Vektorinė projekcija yra vektoriaus šešėlis virš kito vektoriaus. Projekcijos vektorius gaunamas vektorių padauginus iš kampo tarp dviejų vektorių Cos. Vektorius turi ir dydį, ir kryptį. Sakoma, kad du vektoriai yra lygūs, jei jų dydis ir kryptis yra vienodi. Vektorinė projekcija yra būtina sprendžiant skaitinius fizikoje ir matematikoje.

Šiame straipsnyje mes išsamiai sužinosime, kas yra vektorinė projekcija, vektorinės projekcijos formulės pavyzdį, vektorinės projekcijos formulę, vektorinės projekcijos formulės išvedimą, vektorinės projekcijos formulę tiesinę algebrą, vektorinės projekcijos formulę 3d ir kai kurias kitas susijusias sąvokas.

Turinys

• Kas yra vektorinė projekcija?
• Vektorinės projekcijos formulė
• Vektorinės projekcijos formulės išvedimas
• Vektorinės projekcijos formulių pavyzdžiai
• Vektorinės projekcijos praktiniai pritaikymai ir reikšmė
• Realaus pasaulio problemų sprendimo vektorinės projekcijos pavyzdžiai

Kas yra vektorinė projekcija?

Vektorinė projekcija yra vektoriaus pasukimo ir pastatymo ant antrojo vektoriaus metodas. Taigi vektorius gaunamas, kai vektorius yra padalintas į du komponentus, lygiagrečius ir statmenus. Lygiagretusis vektorius vadinamas projekcijos vektoriumi. Taigi vektorinė projekcija yra vektoriaus šešėlio ilgis virš kito vektoriaus.

Vektoriaus projekcija gaunama vektorių padauginus iš kampo tarp dviejų vektorių Cos. Tarkime, kad turime du vektorius „a“ ir „b“ ir turime rasti vektoriaus a projekciją vektoriuje b, tada vektorių „a“ padauginsime iš cosθ, kur θ yra kampas tarp vektoriaus a ir vektoriaus b.

Vektorinės projekcijos formulė

Jeiguvec Ayra pavaizduotas kaip A irvec Bvaizduojamas kaip B, vektorinė A projekcija ant B pateikiama kaip A sandauga su Cos θ, kur θ yra kampas tarp A ir B. Kita A vektorinės projekcijos ant B formulė pateikiama kaip A ir B sandauga. B padalytas iš B dydžio. Gautas projekcijos vektorius yra A skaliarinis kartotinis ir turi kryptį B kryptimi.

Vektorinės projekcijos formulės išvedimas

Vektorinės projekcijos formulės išvedimas aptariamas toliau:

Tarkime, OP =vec Air OQ =vec Bo kampas tarp OP ir OQ yra θ. Nubrėžta PN statmena OQ.

Stačiakampiame trikampyje OPN Cos θ = ON/OP

⇒ ĮJUNGTA = ĮJUNGTA Cos θ

⇒ ĮJUNGTA = |vec A| Cos θ

ON yra projekcijos vektoriusvec Aįjungtavec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

kiek mb viename GB

⇒ ĮJUNGTA =frac{vec A.vec B}

Taigi, ON =|vec A|.hat B

Taigi vektorinė projekcijavec Aįjungtavec Bpateikiamas kaipfrac{vec A.vec B}

vektorinė projekcijavec Bįjungtavec Apateikiamas kaipfrac{vec A.vec B}

: Java

Taip pat patikrinkite: Vektorių tipai

Vektorinė projekcija Svarbios sąlygos

Norėdami rasti vektoriaus projekciją, turime išmokti rasti kampą tarp dviejų vektorių ir taip pat apskaičiuoti taškinę sandaugą tarp dviejų vektorių.

Kampas tarp dviejų vektorių

Kampas tarp dviejų vektorių pateikiamas kaip atvirkštinė dviejų vektorių taško sandaugos kosinuso dalis, padalyta iš dviejų vektorių dydžio sandaugos.

Tarkime, kad turime du vektoriusvec Airvec Bkampas tarp jų yra θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Dviejų vektorių taškinė sandauga

Tarkime, kad turime du vektoriusvec Airvec Bapibrėžtas kaipvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kirvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k tada taškinė sandauga tarp jų pateikiama kaip

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Susijęs straipsnis:

• Vektorinis papildymas
• Vieneto vektorius
• Vektorinė algebra
• Tiesinė algebra

Vektorinės projekcijos formulių pavyzdžiai

1 pavyzdys. Raskite vektoriaus projekciją 4hat i + 2hat j + hat k įjungta 5hat i -3hat j + 3hat k .

