Arktanas apibrėžiamas kaip atvirkštinė tangentinės funkcijos vertė. Arctan(x) žymimas kaip įdegis^-1(x). Yra šešios trigonometrinės funkcijos, o atvirkštinė visų šešių funkcijų dalis yra represuota kaip nuodėmė^-1x, cos^-1x, taip^-1x, cosec^-1x, sek^-1x, ir vaikiška lovelė^-1x.

Arktanas (geld^-1x) nėra panašus į 1 / tan x. įdegis^-1x yra tan x atvirkštinė vertė, o 1/tan x yra tan x atvirkštinė vertė. įdegis^-1x naudojamas įvairioms trigonometrinėms lygtims spręsti. Šiame straipsnyje mes išsamiai išnagrinėsime arctano funkcijos formulę, grafiką, savybes ir kitus.

Turinys

• Kas yra Arktanas?
• Kas yra Arctan Formula?
• Arktano tapatybės
• Arctan domenas ir diapazonas
• Arctan (x) savybės
• Arktano stalas

Kas yra Arktanas?

Arkatanas yra atvirkštinis trigonometrinė funkcija įdegis x. Statmens ir pagrindo santykis stačiakampiame trikampyje vadinamas trigonometrine funkcija, o paėmus atvirkštinę funkciją, gaunama arctano funkcija. Tai paaiškinama taip,

įdegis (π/4) = 1

⇒ π/4 = įdegis^-1(1)... (tai Arktano funkcija)

Jei turime stačiakampį trikampį, kurio kampas θ, tada tan θ yra statmenas / bazė, tada arctano funkcija yra

θ = įdegis ^-1 (statmenas / pagrindas)

Sužinokite daugiau, Atvirkštinė trigonometrinė funkcija

Kas yra Arctan Formula?

Liestinė yra trigonometrinė funkcija, o stačiakampiame trikampyje liestinės funkcija yra lygi statmens ir pagrindo (statmens / pagrindo) santykiui.

Arktanas yra nuoroda į atvirkštinę liestinės funkciją. Simboliškai arctaną vaizduoja įdegis^-1x trigonometrinėse lygtyse.

Arctan formulės apibrėžimas

Kaip aptarta aukščiau, pagrindinė arktano formulė pateikiama taip: arctan (statmenas/pagrindas) = ​​θ, kur θ yra kampas tarp stačiakampio trikampio hipotenuzės ir pagrindo. Mes naudojame šią arctan formulę norėdami rasti kampo θ reikšmę laipsniais arba radianais.

Tarkime, kampo θ liestinė lygi x.

x = įdegis θ ⇒ θ = įdegis ^-1 x

Paimkime stačiakampį trikampį ABC, kurio kampas BCA yra θ. Kraštinė AB yra statmena (p), o kraštinė BC yra bazė (b). Dabar, kai mes ištyrėme, kad liestinė yra lygi statmenai pagrindui.

t.y. tan θ = statmena/pagrindas = p/b

kaip spausdinti java

Ir naudojant aukščiau pateiktą išraišką,

θ = įdegis ^-1 (p/b)

Arktano tapatybės

Yra įvairių Arktano tapatybių, kurios naudojamos sprendžiant įvairias trigonometrines lygtis. Kai kurios svarbios Arktano tapatybės pateikiamos žemiau,

• arctan(-x) = -arctan(x), visiems x ∈ R
• tan(arctan x) = x, visiems realiesiems skaičiams x
• arktanas (įdegis x) = x, jei x ∈ (-π/2, π/2)
• arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x), jei x> 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, jei x <0
• sin(arktanas x) = x/ √(1+x²)
• cos(arctan x) = 1/ √(1+x²)
• arctan(x) = 2arktanas {x/(1 + √(1+x²))}
• arctan(x) = ∫_O^x1/√(1+z²)dz

Kaip pritaikyti Arctan formulę?

Arctan Formula naudojama sprendžiant įvairias trigonometrines problemas ir tai paaiškinama toliau pateiktame pavyzdyje.

Pavyzdys: Stačiakampiame trikampyje PQR, jei trikampio aukštis yra √3 vnt., o trikampio pagrindas yra 1 vnt. Raskite kampą.

