Trigonometrija yra svarbi matematikos šaka, nagrinėjanti stačiakampio trikampio kampų ir kraštinių ilgių ryšį. Šeši trigonometriniai santykiai arba funkcijos yra sinusas, kosinusas, liestinė, kosekantas ir sekantas, o trigonometrinis santykis yra santykis tarp stačiakampio trikampio kraštinių. Sinuso, kosinuso ir liestinės funkcijos yra trys svarbios trigonometrinės funkcijos, nes kitos trys, ty kosekantinės, sekantinės ir kotangentinės funkcijos yra atitinkamai sinuso, kosinuso ir liestinės funkcijos abipusės funkcijos.

• sin θ = priešinga pusė/hipotenuzė
• cos θ = gretima pusė/hipotenūza
• tan θ = priešinga pusė/gretima pusė
• cosec θ = hipotenuzė / priešinga pusė
• sek θ = hipotenuzė/gretima pusė
• lovelė θ = gretima pusė / priešinga pusė

Tangentinė funkcija yra viena iš 6 naudojamų trigonometrinių funkcijų trigonometrijos formulės .

Turinys

• Tangento formulė
• Kai kurios pagrindinės tangentų formulės
• Tangentinė funkcija sinusinės funkcijos požiūriu
• Tangentinė funkcija kosinuso funkcijos požiūriu
• Tangentinė funkcija kotangentinės funkcijos požiūriu
• Tangentinė funkcija kosekantinės funkcijos požiūriu
• Tangentinė funkcija, kalbant apie sekantinę funkciją

Tangento formulė

Stačiakampio trikampio kampo liestinė yra priešingos kraštinės ilgio ir gretimos kraštinės ilgio santykis su nurodytu kampu. Tangento funkciją rašome kaip tan. Panagrinėkime stačiakampį trikampį XYZ, kurio vienas smailių kampų yra θ. Priešinga pusė yra ta, kuri yra priešinga kampui θ, o gretima pusė yra ta, kuri yra greta kampo θ.

Dabar duoto kampo θ liestinės formulė yra

tan θ = priešinga pusė/gretima pusė

Kai kurios pagrindinės tangentų formulės

Tangentinė funkcija kvadrantuose

Tangento funkcija yra teigiama pirmame ir trečiame kvadrantuose, o neigiama antrajame ir ketvirtame kvadrantuose.

• įdegis (2π + θ) = įdegis θ (1^Švkvadrantas)
• įdegis (π – θ) = – įdegis θ (2^ndkvadrantas)
• įdegis (π + θ) = įdegis θ (3^rdkvadrantas)
• įdegis (2π – θ) = – įdegis θ (4^thkvadrantas)

Tangentinė funkcija kaip neigiama funkcija

Liestinės funkcija yra neigiama funkcija, nes neigiamo kampo liestinė yra liestinės teigiamo kampo neigiama.

tan (-θ) = – tan θ

Tangentinė funkcija sinusinės ir kosinusinės funkcijos požiūriu

Tangentinė funkcija sinuso ir kosinuso atžvilgiu gali būti parašyta kaip,

tan θ = sin θ/cos θ

Mes žinome, kad įdegis θ = priešinga pusė/gretima pusė

Dabar padalinkite skaitiklį ir vardiklį su hipotenuze

tan θ = (priešinga pusė/hipotenūza)/(gretima pusė/hipotenūza)

Mes žinome, kad sin θ = priešinga pusė / hipotenuzė

cos θ = gretima pusė/hipotenuzė

Vadinasi, tan θ = sin θ/cos θ

Tangentinė funkcija sinusinės funkcijos požiūriu

Tangentinė funkcija sinusinės funkcijos atžvilgiu gali būti parašyta kaip,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² i)

Mes tai žinome,

tan θ = sin θ/cos θ

git status -s

Iš pitagoriečių tapatybių mes turime,

be²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – nuodėmė²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Vadinasi, tan θ = sin θ/(√1 – nuodėmė²i)

Tangentinė funkcija kosinuso funkcijos požiūriu

Tangentinė funkcija, kalbant apie kosinuso funkciją, gali būti parašyta kaip,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Mes tai žinome,

tan θ = sin θ/cos θ

Iš pitagoriečių tapatybių mes turime,

be²θ + cos²θ = 1

be²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Vadinasi, tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Tangentinė funkcija kotangentinės funkcijos požiūriu

Tangentinė funkcija, kalbant apie kotangentinę funkciją, gali būti parašyta kaip,

įdegis θ = 1/lovytė θ

arba

įdegis θ = vaikiška lovelė (90° – θ) (arba) lova (π/2 – θ)

Tangentinė funkcija kosekantinės funkcijos požiūriu

Tangentinė funkcija, kalbant apie kosekantinę funkciją, gali būti parašyta kaip,

įdegio θ = 1/√ (kosek ² aš - 1)

Iš pitagoriečių tapatybių mes turime,

cosec²θ – vaikiška lovelė²θ = 1

vaikiška lovelė²θ = kosek²aš - 1

vaikiška lovelė θ = √ (kosek²aš - 1)

Mes tai žinome,

įdegio θ = 1/lovytė θ

Vadinasi, tan θ = 1/√ (kosek²aš - 1)

