išraiška

Būlio išraiška ir kintamieji

Būlio išraiška yra išraiška, kuri įvertinus sukuria Būlio reikšmę, t. y. sukuria tikrąją arba klaidingą reikšmę. Tuo tarpu loginiai kintamieji yra kintamieji, kuriuose saugomi Būlio skaičiai.

P + Q = R yra Būlio frazė, kurioje P, Q ir R yra Būlio kintamieji, galintys išsaugoti tik dvi reikšmes: 0 ir 1. 0 ir 1 yra klaidingi ir teisingi sinonimai ir naudojami Būlio algebroje, kartais mes taip pat naudojame Taip vietoje True ir Ne vietoj klaidingo.

Taigi galime teigti, kad teiginiai, naudojantys Būlio kintamuosius ir veikiantys pagal Būlio operacijas, yra Būlio išraiškos. Kai kurie Būlio išraiškų pavyzdžiai:

• A + B = tiesa
• A.B = Tiesa
• (A)' = klaidinga

Patikrinti: Būlio algebros aksiomos

Būlio algebros terminijos

Yra įvairių terminų, susijusių su Būlio algebra, kurie naudojami įvairiems parametrams paaiškinti Būlio algebra . Tai apima,

• Būlio algebra
• Būlio kintamieji
• Būlio funkcija
• Žodžiu
• Papildyti
• Tiesos lentelė

Dabar toliau esančiame straipsnyje aptarsime svarbias Būlio algebros terminijas,

Būlio algebra

Algebros šaka, susijusi su dvejetainėmis arba loginėmis operacijomis, vadinama Būlio algebra. Jį XIX amžiaus viduryje pristatė George'as Boole'as. Jis naudojamas dvejetainių kintamųjų loginėms funkcijoms analizuoti ir manipuliuoti. Jis plačiai naudojamas įvairiose srityse, tokiose kaip skaitmeninė logika, kompiuterių mokslas ir telekomunikacijos.

Būlio kintamieji

Būlio algebroje naudojami kintamieji, kuriuose saugomos loginės reikšmės 0 ir 1, vadinami Būlio kintamaisiais. Jie naudojami tikrosioms arba klaidingoms reikšmėms saugoti. Būlio kintamieji yra labai svarbūs reprezentuojant logines būsenas ar teiginius Būlio išraiškose ir funkcijose.

Būlio funkcija

Būlio algebros funkcija, sudaryta naudojant Būlio kintamuosius ir Būlio operatorius, vadinama Būlio funkcija. Jis sudaromas derinant Būlio kintamuosius ir logines išraiškas, tokias kaip AND, OR ir NOT. Jis naudojamas loginiams ryšiams, sąlygoms ar operacijoms modeliuoti.

Žodžiu

Kintamasis arba kintamojo papildinys Būlio algebroje vadinamas pažodžiu. Literalai yra pagrindiniai loginių išraiškų ir funkcijų blokai. Jie vaizduoja operandus loginėse operacijose.

Papildyti

Būlio kintamojo atvirkštinė vertė vadinama kintamojo komplementu. 0 papildinys yra 1, o 1 papildinys yra 0. Jis žymimas ‘ arba (¬) virš kintamojo. Papildymai naudojami loginiams neigimams vaizduoti Būlio išraiškose ir funkcijose.

Tiesos lentelė

Lentelė, kurioje yra visos galimos loginių kintamųjų reikšmės ir kintamojo derinys kartu su duota operacija, vadinama tiesos lentele. Tiesos lentelės eilučių skaičius priklauso nuo bendros toje funkcijoje naudojamų Būlio kintamųjų. Jis pateikiamas naudojant formulę,

Eilučių skaičius tiesos lentelėje = ​​2 ⁿ

kur n yra naudojamų Būlio kintamųjų skaičius.

Patikrinti:

• Aibių teorija
• Statistika

Tiesos lentelės Būlio algebroje

Tiesos lentelė pateikia visus įvesties reikšmių ir išvesties derinius lentelės būdu. Jame parodytos visos įvesties ir išvesties galimybės, taigi ir pavadinimas tiesos lentelė. Logikos uždaviniuose tiesos lentelės dažniausiai naudojamos įvairiems atvejams pavaizduoti. Tiesos lentelėje T arba 1 reiškia „Tiesa“, o F arba 0 reiškia „Klaidinga“.

Pavyzdys: Nubraižykite sąlygų A + B ir A.B tiesos lentelę, kur A ir b yra loginiai kintamieji.