Norėdami rasti kampą (θ)

θ = arktanas (statmenas / aukštis)

θ = arctan (√3/1)

θ = 60°

Arctan domenas ir diapazonas

Visos trigonometrinės funkcijos, įskaitant tan (x), turi ryšį daug su vienu. Tačiau atvirkštinė funkcija gali egzistuoti tik tuo atveju, jei ji turi santykį vienas su vienu. Dėl šios priežasties tan x sritis turi būti apribota, kitaip atvirkštinė negali egzistuoti. Kitaip tariant, trigonometrinė funkcija turi būti apribota jos pagrindine šaka, nes norime tik vienos reikšmės.

• Arctan x domenas yra Tikras numeris
• Arktano diapazonas (x) yra (-p/2, p/2)

Žinome, kad trigonometrinės funkcijos domenas ir diapazonas atitinkamai konvertuojami į atvirkštinės trigonometrinės funkcijos diapazoną ir sritį. Taigi galime pasakyti, kad įdegio sritis^-1x yra visi realieji skaičiai, o diapazonas yra (-π/2, π/2).

Įdomus faktas, kurį reikia pažymėti, yra tai, kad galime išplėsti arctano funkciją iki kompleksinių skaičių. Tokiu atveju arctano sritis bus visi kompleksiniai skaičiai.

Arctan (x) savybės

Arctan x savybės naudojamos sprendžiant įvairias trigonometrines lygtis. Yra įvairių trigonometrinių savybių, kurias reikia ištirti norint tirti trigonometriją. Kai kurios svarbios arctano funkcijos savybės pateikiamos žemiau šiame straipsnyje:

• taip taip^-1x) = x
• taip^-1(-x) = -tan^-1x
• taip^-1(1/x) = vaikiška lovelė^-1x, kai x> 0
• taip^-1x + taip^-1y = taip^-1[(x + y)/(1 – xy)], kai xy <1
• taip^-1x – taip^-1y = taip^-1[(x – y)/(1 + xy)], kai xy> -1
• taip^-1x + vaikiška lovelė^-1x = π/2
• taip^-1(įdegis x) = x [kai x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), kur n ∈ Z}]
• taip^-1(tan x) = x [kai x NĖRA nelyginis π/2 kartotinis. kitaip, įdegis^-1(tan x) yra neapibrėžtas.]
• 2 taip^-1x = nuodėmė^-1(2x / (1+x²)), kai |x| ≤ 1
• 2 taip^-1x = cos^-1((1-x²) / (1+x²)), kai x ≥ 0
• 2 taip^-1x = tan-1(2x / (1-x²)), kai -1

Arktano stalas

Bet koks kampas, išreikštas laipsniais, taip pat gali būti konvertuojamas į radianus. Norėdami tai padaryti, laipsnio reikšmę padauginame iš koeficiento π/180°. Be to, funkcija arctan kaip įvestį paima realųjį skaičių ir išveda atitinkamą unikalią kampo reikšmę. Toliau pateiktoje lentelėje pateikiamos kai kurių realiųjų skaičių arctano kampo reikšmės. Jie taip pat gali būti naudojami braižant Arktano grafiką.

Kaip mes ištyrėme aukščiau, arktano vertė gali būti nustatyta laipsniais arba radianais. Taigi, toliau pateikta lentelė iliustruoja apskaičiuotas arctano vertes.

Arktano grafikas

Arktano funkcijos grafikas yra begalinis grafikas. Arktano sritis yra R (realieji skaičiai), o Arktano funkcijos diapazonas yra (-π/2, π/2). Arktano funkcijos grafikas aptariamas toliau esančiame paveikslėlyje:

Grafikas sudaromas naudojant žinomų taškų reikšmę funkcijai y = tan^-1(x)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x Darinys

Arktano darinys yra labai svarbus matematikos studijoms. Arktano funkcijos išvestinė apskaičiuojama naudojant šią sąvoką:

y = arctan x (let)…(1)

Įdegis iš abiejų pusių

tan y = tan (arctan x) [žinome, kad tan (arctan x) = x]

rudas y = x

Abiejų pusių atskyrimas (naudojant grandinės taisyklę)

sek²y × dy/dx = 1

dy/dx = 1/sek²ir

dy/dx = 1 / (1 + ruda²y) {naudojant, sek²y = 1 + įdegis²ir}

d / dx (arktanas x) = 1 / (1 + x ² )

Arctan Integral

Arktano integralas apibrėžiamas kaip atvirkštinės liestinės funkcijos antidarinys. Arctan x integracija gaunama naudojant toliau pateiktą koncepciją,

Paimkime f(x) = tan^-1x ir g(x) = 1

Žinome, kad ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

įdėję f (x) ir g (x) reikšmes į aukščiau pateiktą lygtį, gauname,

∫ įdegis ^-1 x dx = x įdegis ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

kur C yra integracijos konstanta

Arctan 0

Arktanas iš 0 yra 0. Taip pat galime pasakyti, kad įdegis^-1(x) = 0. Taigi Arktanas (0) = 0

Arctan 2

Arktanas iš 2 yra 63,435. Taip pat galime pasakyti, kad įdegis^-1(2) = 63,435. Taigi Arktanas(2) = 63,435.

