logo

TechCodeview

Paskalio trikampis

Paskalio trikampis yra skaitinis raštas, išdėstytas trikampio pavidalu. Šiame trikampyje pateikiami bet kurios dvinario išraiškos išplėtimo koeficientai, skaičiai išdėstyti taip, kad sudarytų trikampio formą. ty antroji Paskalio trikampio eilutė reiškia koeficientus (x+y)2ir taip toliau.

Paskalio trikampyje kiekvienas skaičius yra aukščiau nurodytų dviejų skaičių suma. Paskalio trikampis turi įvairių pritaikymų tikimybių teorijoje, kombinatorikoje, algebroje ir įvairiose kitose matematikos šakose.



Leiskite mums sužinoti daugiau apie Šiame straipsnyje išsamiai aprašomas Paskalio trikampis, jo konstrukcija ir įvairūs Paskalio trikampio modeliai.

Turinys

Kas yra Paskalio trikampis?

Jis pavadintas garsaus filosofo ir matematiko Balise Pascal vardu, kuris sukūrė skaičių modelį, prasidedantį 1, o po juo esantys skaičiai yra minėtų skaičių suma. Pirmiausia užsirašykite skaičių 1, kad pradėtumėte kurti Paskalio trikampį. Antroji eilutė vėl užrašoma dviem 1. Kitos eilutės generuojamos naudojant ankstesnes eilutes, kad būtų sudarytas skaičių trikampis. Kiekviena eilutė prasideda ir baigiasi 1.



Pagrindinė Paskalio trikampio struktūra parodyta toliau pateiktame paveikslėlyje,

Kas yra Paskalio trikampis?

Paskalio trikampį apibrėžiame kaip pagrindinį skaičių rinkinį, išdėstytą trikampyje taip, kad kiekvienas Paskalio trikampio elementas būtų dviejų virš jo esančių skaičių suma. Paskalio trikampis prasideda skaičiumi 1, o tai pirmą kartą pasiūlė garsus prancūzų matematikas Balise Pascal ir todėl pavadintas Paskalio trikampiu.

Šis trikampis reiškia įvairių galių dvinario plėtimosi koeficientus. (turime įsitikinti, kad dvinario plėtimosi galia yra tik natūralusis skaičius, tada tik Paskalio trikampis reiškia dvinario plėtimosi koeficientus).



Paskalio trikampio apibrėžimas

Paskalio trikampis yra trikampis skaičių masyvas, kuriame kiekvienas skaičius yra dviejų, esančių tiesiai virš jo, suma.

Paskalio trikampio konstrukcija

Mes galime lengvai sukurti trikampį Pad=scal, tiesiog pridėdami du aukščiau esančios eilutės skaičius, kad gautume kitą skaičių žemiau esančioje eilutėje. Galime daryti prielaidą, kad nulinė eilutė prasideda vienu elementu 1, o tada antroje eilutėje esantis elementas yra 1 1, kuris sudaromas pridedant 1+0 ir 1+0. Panašiai antrosios eilės elementai yra, 1 2 1 2kurie sudaromi sudedant, 1+0, 1+1 ir 1+0, ir taip gaunami elementai trečioje eilėje. Išplėtę šią sąvoką iki n-osios eilutės, gauname Paskalio trikampį su n+1 eilučių.

Paskalio trikampis iki 3 eilutės parodytas paveikslėlyje žemiau,

Iš aukščiau pateikto paveikslo lengvai pastebime, kad pirmasis ir paskutinis elementas kiekvienoje eilutėje yra 1.

Paskalio trikampio formulė

Paskalio trikampio formulė yra formulė, naudojama norint rasti skaičių, kuris turi būti užpildytas m-ajame stulpelyje ir n-toje eilutėje. Kaip žinome, Paskalio trikampio terminai yra aukščiau esančios eilutės terminų suma. Taigi mums reikia elementų (n-1)-oje eilutėje ir (m-1)-oje bei n-tojoje stulpeliuose, kad gautume reikiamą skaičių m-oje ir n-toje eilutėje.

Skaitykite išsamiai: Paskalio trikampio formulė

Pateikti Paskalio trikampio n-osios eilutės elementai,nC0,nC1,nC2,…,nCn.

