Permutacija ir derinimas yra pagrindinės matematikos sąvokos ir su šiomis sąvokomis studentams pristatoma nauja matematikos šaka, ty kombinatorika. Permutacija ir derinys yra būdai, kaip išdėstyti objektų grupę, pasirenkant juos tam tikra tvarka ir formuojant jų poaibius.

Duomenų grupėms išdėstyti tam tikra tvarka naudojamos permutacijos ir kombinacijų formulės. Duomenų ar objektų pasirinkimas iš tam tikros grupės vadinamas permutacija, o jų išdėstymo tvarka vadinama deriniu.

Permutacijos ir deriniai

Šiame straipsnyje mes išnagrinėsime permutacijos ir kombinacijos sąvoką ir jų formules, naudodami jas sprendžiant daugelį pavyzdžių problemų.

Turinys

• Permutacijos reikšmė
• Derinio reikšmė
• Permutacijos ir derinimo formulių išvedimas
• Skirtumas tarp permutacijos ir derinio
• Išspręsti permutacijos ir derinimo pavyzdžiai

Permutacijos reikšmė

Permutacija yra atskiras pateikto skaičiaus komponentų, perduodamų po vieną, kai kuriuos arba visus vienu metu, aiškinimas. Pavyzdžiui, jei turime du komponentus A ir B, tada yra du tikėtini rezultatai – AB ir BA.

Permutacijų skaičius, kai „r“ komponentai yra išdėstyti iš bendro „n“ komponentų skaičiaus ⁿ P _r . Pavyzdžiui, tegul n = 3 (A, B ir C) ir r = 2 (visos 2 dydžio permutacijos). Tada yra ³ P ₂ tokios permutacijos, kuri lygi 6. Šios šešios permutacijos yra AB, AC, BA, BC, CA ir CB. Šešios A, B ir C permutacijos, paimtos po tris, parodytos toliau pateiktame paveikslėlyje:

Permutacijos reikšmė

Permutacijos formulė

Permutacijos formulė naudojamas norint rasti pasirinkimo būdų skaičių r daiktai iš n skirtingi dalykai tam tikra tvarka ir keitimas neleidžiami ir pateikiami taip:

Permutacijos formulė

Permutacijos formulės paaiškinimas

Kaip žinome, permutacija yra r dalykų išdėstymas iš n, kur išdėstymo tvarka yra svarbi (AB ir BA yra dvi skirtingos permutacijos). Jei yra trys skirtingi skaitmenys 1, 2 ir 3 ir jei kam nors smalsu permutuoti tuos skaitmenis, kurių skaičius yra 2, tai rodo (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3). ), (3, 1) ir (3, 2). Tai yra, tai galima padaryti 6 būdais.

Čia (1, 2) ir (2, 1) yra skirtingi. Vėlgi, jei šie 3 skaitmenys bus tvarkomi vienu metu, tada interpretacijos bus (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) ir (3, 2, 1), t. y. 6 būdais.

Apskritai, n skirtingų dalykų galima nustatyti naudojant r (r^thdaiktas gali būti bet kuris iš likusių n – (r – 1) dalykų.

Taigi visas n skirtingų dalykų, turinčių r vienu metu, permutacijų skaičius yra n (n – 1) (n – 2)…[n – (r – 1)], kuris rašomas kaipⁿP_r. Arba, kitaip tariant,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Derinio reikšmė

Tai atskiros bendro komponentų skaičiaus dalys, vežamos po vieną, kai kurios arba visos vienu metu. Pavyzdžiui, jei yra du komponentai A ir B, tada yra tik vienas būdas pasirinkti du dalykus – pasirinkti abu.

Pavyzdžiui, tegul n = 3 (A, B ir C) ir r = 2 (visi 2 dydžio deriniai). Tada yra ³ C ₂ tokie deriniai, kurie lygūs 3. Šios trys kombinacijos yra AB, AC ir BC.

Čia, derinys iš bet kurių dviejų raidžių iš trijų raidžių A, B ir C, parodytos žemiau, pastebime, kad kartu tvarka, kuria paimti A ir B, nėra svarbi, nes AB ir BA reiškia tą patį derinį.

Derinio reikšmė

Pastaba: Tame pačiame pavyzdyje turime skirtingus permutacijos ir derinimo taškus. Nes AB ir BA yra du skirtingi elementai, ty dvi skirtingos permutacijos, tačiau pasirenkant AB ir BA yra tas pats, ty tas pats derinys.

Kombinuota formulė

Kombinuota formulė naudojama norint pasirinkti „r“ komponentus iš bendro „n“ komponentų skaičiaus ir pateikiama taip:

Kombinuota formulė

Naudodami aukščiau pateiktą r ir (n-r) formulę, gauname tą patį rezultatą. Taigi,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Kombinuotosios formulės paaiškinimas

Kita vertus, derinys yra pakuotės tipas. Vėlgi, iš šių trijų skaičių 1, 2 ir 3, jei aibės sudaromos su dviem skaičiais, tada deriniai yra (1, 2), (1, 3) ir (2, 3).