Sprendimas:

Čiavec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Žinome, vektoriaus a projekcija ant vektoriaus b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

simetriškas skirtumas

2 pavyzdys. Raskite vektoriaus projekciją 5hat i + 4hat j + hat k įjungta 3hat i + 5hat j – 2hat k

Sprendimas:

Čiavec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Žinome, vektoriaus a projekcija ant vektoriaus b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

3 pavyzdys. Raskite vektoriaus projekciją 5hat i – 4hat j + hat k įjungta 3hat i – 2hat j + 4hat k

Sprendimas:

Čiavec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Žinome, vektoriaus a projekcija ant vektoriaus b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

4 pavyzdys. Raskite vektoriaus projekciją 2hat i – 6hat j + hat k įjungta 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Sprendimas:

Čiavec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Žinome, vektoriaus a projekcija ant vektoriaus b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

5 pavyzdys. Raskite vektoriaus projekciją 2hat i – hat j + 5hat k įjungta 4hat i – hat j + hat k .

Sprendimas:

Čiavec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Šarvanandas

Žinome, vektoriaus a projekcija ant vektoriaus b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Patikrinti: Vektorinės operacijos

Vektorinės projekcijos praktiniai pritaikymai ir reikšmė

Fizika

• Jėgos skilimas : Fizikoje vektorinės projekcijos formulė yra labai svarbi skaidant jėgas į lygiagrečius ir statmenus paviršiams komponentus. Pavyzdžiui, norint suprasti jėgą, kurią virvės traukimo žaidime veikia virvė, reikia projektuoti jėgos vektorių į virvės kryptį.

• Darbo apskaičiavimas : Jėgos atliktas darbas poslinkio metu apskaičiuojamas naudojant vektorinę projekciją. Darbas yra jėgos vektoriaus ir poslinkio vektoriaus taškinė sandauga, iš esmės projektuojant vieną vektorių į kitą, kad būtų galima rasti jėgos komponentą poslinkio kryptimi.

Inžinerija

• Struktūrinė analizė : Inžinieriai naudoja vektorinę projekciją komponentų įtempiams analizuoti. Projektuodami jėgos vektorius ant konstrukcijų ašių, jie gali nustatyti įtempių komponentus skirtingomis kryptimis, taip padedant projektuoti saugesnes ir efektyvesnes konstrukcijas.

• Skysčių dinamika : Skysčių dinamikoje vektorinė projekcija padeda analizuoti skysčio srautą aplink objektus. Projektuodami skysčio greičio vektorius ant paviršių, inžinieriai gali ištirti srauto modelius ir jėgas, kurios yra labai svarbios aerodinaminei konstrukcijai ir hidrotechnikai.

Kompiuterinė grafika

• Perteikimo technika : Vektorinė projekcija yra pagrindinė kompiuterinėje grafikoje šešėliams ir atspindžiams atvaizduoti. Projektuodama šviesos vektorius ant paviršių, grafikos programinė įranga apskaičiuoja šešėlių ir atspindžių kampus ir intensyvumą, padidindama 3D modelių tikroviškumą.

• Animacija ir žaidimų kūrimas : animacijoje vektorinė projekcija naudojama judesiams ir sąveikoms imituoti. Pavyzdžiui, norint nustatyti, kaip veikėjas juda nelygiu reljefu, reikia projektuoti judesio vektorius ant reljefo paviršiaus, kad būtų galima sukurti tikrovišką animaciją.

Patikrinti: Pagrindo vektoriai tiesinėje algebroje

Realaus pasaulio problemų sprendimo vektorinės projekcijos pavyzdžiai

1 pavyzdys: GPS navigacija

• Kontekstas : GPS navigacijos sistemose vektorinė projekcija naudojama trumpiausiam keliui tarp dviejų žemės paviršiaus taškų apskaičiuoti.
• Taikymas : projektuodami poslinkio vektorių tarp dviejų geografinių vietų ant žemės paviršiaus vektorių, GPS algoritmai gali tiksliai apskaičiuoti atstumus ir kryptis, optimizuodami kelionės maršrutus.