Bet kurio skaičiaus Paskalio trikampyje radimo formulė yra tokia:

n Cm = n-1 C m-1 + n-1 C m

kur,

  • n C m reiškia (m+1)-ąjį elementą n-oje eilutėje. ir
  • n yra neneigiamas sveikasis skaičius [0 ≤ m ≤ n]

Šią formulę galime suprasti naudodami toliau aptartą pavyzdį,

Pavyzdys: Raskite trečiąjį elementą trečioje Paskalio trikampio eilutėje.

Sprendimas:

Turime rasti 3 elementą Paskalio trikampio 3 eilutėje.

Paskalio trikampio formulė yra

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

kurnCkatstovauti (k+1)thelementas ntheilė.

Taigi 3-ias elementas 3-ioje eilutėje yra

3C2=2C1+2C2

⇒3C2= 2 + 1

⇒3C2= 3

Taigi trečiasis elementas Paskalio trikampio trečioje eilutėje yra 3.

Paskalio trikampio dvinario plėtra

Mes galime lengvai rasti koeficientą dvinario plėtra naudojant Paskalio trikampį. Elementai Paskalio trikampio (n+1) eilutėje reiškia daugianario (x + y) išplėstinės išraiškos koeficientą.n.

Žinome, kad (x + y) išplėtimasnyra,

(x + y)n= a0xn+ a1xn-1ir + a2xn-2ir2+ … + an-1xyn-1+ anirn

Čia, a0, a1, a2, a3, …., anyra terminas Paskalio trikampio (n+1) eilutėje

Pavyzdžiui, žr. (x+y) išplėtimą4

(x + y)4=4C0x4+4C1x3ir +4C2x2ir2+4C3xy3+4C4x0ir4

⇒ (x + y)4= (1)x4+ (4)x3y + (6)x2ir2+ (4)xy3+ (1) m4

Čia koeficientai 1, 4, 6, 4 ir 1 yra Paskalio trikampio ketvirtosios eilutės elementai.

Kaip naudoti Paskalio trikampį?

Mes naudojame Paskalio trikampį, kad rastume įvairius galimų rezultatų atvejus tikimybių sąlygomis. Tai galima suprasti pagal šį pavyzdį, kai mesti monetą vieną kartą gauname du rezultatus, ty H ir T, tai reiškia elementas pirmoje Paskalio trikampio eilutėje.

Panašiai mesdami monetą du kartus gauname tris rezultatus, t. y. {H, H}, {H, T}, {T, H} ir {T, T} šią sąlygą vaizduoja elementas antroje Paskalio trikampio eilutėje.

Taigi, mes galime lengvai pasakyti galimą monetos eksperimento rezultatų skaičių, tiesiog stebėdami atitinkamus Paskalio trikampio elementus.

Žemiau esančioje lentelėje aprašomi atvejai, kai moneta metama vieną, du, tris ir keturis kartus, ir apie tai, kaip tai atitinka Paskalio trikampį.

Metimų skaičius
ARBA
Paskalių trikampio eilutė

Galimi rezultatai

Elementai Paskalio trikampyje

1

{H},

{T}

vienuolika

2

{HH},

{HT}, {TH},

{TT}

1 2 1

3

{HHH},

{HHT}, {HTH}, {THH}

{HTT}, {THT}, {TTH},

{TTT}

Linux paleisti cmd

1 3 3 1

4

{HHHH},

{HHHT}, {HHTH}, {HTHH}, {THHH},

{HHTT}, {HTHT}, {HTTH}, {THHT}, {THTH}, {TTHH},

{HTTT}, {THTT}, {TTHT}, {TTTH},

{TTTT}

1 4 6 4 1

Paskalio trikampio modeliai

Paskalio trikampyje stebime įvairius modelius, jie yra:

  • Eilučių papildymas
  • Pirminiai skaičiai trikampyje
  • Paskalio trikampio įstrižainės
  • Fibonačio raštas

Eilučių papildymas

Atidžiai stebėdami Paskalio trikampį, galime daryti išvadą, kad bet kurios Paskalio trikampio eilutės suma yra lygi 2 laipsniui. Tos pačios formulės yra: Bet kuriam (n+1)thPaskalio trikampio eilutėje visų elementų suma yra 2n

Taikydami šią formulę pirmose 4 Paskalio trikampio eilutėse, gauname,

1 = 1 = 20

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

Pirminiai skaičiai Paskalio trikampyje

Kitas labai įdomus Paskalio trikampio modelis yra tas, kad jei eilutė prasideda pirminiu skaičiumi (neatsižvelgiama į 1 kiekvienos eilutės pradžioje), tada visi tos eilutės elementai dalijasi iš to pirminio skaičiaus. Šis modelis negalioja sudėtiniams skaičiams.