Sprendimas:

Reikalinga tiesos lentelė yra

Būlio algebros taisyklės

Būlio algebroje yra skirtingos pagrindinės loginės išraiškos taisyklės.

• Dvejetainis vaizdavimas: Būlio algebroje kintamieji gali turėti tik dvi reikšmes – 0 arba 1, kur 0 reiškia žemą, o 1 – aukštą. Šie kintamieji parodo logines sistemos būsenas.
• Papildymo vaizdavimas: Kintamųjų komplementas žymimas (¬) arba (‘) virš kintamojo. Tai rodo loginį kintamojo vertės neigimą arba inversiją. Taigi kintamojo A papildymas gali būti pavaizduotas kaipoverline{A},jei A reikšmė = 0, tada jo papildinys yra 1.
• ARBA operacija: Operacija ARBA žymima (+) tarp kintamųjų. ARBA operacija grąžina true, jei bent vienas iš operandų yra teisingas. Pavyzdžiams imkime tris kintamuosius A, B, C, ARBA operacija gali būti vaizduojama kaip A+B+C.
• IR operacija: Operacija IR žymima (.) tarp kintamųjų. Operacija AND grąžinama tiesa, tik jei visi operandai yra teisingi. Pavyzdžiams paimkime tris kintamuosius A, B, C, operacija IR gali būti pavaizduota A.B.C arba ABC.

Būlio algebros dėsniai

Pagrindiniai Būlio algebros dėsniai įtraukti į toliau pateiktą lentelę,

Sužinokime apie šiuos įstatymus išsamiai.

Tapatybės įstatymas

Būlio algebroje turime tapatybės elementus AND(.) ir OR(+) operacijoms. Tapatybės dėsnis teigia, kad Būlio algebroje turime tokius kintamuosius, kad operuodami su AND ir OR operacijomis gauname tą patį rezultatą, t.y.

• A + 0 = A
• A.1 = A

Komutacinė teisė

Būlio algebros dvejetainiai kintamieji vadovaujasi komutaciniu dėsniu. Šis įstatymas teigia, kad loginių kintamųjų A ir B veikimas yra panašus į loginių kintamųjų B ir A veikimą.

• A. B = B. A
• A + B = B + A

Asociacinė teisė

Asociacinė teisė teigia, kad Būlio operatoriaus atlikimo tvarka yra nelogiška, nes jų rezultatas visada yra tas pats. Tai galima suprasti kaip

• ( A . B ) . C = A. ( B . C )
• ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Paskirstymo įstatymas

Būlio kintamieji taip pat vadovaujasi paskirstymo įstatymu, o paskirstymo dėsnio išraiška pateikiama taip:

• A . ( B + C) = (A . B) + (A . C)

Inversijos įstatymas

Inversijos dėsnis yra unikalus Būlio algebros dėsnis, kuriame teigiama, kad bet kurio skaičiaus papildinio papildinys yra pats skaičius.

• (A')' = A

Be šių, toliau minimi kiti įstatymai:

IR Įstatymas

Būlio algebros dėsnis IR naudoja AND operatorių, o IR dėsnis yra

• A . 0 = 0
• A . 1 = A
• A . A = A

ARBA Įstatymas

Būlio algebros ARBA dėsnis naudoja OR operatorių, o OR dėsnis yra

• A + 0 = A
• A + 1 = 1
• A + A = A

De Morgano dėsniai taip pat vadinami Iš Morgano teoremos . Jie yra svarbiausi įstatymai Būlio algebra ir jie pridedami žemiau po antrašte Būlio algebros teorema

Būlio algebros teoremos

Būlio algebroje yra dvi pagrindinės teoremos, kurios yra pirmasis De Morgano dėsnis ir antrasis De Morgano dėsnis. Jos taip pat vadinamos De Morgano teoremomis. Dabar sužinokime apie abu išsamiau.

Pirmieji De Morgano dėsniai

(P.Q)' = (P)' + (Q)'

java char į eilutę

Aiškiai matome, kad (P + Q)’ tiesos reikšmės yra lygios (P)’. (Q)’ tiesos reikšmėms, atitinkančios tą patį įvestį. Taigi antrasis De Morgano dėsnis yra teisingas.