Čia (1, 2) ir (2, 1) yra identiški, skirtingai nei permutacijos, kur jos skiriasi. Tai parašyta kaip³C₂. Apskritai n skirtingų dalykų, paimtų r vienu metu, derinių skaičius yra

perjungimo metodas java

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Permutacijos ir derinimo formulių išvedimas

Šias permutacijos ir kombinacijų formules galime išvesti naudodami pagrindinius skaičiavimo metodus, nes šios formulės reiškia tą patį. Šių formulių išvedimas yra toks:

Permutacijų formulės išvedimas

Permutacija yra r skirtingų objektų atrinkimas iš n objektų be pakeitimo ir ten, kur atrankos tvarka yra svarbi, remiantis pagrindine skaičiavimo teorema ir permutacijos apibrėžimu, gauname

P (n, r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Padauginus ir padalijus aukščiau iš (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, gauname

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n−r)!] / (n−r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Taigi gaunama P (n, r) formulė.

Derinių formulės išvedimas

Derinys yra r elementų pasirinkimas iš n elementų, kai pasirinkimo tvarka nėra svarbi. Jo formulė apskaičiuojama taip,

C(n, r) = bendras permutacijų skaičius / skirtingų objektų išdėstymo būdų skaičius.
[Kadangi pagal pagrindinę skaičiavimo teoremą žinome, kad būdų, kaip išdėstyti r skirtingus objektus r būdais, skaičius = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Taigi gaunama kombinacijos formulė, ty C(n, r).

Skirtumas tarp permutacijos ir derinio

Skirtumai tarp permutacijos ir derinio galima suprasti iš šios lentelės:

Taip pat patikrinkite,

• Binominė teorema
• Binominis išplėtimas
• Dvejetainiai atsitiktiniai kintamieji
• Pagrindinė skaičiavimo teorema

Išspręsti permutacijos ir derinimo pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskite permutacijų ir derinių skaičių n = 9 ir r = 3 .

Sprendimas:

Duota, n = 9, r = 3

Naudojant aukščiau pateiktą formulę:

Dėl permutacijos:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Deriniui:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

2 pavyzdys: kiek būdų komitetą, kurį sudaro 4 vyrai ir 2 moterys, galima pasirinkti iš 6 vyrų ir 5 moterų?

Sprendimas:

Pasirinkite 4 vyrus iš 6 vyrų =⁶C₄būdai = 15 būdų

Pasirinkite 2 moteris iš 5 moterų =⁵C₂būdai = 10 būdų

Komitetą galima pasirinkti⁶C₄×⁵C₂= 150 būdų.

3 pavyzdys: kiek būdų lentynoje gali būti išdėstytos 5 skirtingos knygos?

Sprendimas:

Tai permutacijos problema, nes svarbi knygų tvarka.

Naudodami permutacijos formulę gauname:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Todėl yra 120 būdų, kaip lentynoje išdėstyti 5 skirtingas knygas.

4 pavyzdys: Kiek 3 raidžių žodžių galima sudaryti naudojant raides iš žodžio FABLE?

Sprendimas:

Tai permutacijos problema, nes svarbi raidžių tvarka.

Naudodami permutacijos formulę gauname:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Todėl yra 60 3 raidžių žodžių, kuriuos galima sudaryti naudojant žodžio FABLE raides.

5 pavyzdys: 5 narių komitetas turi būti sudarytas iš 10 žmonių grupės. Kiek būdų tai galima padaryti?

Sprendimas:

javascript kelių eilučių eilutė

Tai derinio problema, nes narių eilės tvarka nesvarbu.

Naudodami kombinuotą formulę gauname:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Todėl yra 252 būdai iš 10 žmonių grupės suformuoti 5 narių komitetą.

6 pavyzdys: picų restoranas siūlo 4 skirtingus picų priedus. Jei klientas nori užsisakyti picą su lygiai 2 priedais, keliais būdais tai galima padaryti?

Sprendimas:

Tai yra derinio problema, nes priedų tvarka nėra svarbi.

Naudodami kombinuotą formulę gauname:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Todėl yra 6 būdai, kaip užsisakyti picą su lygiai 2 priedais iš 4 skirtingų priedų.

7 pavyzdys: Kiek daug žodžių galima sukurti naudojant 2 raides iš termino MEILĖ?

Sprendimas:

Žodis MEILĖ turi 4 skirtingas raides.

Todėl reikalingas žodžių skaičius =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Reikalingas žodžių skaičius = 4! / 2! = 24/2

⇒ Reikalingas žodžių skaičius = 12

8 pavyzdys: Kiek žodžių iš 3 priebalsių ir 2 balsių galima sudaryti iš 5 priebalsių ir 3 balsių?