Pavyzdžiui, aštunta Paskalio trikampio eilutė yra

1 7 21 35 35 21 7 1

Čia visi elementai dalijasi iš 7.

Eilučių, prasidedančių sudėtiniais skaičiais, pvz., penktoji eilutė,

1 4 6 4 1

Šablonas neatitinka tikrovės, nes 4 neskiria 6.

Paskalio trikampio įstrižainės

Kiekviena Paskalio trikampio dešinė įstrižainė, kai laikoma seka, reiškia skirtingus skaičius, pavyzdžiui, pirmoji dešinė įstrižainė reiškia skaičių 1 seką, antroji dešinė įstrižainė reiškia trikampius skaičius, trečioji dešinė įstrižainė reiškia tetraedrinius skaičius, ketvirta dešinė įstrižainė. reiškia Penelopės skaičius ir pan.

Fibonačio seka Paskalio trikampyje

Mes galime lengvai gauti Fibonačio seką tiesiog pridėję skaičius Paskalio trikampio įstrižainėse. Šis modelis parodytas toliau pridėtame paveikslėlyje,

Paskalio trikampio savybės

Įvairios Paskalio trikampio savybės yra

  • Kiekvienas skaičius Paskalio trikampyje yra virš jo esančio skaičiaus suma.
  • Paskalio trikampio pradžios ir pabaigos skaičiai visada yra 1.
  • Pirmoji Paskalio trikampio įstrižainė reiškia natūralųjį skaičių arba skaičiavimo skaičius.
  • Elementų suma kiekvienoje Paskalio trikampio eilutėje pateikiama naudojant laipsnį 2.
  • Kiekvienos eilutės elementai yra 11 laipsnio skaitmenys.
  • Paskalio trikampis yra simetriškas trikampis.
  • Bet kurios Paskalio trikampio eilutės elementai gali būti naudojami dvinario plėtimosi koeficientams pavaizduoti.
  • Išilgai Paskalio trikampio įstrižainės stebime Fibonačio skaičius.
  • Binominė teorema
  • Binominiai atsitiktiniai kintamieji ir dvejetainis skirstinys

Paskalio trikampio pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskite Paskalio trikampio penktoji eilutė.

Sprendimas:

Paskalio trikampis su 5 eilėmis parodytas paveikslėlyje žemiau,

2 pavyzdys: išskleiskite naudodami Paskalio trikampį (a + b) 2 .

Sprendimas:

tojson java

Pirmiausia parašykite bendrąsias išraiškas be koeficientų.

(a + b)2= c0a2b0+ c1a1b1+ c2a0b2

Dabar sukurkime Paskalio trikampį 3 eilėms, kad sužinotume koeficientus.

Paskutinės eilutės reikšmės suteikia mums koeficientų reikšmę.

c0= 1, c1= 2, c2=1

(a + b)2= a2b0+ 2a1b1+ a0b2

Taip patikrinta.

3 pavyzdys: išskleiskite naudodami Paskalio trikampį (a + b) 6 .

Sprendimas:

Pirmiausia parašykite bendrąsias išraiškas be koeficientų.

(a + b)6= c0a6b0+ c1a5b1+ c2a4b2+ c3a3b3+ c4a2b4+ c5a1b5+ c6a0b6

Dabar sukurkime Paskalio trikampį 7 eilėms, kad sužinotume koeficientus.

Paskutinės eilutės reikšmės suteikia mums koeficientų reikšmę.

c0= 1, c1= 6, c2= 15, c3= 20, c4=15, c5= 6 ir c6= 1.

(a + b)6= 1a6b0+ 6a5b1+ 15a4b2+ 20a3b3+ 15a2b4+ 6a1b5+ 1a0b6

4 pavyzdys: Raskite antrą elementą Paskalio trikampio trečioje eilutėje.