Skaityti daugiau,

• Būlio algebros savybės
• Matematinės indukcijos principas
• Logikos vartai

Išspręsti Būlio algebros pavyzdžiai

Nubraižykite tiesos lentelę P + P.Q = P

Sprendimas:

Tiesos lentelė P + P.Q = P

P	K	P.Q	P + P.Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	F
F	F	F	F

Tiesos lentelėje matome, kad tiesos reikšmės P + P.Q yra lygiai tokios pačios kaip P.

Nubraižykite tiesos lentelę P.Q + P + Q

Sprendimas:

P.Q + P + Q tiesos lentelė

P	K	P.Q	P.Q + P + Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	F

Išspręsti extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Sprendimas:

Naudojant De Morgano dėsnį

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Naudojant paskirstymo teisę

xml komentaras

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Taigi, supaprastinta pateiktos lygties išraiškaoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Išvada

Būlio algebra yra pagrindinė loginių išraiškų vaizdavimo ir manipuliavimo sistema naudojant dvejetainius kintamuosius ir loginius operatorius. Jis atlieka lemiamą vaidmenį įvairiose srityse, tokiose kaip skaitmeninės logikos projektavimas, kompiuterių programavimas ir grandinių analizė. Suteikdama sistemingą loginių ryšių apibūdinimo ir analizės būdą, Būlio algebra leidžia kurti sudėtingas sistemas ir algoritmus. Jo principai ir operacijos, įskaitant AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR ir XNOR, sudaro loginių grandinių projektavimo, efektyvaus kodo rašymo ir loginių problemų sprendimo blokus.

Būlio algebra – DUK

Kas yra Būlio algebra?

Būlio algebra taip pat vadinama Loginė algebra yra matematikos šaka, nagrinėjanti Būlio kintamuosius, tokius kaip 0 ir 1.

Kas yra pagrindiniai Būlio operatoriai?

Yra trys pagrindiniai Būlio operatoriai, kurie yra

• IR (jungtukas)
• ARBA (disjunkcija)
• NE (neigimas)

Kaip sumažinti Būlio funkciją?

Yra keletas būdų, kaip sumažinti Būlio funkcijas, įskaitant:

• Algebrinis supaprastinimas:
• Karnaugh žemėlapiai (K-Maps):
• Quine-McCluskey algoritmas:
• Lentelių sudarymo metodas:
• Nerūpestingos sąlygos:

Kas yra Būlio algebros taikymas?

Būlio algebra turi įvairių programų. Jis naudojamas loginėms grandinėms, kurios yra šiuolaikinių technologijų pagrindas, supaprastinti.

Ką 0 reiškia Būlio algebroje?

0 in Būlio algebra reiškia klaidingą būseną arba reiškia išjungimo būseną.

Ką 1 reiškia Būlio algebroje?

1 in Būlio algebra reiškia tikrąją būseną arba reiškia įjungimo sąlygą.

Kokie yra Būlio algebros dėsniai?

Būlio algebros dėsniai yra taisyklės, leidžiančios manipuliuoti loginėmis išraiškomis su dvejetainiais kintamaisiais, užtikrinti nuoseklumą ir supaprastinimą tokiose operacijose kaip sudėjimas, dauginimas ir papildymas, o tai labai svarbu tokiose srityse kaip skaitmeninė elektronika ir kompiuterių mokslas.

Kokie yra 5 Būlio algebros dėsniai?

Būlio algebra yra reglamentuojamas penkių pirminių įstatymų, kurie yra pagrindas manipuliuoti loginėmis išraiškomis:

1. AND tapatybės įstatymas

2. OR tapatybės įstatymas

3. Papildyti AND įstatymą

4. Papildyti AR įstatymą

5. Idempotentinė teisė

Kokie yra 3 Būlio logikos dėsniai?

Trys pagrindiniai Būlio logikos dėsniai yra

• Tapatybės įstatymas (pridėjus nulį arba padauginus iš vieneto kintamasis lieka nepakitęs)
• Dominavimo įstatymas (pridėjus kintamąjį prie jo komplemento, gaunamas 1, o padauginus iš jo komplemento, gaunamas iš 0)
• Komutacinė teisė (kintamųjų tvarką galima perjungti pridėjus arba dauginant nekeičiant rezultato).

Kas yra De Morgano teorema?

De Morgano teorema teigia, kad t loginės AND operacijos papildinys yra lygiavertis atskirų terminų papildinių OR operacijai, ir atvirkščiai. Tai pagrindinis Būlio algebros principas, naudojamas loginėms išraiškoms supaprastinti ir loginėms grandinėms optimizuoti.