Sprendimas:

3 priebalsių pasirinkimo būdų skaičius iš 5 =⁵C₃

2 balsių iš 3 pasirinkimo būdų skaičius =³C₂

3 priebalsių iš 2 ir 2 balsių iš 3 pasirinkimo būdų skaičius =⁵C₃׳C₂

⇒ Reikalingas skaičius = 10 × 3

= 30

Tai reiškia, kad galime turėti 30 grupių, kurių kiekvienoje iš viso yra 5 raidės (3 priebalsiai ir 2 balsės).

5 raidžių išdėstymo tarpusavyje būdų skaičius

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Vadinasi, reikalingas būdų skaičius = 30 × 120

⇒ Reikalingas būdų skaičius = 3600

9 pavyzdys: Kiek skirtingų derinių gausite, jei turite 5 elementus ir pasirinksite 4?

Sprendimas:

Įveskite pateiktus skaičius į derinių lygtį ir išspręskite. n yra rinkinyje esančių elementų skaičius (šiame pavyzdyje 5); r yra jūsų pasirinktų elementų skaičius (šiame pavyzdyje 4):

C(n, r) = n! / r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5-4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Sprendimas yra 5.

10 pavyzdys: kiek posakių iš 6 priebalsių ir 3 balsių galima sukurti iš 2 priebalsių ir 1 balsės?

Sprendimas:

2 priebalsių iš 6 pasirinkimo būdų skaičius =⁶C₂

1 balsių iš 3 pasirinkimo būdų skaičius =³C₁

3 priebalsių iš 7 ir 2 balsių iš 4 pasirinkimo būdų skaičius.

⇒ Reikalingi būdai =⁶C₂׳C₁

⇒ Reikalingi būdai = 15 × 3

⇒ Reikalingi būdai = 45

Tai reiškia, kad galime turėti 45 grupes, kurių kiekvienoje iš viso yra 3 raidės (2 priebalsiai ir 1 balsė).

3 raidžių išdėstymo tarpusavyje būdų skaičius = 3! = 3 × 2 × 1

mvc java

⇒ Reikalingi trijų raidžių išdėstymo būdai = 6

Vadinasi, reikalingas būdų skaičius = 45 × 6

⇒ Reikalingi būdai = 270

11 pavyzdys: kiek skirtingų formų ar termino „TELEFONAS“ raides galima išdėstyti taip, kad balsės būtų nuoseklios ateiti kartu?

Sprendimas:

Žodį „TELEFONAS“ sudaro 5 raidės. Jame yra balsių „O“, „E“ ir šie 2 balsiai turi būti nuosekliai sujungti. Taigi šias dvi balses galima sugrupuoti ir žiūrėti kaip į vieną raidę. Tai yra, PHN (OE).

Todėl iš viso galime paimti 4 raides ir visos šios raidės yra skirtingos.

Šių raidžių organizavimo būdų skaičius = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Reikalingi raidžių išdėstymo būdai = 24

Visi 2 balsiai (OE) yra skirtingi.

Šių balsių išdėstymo būdų skaičius = 2! = 2 × 1

⇒ Reikalingi balsių išdėstymo būdai = 2

Vadinasi, reikalingas būdų skaičius = 24 × 2

⇒ Reikalingi būdai = 48.

DUK apie permutacijas ir derinius

Kas yra faktorinė formulė?

Permutacijų ir kombinacijų skaičiavimui naudojama faktorinė formulė. Faktorinė formulė n! pateikiamas kaip

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Pavyzdžiui, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 ir 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Kas daro ⁿ C _r atstovauti?

ⁿC_rreiškia derinių, iš kurių galima sudaryti, skaičių n objektų paėmimas r tuo metu.

Ką turite omenyje permutacijas ir derinius?

Permutacija yra daiktų išdėstymas tam tikra tvarka. Deriniai yra atrankos būdai r objektai iš grupės n objektai, kur pasirinkto objekto tvarka neturi įtakos bendrai kombinacijai.

Parašykite permutacijų ir derinių pavyzdžius.

3 raidžių žodžių skaičius, kurį galima sudaryti naudojant žodžio „SVEIKA“ raides;⁵P₃= 5!/(5-3)! tai permutacijos pavyzdys.
Derinių skaičius, kurį galime rašyti naudodami žodžio HELLO balses;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], tai yra derinio pavyzdys.

Parašykite permutacijų ir kombinacijų radimo formulę.

• Permutacijų skaičiavimo formulė: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Derinių skaičiavimo formulė: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Parašykite keletą realių permutacijų ir derinių pavyzdžių.

Žmonių, skaičių, raidžių ir spalvų rūšiavimas yra keletas permutacijų pavyzdžių.
Meniu, drabužių ir temų pasirinkimas yra derinių pavyzdžiai.

Kokia yra 0 reikšmė!?

0 reikšmė! = 1, yra labai naudingas sprendžiant permutacijos ir derinimo problemas.