2 pavyzdys: sporto analizė

• Kontekstas : Sporto analitikoje, ypač futbole ar krepšinyje, vektorinė projekcija padeda analizuoti žaidėjų judesius ir kamuolio trajektorijas.
• Taikymas : Projektuodami žaidėjų judėjimo vektorius į žaidimo lauką ar aikštę, analitikai gali ištirti judesių modelius, greitį ir efektyvumą, taip prisidedant prie strateginio planavimo ir veiklos gerinimo.

3 pavyzdys: Atsinaujinančios energijos inžinerija

• Kontekstas : Projektuojant vėjo turbinas, norint optimizuoti energijos gamybą, būtina suprasti vėjo jėgos komponentus.
• Taikymas : Inžinieriai projektuoja vėjo greičio vektorius ant turbinos menčių plokštumos. Ši analizė padeda nustatyti optimalų menčių kampą ir orientaciją, kad būtų maksimaliai sugaunama vėjo energija.

4 pavyzdys: papildyta realybė (AR)

• Kontekstas : Papildytos realybės programose vektorinė projekcija naudojama norint tiksliai išdėstyti virtualius objektus realaus pasaulio erdvėse.
• Taikymas : projektuodami vektorius iš virtualių objektų į realaus pasaulio plokštumus, užfiksuotus AR įrenginiais, kūrėjai gali užtikrinti, kad virtualūs objektai tikroviškai sąveikauja su aplinka ir pagerina vartotojo patirtį.

Patikrinti: Vektoriaus komponentai

DUK apie vektorinę projekciją

Apibrėžkite projekcijos vektorių.

Projekcijos vektorius yra vektoriaus šešėlis ant kito vektoriaus.

Kas yra vektorinės projekcijos formulė?

Vektoriaus projekcijos formulė pateikta kaipfrac{vec A.vec B}

Kaip rasti projekcijos vektorių?

Projekcijos vektorius randamas apskaičiuojant dviejų vektorių taškinę sandaugą, padalytą iš to, ant kurio metamas šešėlis.

Kokių sąvokų reikia norint apskaičiuoti projekcijos vektorių?

Norėdami apskaičiuoti vektoriaus projekciją, turime žinoti kampą tarp dviejų vektorių ir dviejų vektorių taškinę sandaugą.

Kur naudojamas projekcijos vektorius?

Projekcijos vektorius naudojamas įvairiems fiziniams skaitiniams sprendimams išspręsti, kuriems reikalingas vektoriaus kiekis padalytas į jo komponentus.

Kokia vektorinės projekcijos reikšmė fizikoje?

Fizikoje vektorinė projekcija yra labai svarbi skaidant jėgas, apskaičiuojant darbą, kurį jėgos atlieka tam tikra kryptimi, ir analizuojant judesį. Tai padeda suprasti, kaip skirtingi vektoriaus komponentai prisideda prie efektų įvairiomis kryptimis.

Ar vektorinė projekcija gali būti neigiama?

Taip, vektoriaus projekcijos skaliarinis komponentas gali būti neigiamas, jei kampas tarp dviejų vektorių yra didesnis nei 90 laipsnių, o tai rodo, kad projekcija eina priešinga bazinio vektoriaus kryptimi.

Kaip vektorinė projekcija naudojama inžinerijoje?

Inžinieriai naudoja vektorinę projekciją, kad analizuotų konstrukcinius įtempius, optimizuotų konstrukcijas, išskaidydami jėgas į valdomus komponentus, ir skysčių dinamikoje, kad ištirtų srauto modelius prieš paviršius.

Kuo skiriasi skaliarinė ir vektorinė projekcija?

Skaliarinė projekcija nurodo vieno vektoriaus dydį kito kryptimi ir gali būti teigiama arba neigiama. Kita vertus, vektorinė projekcija ne tik atsižvelgia į dydį, bet ir nurodo projekcijos kryptį kaip vektorių.

Kas yra realaus pasaulio vektorinės projekcijos pritaikymai?

Vektorinė projekcija turi taikomųjų programų GPS navigacijoje, sporto analitikoje, kompiuterinėje grafikoje, skirtoje šešėliams ir atspindžiams atvaizduoti, ir papildytoje realybėje, skirta virtualiems objektams patalpinti realaus pasaulio erdvėse.