Šiame straipsnyje aptarsime simetrišką skirtumą tarp dviejų rinkinių. Čia taip pat aptarsime simetrinio skirtumo tarp dviejų rinkinių savybes.
Tikimės, kad šis straipsnis jums bus naudingas norint suprasti simetrišką skirtumą tarp dviejų rinkinių.
Kas yra simetriškas skirtumas?
Kitas skirtumo variantas yra simetriškas skirtumas. Tarkime, kad yra dvi aibės A ir B. Simetrinis skirtumas tarp aibių A ir B yra aibė, kurioje yra elementai, esantys abiejose aibėse, išskyrus bendruosius elementus.
Simetrinis skirtumas tarp dviejų rinkinių taip pat vadinamas disjunkcinė sąjunga . Simetrinis skirtumas tarp dviejų aibių yra elementų, kurie yra abiejuose rinkiniuose, bet ne jų sankirtoje, rinkinys. Simetrinis skirtumas tarp dviejų aibių A ir B yra pavaizduotas A D B arba A ? B .
Tai galime suprasti per pavyzdžius.
1 pavyzdys Tarkime, kad yra dvi aibės su kai kuriais elementais.
A rinkinys = {1, 2, 3, 4, 5}
B rinkinys = {3, 5}
Taigi, simetriškas skirtumas tarp nurodytų aibių A ir B yra {1, 2, 4}
Arba galime taip pasakyti A Δ B = {1, 2, 4} .
2 pavyzdys Tarkime, kad yra dvi aibės su kai kuriais elementais.
A rinkinys = {a, b, c, k, m, n}
Aibė B = {c, n}
Taigi, simetriškas skirtumas tarp nurodytų aibių A ir B yra {a, b, k, m}
Arba galime taip pasakyti A Δ B = {a, b, k, m} .
Žemiau esančioje Venno diagramoje galite pamatyti simetrišką skirtumą tarp dviejų rinkinių.
Dalis, nuspalvinta odos spalva aukščiau pateiktoje Venno diagramoje, yra simetriškas skirtumas tarp pateiktų rinkinių, t. A D B .
Pažiūrėkime kai kurias simetrinio skirtumo tarp dviejų aibių savybes.
Savybės
Yra keletas simetrinio skirtumo savybių, kurios išvardytos taip;
- Simetrinis skirtumas gali būti pavaizduotas kaip abiejų santykinių komplementų sąjunga, t.y.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Simetrinis skirtumas tarp dviejų aibių taip pat gali būti išreikštas kaip dviejų aibių sąjunga atėmus jų sankirtą -
A Δ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) - Simetrinis skirtumas yra komutacinis ir asociatyvus -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Tuščia aibė yra neutrali (matematikoje teigiama, kad neutralus elementas yra specialus elemento tipas, kurį sujungus su bet kuriuo rinkinio elementu, kad būtų atlikta dvejetainė operacija, elementas lieka nepakitęs. Jis taip pat žinomas kaip Tapatybės elementas ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Jei aibė A lygi aibei B, tai simetriškas skirtumas tarp abiejų aibių yra -
A Δ B = ∅ {kai A = B}
„Simetrinis skirtumas tarp dviejų rinkinių“ v/s „Skirtumas tarp dviejų rinkinių“
Skirtumas tarp dviejų rinkinių
Skirtumas tarp dviejų aibių A ir B yra visų tų elementų, kurie priklauso A, bet nepriklauso B, rinkinys ir žymimas A-B .
Pavyzdys: Tegu A = {1, 2, 3, 4}
ir B = {3, 4, 5, 6}
tada A - B = {3, 4} ir B - A = {5, 6}
Simetrinis skirtumas tarp dviejų rinkinių
Simetrinis skirtumas tarp dviejų rinkinių A ir B yra rinkinys, kuriame yra visi elementai, esantys A arba B, bet ne abiejuose. Jį atstovauja A D B arba A ? B .
Pavyzdys: Tegu A = {1, 2, 3, 4}
ir B = {3, 4, 5, 6}
tada A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Dabar pažiūrėkime keletą pavyzdžių, kad aiškiau suprastume simetrinį skirtumą tarp dviejų rinkinių.
Klausimas 1 - Tarkime, kad turite aibes A = {10, 15, 17, 19, 20} ir B = {15, 16, 18}. Išsiaiškinkite skirtumą tarp abiejų aibių A ir B, taip pat išsiaiškinkite simetrinį skirtumą tarp jų.
Sprendimas - Atsižvelgiant į
spyruokliniai batai
A = {10, 15, 17, 19, 20}
ir B = {15, 16, 18}
Skirtumas tarp abiejų rinkinių yra -
A – B = {10, 15, 17, 19, 20} – {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Simetrinis skirtumas tarp abiejų rinkinių yra -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} – {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
2 klausimas - Tarkime, kad turite aibes A = {2, 4, 6, 8} ir B = {2, 5, 7, 8}. Išsiaiškinkite simetrinį skirtumą B Δ A. Taip pat nubraižykite Venno diagramą, kad parodytumėte simetrinį skirtumą tarp abiejų nurodytų aibių.
Sprendimas - Duota, A = {2, 4, 6, 8} ir B = {2, 5, 7, 8}
Žinome, kad B Δ A = (B ∪ A) – (B ∩ A)
Pabandykime žingsnis po žingsnio išspręsti klausimą. Taigi, pirmas žingsnis yra rasti aibės A ir aibės B sąjungą.
Todėl (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Po to turime apskaičiuoti sankirtą tarp abiejų rinkinių.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Dabar turime rasti skirtumą tarp aibių A ir B jungties ir sankirtos, kaip nurodyta formulėje,
Taigi (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Todėl B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Kuris bus lygus A Δ B, kaip nurodyta pirmiau, „simetrinis skirtumas yra komutatyvus“. Dabar mes parodysime simetrišką skirtumą tarp abiejų rinkinių per Venno diagramą.
Venno diagramoje pirmiausia nubraižysime du apskritimus, vaizduojančius aibes A ir B. Kaip apskaičiuota aukščiau, abiejų rinkinių sankirta yra {2, 8}, todėl šiuos elementus išvardinome susikertančioje srityje. Tada išvardijame likusius elementus atitinkamuose rinkinio apskritimuose, ty {4, 6} aibėje A ir {5, 7} aibėje B. Išdėsčius elementus, Venno diagrama bus tokia:
Kai žiūrime į aukščiau pateiktą Venno diagramą, yra universali aibė U. Abi aibės A ir B yra universalios aibės U poaibis. Elementai {2, 8} yra susikertantys elementai, todėl jie pavaizduoti susikertančioje srityje. Šviesiai oranžinės spalvos sritis yra aibių sąjunga, išskyrus susikertančią sritį. Ši sritis yra simetriškas skirtumas tarp abiejų rinkinių A ir B ir bus pavaizduotas kaip -
B Δ A = (B ∪ A) – (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
3 klausimas - Tarkime, kad turite aibes A = {5, 6, 8, 9, 10} ir B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Įrodykite, kad simetrinis skirtumas yra komutatyvus naudojant duotąsias aibes.
Sprendimas - Duota, A = {5, 6, 8, 9, 10} ir B = {2, 7, 8, 9, 10}
Įrodyti: A Δ B = B Δ A
Imk LHS,
A Δ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Taigi, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Dabar paimkite RHS
B Δ A = (B ∪ A) – (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Taigi, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Todėl A Δ B = B Δ A
Taigi simetriškas skirtumas yra komutacinis.