Arctan Infinity

Arktano begalybė pateikiama kaip lim_x→∞taip^-1x = π/2.

Taip pat patikrinkite

• Trigonometrinė lentelė
• Trigonometriniai santykiai
• Trigonometrinės tapatybės

Arktano pavyzdžiai

1 pavyzdys: įvertinkite save ^-1 (1).

Sprendimas:

taip^-1(1)

1 reikšmę taip pat galima parašyti kaip

1 = įdegis (45°)

Dabar

taip^-1(1) = taip^-1(įdegis 45°) = 45°

2 pavyzdys: Įvertinkite save ^-1 (1 732).

Sprendimas:

taip^-1(1 732)

Vertė 1,732 taip pat gali būti parašyta kaip

1,732 = įdegis (60°)

Dabar

taip^-1(1,732) = taip^-1(įdegis 60°) = 60°

3 pavyzdys: išspręskite taip ^-1 x + taip ^-1 1/x

Sprendimas:

• Mes tai žinome, tan^-1x + taip^-1y = taip^-1[(x + y)/(1 – xy)]

= taip^-1x + taip^-11/x

= taip^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= taip^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= taip^-1[(x + 1/x)/(1 – 1)]

= taip^-1[(x + 1/x)/(0)]

= taip^-1[∞]

= π/2

4 pavyzdys: Raskite įdegio išvestinę ^-1 √x

Sprendimas:

Mes tai žinome, d/dx (tan^-1x) = 1 / (1 + x²)

⇒ d/dx (taip^-1√x)

Naudojant Grandinės taisyklė

= 1 / (1 + [√x]²)

= 1 / (1+x) × d/dx (1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Taigi, d/dx (tan^-1√x) yra √x/{2x(x+1)}

Arctan praktikos klausimai

Q1. Raskite įdegio išvestinę ^-1 (2x ² + 3)

Q2. Raskite įdegio integralą ^-1 √x

Q3. Įvertink save taip ^-1 (10)

4 klausimas. Išspręsk taip ^-1 (x) + įdegis ^-1 (x ² )

Arctan-DUK

1. Kas yra Arktanas?

Tangentinės funkcijos atvirkštinė dalis vadinama Arktanu. Jis žymimas kaip arctan x arba tan^-1x. Arktano vertei nustatyti naudojama formulė yra θ = įdegis ^-1 (x)

2. Raskite Arktano darinį.

Arktano vedinys yra d/dx (arktanas x) = 1 / (1 + x ² )

3. Ar Arctan funkcija yra atvirkštinė įdegio funkcija?

Taip, arctano funkcija yra atvirkštinė įdegio funkcijai. Jei įdegis x = y nei x = įdegis^-1ir

4. Ar Arctan panašus į vaikišką lovelę?

Ne, arktanas nepanašus į vaikišką lovelę. Vaikiška lovelė yra įdegio funkcijos atsakas. t.y. įdegis x = 1/lovytė x, o Arktanas yra atvirkštinė įdegio funkcijai arctan x = įdegis^-1x

java labas pasaulis

5. Kas yra Begalybės Arktanas?

Kaip jau žinome, kad tan reikšmė (π/2) = ∞. Arktanas yra atvirkštinė įdegio funkcija, galime sakyti, kad arctan(∞) = π/2.

6. Ar Arktanas ir įdegis^-1tas pats?

Taip, Arctan ir tan^-1yra toks pat kaip Arctan yra kitas įdegio pavadinimas^-1(x)

7. Kodėl Arctan (1) pi yra didesnis nei 4?

Nuodėmės vertė^-1(π/4) yra 1/√2, o cos^-1(π/4) yra 1/√2 ir mes tai žinome, įdegis^-1(π/4) yra nuodėmė-¹(π/4)/cos^-1(π/4), o arcsin ir arccos reikšmė yra lygi, tada arctano (1) reikšmė yra π/4.