Tangentinė funkcija, kalbant apie sekantinę funkciją

Tangentinė funkcija, kalbant apie sekantinę funkciją, gali būti parašyta kaip,

tan θ = √sek ² aš - 1

Iš pitagoriečių tapatybių mes turime,

sek²θ – taip²θ = 1

tan θ = sek²aš - 1

Vadinasi, tan θ = √ (sek²aš - 1)

Tangentinė funkcija dvigubo kampo požiūriu

Dvigubo kampo liestinės funkcija yra

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Tangentinė funkcija trigubo kampo atžvilgiu

Trigubo kampo liestinės funkcija yra

tan 3θ = (3 tan θ – įdegis ³ θ) / (1–3 įdeg ² i)

Liestinės funkcija pusės kampo atžvilgiu

Puskampio liestinės funkcija yra

įdegis (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Liestinės funkcija dviejų kampų sudėjimo ir atėmimo terminais

Tangentinės funkcijos sumos ir skirtumo formulės yra

įdegis (A + B) = (įdegis A + įdegis B)/(1 – įdegis A įdegis B)

įdegis (A – B) = (įdegis A – įdegis B)/(1 + įdegis A įdegis B)

Trigonometrinių santykių lentelė

Išspręstas liestinių formulių pavyzdys

1 pavyzdys: Raskite tan θ reikšmę, jei sin θ = 2/5 ir θ yra pirmasis kvadranto kampas.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

• sin θ = 2/5

Iš mūsų turimų pitagoriečių tapatybių,

be²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – nuodėmė²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Kadangi θ yra pirmasis kvadranto kampas, cos θ yra teigiamas.

cos θ = √21/5

Mes tai žinome,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

įdegio θ = 2√21 /21

Taigi, tan θ reikšmė, kai sin θ = 2/5 ir θ yra pirmame kvadrante, yra (2√21) /(21)

2 pavyzdys: Raskite tan x reikšmę, jei sek x = 13/12 ir x yra ketvirtasis kvadranto kampas.

Sprendimas:

Pateikta sek. x = 13/12

Iš pitagoriečių tapatybių mes turime,

sek²x – taip²x = 1

taip²x = sek²x – 1 = (13/12)²– 1

taip²x = (169/144) – 1 = 25/144

įdegis x = ± 5/12

Kadangi x yra ketvirtasis kvadranto kampas, tan x yra neigiamas.

įdegis x = – 5/12

Vadinasi, įdegis x = – 5/12

3 pavyzdys: jei tan X = 2/3 ir tan Y = 1/2, tai kokia yra tan reikšmė (X + Y)?

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

įdegis X = 2/3 ir įdegis Y = 1/2

Mes tai žinome,

įdegis (X + Y) = (rusvai įdegis X + įdegis Y)/(1 – įdegis X įdegis Y)

įdegis (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3) × (1/2)]

mano gyvas kriketas

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Vadinasi, įdegis (X + Y) = 7/4

4 pavyzdys: Apskaičiuokite liestinės funkciją, jei gretimos ir priešingos stačiakampio trikampio kraštinės yra atitinkamai 4 cm ir 7 cm.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

Gretima pusė = 4 cm

Priešinga pusė = 7 cm

Mes tai žinome,

tan θ = priešinga pusė/gretima pusė

tan θ = 7/4 = 1,75

Vadinasi, tan θ = 1,75

5 pavyzdys: Vyras žiūri į laikrodžio bokštą 60° kampu į bokšto viršūnę, kurio aukštis yra 100 m. Koks atstumas tarp žmogaus ir bokšto papėdės?

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

Bokšto aukštis = 100 m, o θ = 60°

Tegul atstumas tarp žmogaus ir bokšto papėdės = d

Mes turime,

tan θ = priešinga pusė/gretima pusė

įdegis 60° = 100/d

√3 = 100 per dieną [nuo tada 60° = √3]

d = 100/√3

Todėl atstumas tarp žmogaus ir bokšto papėdės yra 100/√3

6 pavyzdys: Raskite tan θ reikšmę, jei sin θ = 7/25 ir sec θ = 25/24.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

sin θ = 7/25

sek θ = 25/24

Mes tai žinome,

sek θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Mes turime,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Vadinasi, įdegio θ = 7/24

7 pavyzdys: Raskite tan θ reikšmę, jei cosec θ = 5/3, o θ yra pirmasis kvadranto kampas.

Sprendimas:

Duota, cosec θ = 5/3

Iš pitagoriečių tapatybių mes turime,

123 filmas

cosec²θ – vaikiška lovelė²θ = 1

vaikiška lovelė²θ = kosek²aš - 1

vaikiška lovelė θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

vaikiška lovelė θ = ±√16/9 = ± 4/3

Kadangi θ yra pirmasis kvadranto kampas, tiek kotangentinės, tiek tangentinės funkcijos yra teigiamos.

vaikiška lovelė θ = 4/3

Mes tai žinome,

vaikiška lovelė θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

įdegio θ = 3/4

Vadinasi, įdegio θ = 3/4

8 pavyzdys: Raskite tan 3θ, jei sin θ = 3/7 ir θ yra pirmasis kvadranto kampas.

Sprendimas:

Duota, nuodėmė θ = 12/13

Iš mūsų turimų pitagoriečių tapatybių,

be²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – nuodėmė²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Kadangi θ yra pirmasis kvadranto kampas, cos θ yra teigiamas.

cos θ = 5/13

Mes tai žinome,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Vadinasi, tan θ = 12/5

Dabar mes žinome, kad

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1–3 tan2θ)

įdegis 3θ = 3 × (12/5)