Sprendimas:

Turime rasti 2-ąjį elementą Paskalio trikampio 3-ioje eilutėje.

Žinome, kad Paskalio trikampio n-oji eilutė yranC0,nC1,nC2,nC3…

Paskalio trikampio formulė yra

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

kurnCkatstovauti (k+1)thelementas ntheilė.

Taigi 2-asis elementas 3-ioje eilutėje yra

3C1=2C0+2C1

= 1 + 2

= 3

Taigi antrasis elementas Paskalio trikampio trečioje eilutėje yra 3.

5 pavyzdys: Moneta metama keturis kartus, suraskite tikimybę gauti lygiai 2 uodegas.

Sprendimas:

Naudojant Paskalio trikampio formulę,

Bendras rezultatų skaičius = 24= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Čia gauname keturis atvejus, kai gauname 2 uodegas,

Taigi,

Tikimybė gauti dvi uodegas = palankus rezultatas / bendras rezultatas

= 4/16 = 1/4

Taigi tikimybė gauti lygiai dvi uodegas yra 1/4 arba 25%

Santrauka – Paskalio trikampis

Paskalio trikampis yra trikampis skaičių išdėstymas, kur kiekvienas skaičius yra dviejų skaičių, esančių tiesiai virš jo, suma. Šis trikampis, pavadintas matematiko Blaise'o Pascalio vardu, viršuje prasideda skaičiumi 1, o kiekviena eilutė prasideda ir baigiasi 1. Paskalio trikampio skaičiai atitinka dvinario plėtimosi koeficientus, todėl jis yra naudingas algebroje, tikimybei ir kombinatorika. Trikampio šablonai apima eilučių sumas, kurios yra 2 laipsniai, jungtys su Fibonačio seka ir pirminių skaičių buvimas. Paskalio trikampis taip pat padeda skaičiuoti derinius ir suprasti tikimybių eksperimentų, pavyzdžiui, monetų metimo, rezultatus.

DUK apie Paskalio trikampį

Kas yra Paskalio trikampis?

Garsaus matematiko Balise Pascal pasiūlytas trikampis skaičių masyvas vadinamas Paskalio trikampiu. Šis trikampis prasideda skaičiumi 1, o kitoje eilutėje pradžios ir pabaigos skaičiai nustatomi kaip 1, tada vidurinis skaičius generuojamas imant aukščiau nurodytų dviejų skaičių sumą.

Kuo naudojamas Paskalio trikampis?

Paskalio trikampiai naudojami įvairiai,

  • Jis naudojamas binominiam plėtimosi koeficientui rasti.
  • Tai yra alternatyvus būdas išplėsti dvejetainius terminus.
  • Jis naudojamas algebroje, tikimybių teorijoje, permutacijose ir kombinacijose bei kitose matematikos šakose.

Kas yra Paskalio trikampio panaudojimas dvinario plėtra?

Mes naudojame Paskalio trikampį, kad lengvai rastume bet kurio dvejetainio išplėtimo nario koeficientą. Bet kuri Paskalio trikampio eilutė (tarkim n-oji) reiškia (x+y) dvinario plėtimosi koeficientą.n. Pavyzdžiui, antroji Paskalio trikampio eilutė yra 1 2 1 ir (x+y) išplėtimas2

(x+y)2= x2+ 2xy + y2

Čia kiekvieno nario koeficientas yra 1 2 1, kuris panašus į 2-ąją Paskalio trikampio eilutę.

Kokie yra įvairūs Paskalio trikampio raštai?

Įvairūs modeliai, kuriuos lengvai radome Paskalio trikampyje:

  • Trikampis raštas
  • Nelyginis ir lyginis modelis
  • Fibonačio raštas
  • Simetriškas modelis

Kas yra 5thPaskalio trikampio eilė?

Penktoji Paskalio trikampio eilutė pavaizduota žemiau,

1 5 10 10 5 1

Žinome, kad visų elementų suma bet kurioje eilutėje pateikiama naudojant 2nkur n reiškia eilučių skaičių. Taigi visų 5-osios eilutės terminų suma yra

25= 32

Kas yra pirmasis Paskalio trikampio eilutės elementas?

Paskalio trikampio kiekvienos eilutės pirmasis elementas yra 1. Šį terminą vadiname 0-uoju eilutės nariu.