A Hiperbolė yra lygi kreivė plokštumoje su dviem viena kitą atspindinčiomis šakomis, primenančiomis du begalinius lankus. Tai kūgio pjūvis, suformuotas susikertant dešinįjį apskritą kūgį su plokštuma tokiu kampu, kad susikerta abi kūgio pusės.

Sužinokime apie hiperbolę išsamiai, įskaitant jos lygtį, formules, ypatybes, grafikus ir išvedimą.

Hiperbolė

Turinys

• Kas yra Hiperbolė?
• Hiperbolės apibrėžimas
• Hiperbolės lygtis
• Hiperbolės dalys
• Hiperbolės ekscentriškumas
• Standartinė hiperbolės lygtis
• Dešinė hiperbolės pusė
• Hiperbolės lygties išvedimas
• Hiperbolės formulė
• Hiperbolės grafikas
• Konjuguota hiperbolė
• Hiperbolės savybės
• Pagalbiniai hiperbolės apskritimai
• Stačiakampė hiperbolė
• Parametrinis hiperbolės vaizdavimas
• Hiperbolė 11 klasė
• Išspręsti hiperbolės pavyzdžiai
• Praktikos problemos dėl hiperbolės

Kas yra Hiperbolė?

Hiperbolė yra taškų, kurių atstumų nuo dviejų židinių skirtumas yra fiksuota reikšmė, lokusas. Šis skirtumas gaunamas atimant artimesnio židinio atstumą iš tolimesnio židinio atstumo.

Jei P (x, y) yra hiperbolės taškas, o F, F' yra du židiniai, tada hiperbolės vieta yra

PF – PF' = 2a

Pastaba: Norėdami pamatyti paveikslėlį, žr. diagramą, pridėtą išvedime.

Hiperbolės apibrėžimas

Analitinėje geometrijoje hiperbolė yra kūgio pjūvio tipas, sukuriamas, kai plokštuma kampu perkerta abi dvigubo dešiniojo apskrito kūgio puses. Dėl šios sankirtos susidaro dvi atskiros, neribotos kreivės, kurios yra veidrodiniai vienas kito atvaizdai ir sudaro hiperbolę.

Hiperbolės lygtis

Hiperbolės lygtis standartine forma priklauso nuo jos orientacijos ir nuo to, ar jos centras yra ištakoje ar kitame taške. Čia pateikiamos dvi pagrindinės hiperbolių formos, kurių centre yra pradinė vieta: viena atidaroma horizontaliai, o kita – vertikaliai:

x ² /a ² - ir ² /b ² = 1

Ši lygtis reiškia hiperbolę, kuri atsidaro į kairę ir į dešinę. Taškai (±a,0) yra hiperbolės viršūnės, esančios x ašyje.

Hiperbolės dalys

Hiperbolė yra kūgio pjūvis, kuris susidaro, kai plokštuma nupjauna dvigubą dešinįjį apskritą kūgį tokiu kampu, kad abi kūgio pusės yra sujungtos. Jį galima apibūdinti naudojant tokias sąvokas kaip židinys, kryptis, tiesioji tiesioji žarna ir ekscentriškumas.

Hiperbolės ekscentriškumas

Hiperbolės ekscentriškumas yra taško atstumo nuo židinio ir jo statmeno atstumo nuo krypties santykis. Jis žymimas raide ' tai yra “.

• Hiperbolės ekscentriškumas visada didesnis už 1, t.y., e>1.
• Hiperbolės ekscentriškumą galime lengvai rasti pagal formulę:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

kur,

• a yra Pusiau pagrindinės ašies ilgis
• b yra Pusiau mažosios ašies ilgis

Skaityti daugiau: Ekscentriškumas

Standartinė hiperbolės lygtis

Standartinės hiperbolės lygtys yra šios:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

ARBA

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Hiperbolė turi dvi standartines lygtis. Šios hiperbolės lygtys yra pagrįstos jos skersine ašimi ir konjuguota ašimi.

dirbtinis neuroninis tinklas

• Standartinė hiperbolės lygtis yra [(x²/a²) – (ir²/b²)] = 1, kur X ašis yra skersinė ašis, o Y ašis yra konjuguota ašis.
• Be to, kita standartinė hiperbolės lygtis yra [(y²/a²)- (x²/b²)] = 1, kur Y ašis yra skersinė ašis, o X ašis yra konjuguota ašis.
• Standartinė lygtis hiperbolės, kurios centras (h, k) ir X ašis yra skersinė ašis, o Y ašis – konjugato ašis, yra

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Be to, dar viena standartinė hiperbolės lygtis su centru (h, k) ir Y ašimi yra skersine ašimi ir X ašimi kaip konjugato ašimi.

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Dešinė hiperbolės pusė

Hiperbolės tiesioji žarna yra linija, einanti per bet kurį hiperbolės židinį ir statmena skersinei hiperbolės ašiai. Latus tiesiosios žarnos galiniai taškai yra ant hiperbolės, o jos ilgis yra 2b²/a.

Hiperbolės lygties išvedimas

Panagrinėkime hiperbolės tašką P, kurio koordinatės yra (x, y). Iš hiperbolės apibrėžimo žinome, kad skirtumas tarp taško P atstumo nuo dviejų židinių F ir F’ yra 2a, ty PF’-PF = 2a.

Tegu židinių koordinatės yra F (c, o) ir F ‘(-c, 0).

Dabar, naudodamiesi koordinačių atstumo formule, galime rasti taško P (x, y) atstumą iki židinių F (c, 0) ir F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (ir – 0)²] – √[(x – c)²+ (ir – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ ir²] = 2a + √[(x – c)²+ ir²]

Dabar, išlyginus abi puses kvadratu, gauname

(x + c)²+ ir²= 4a²+ (x – c)²+ ir²+ 4a√[(x – c)²+ ir²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ ir²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ ir²]

Dabar, iš abiejų pusių kvadratūruodami ir supaprastindami, gauname

[(x²/a²) – (ir²/(c²– a²))] = 1

Turime, c²= a²+ b², taigi, pakeisdami tai aukščiau pateiktoje lygtyje, gauname

x²/a²- ir²/b²= 1

Taigi gaunama standartinė hiperbolės lygtis.

Panašiai galime išvesti standartines kitos hiperbolės lygtis, ty [y²/a²– x²/b²] = 1

Hiperbolės formulė

Šios hiperbolių formulės yra plačiai naudojamos ieškant įvairių hiperbolės parametrų, įskaitant hiperbolės lygtį, didžiąją ir mažąją ašį, ekscentriškumą, asimptotus, viršūnę, židinius ir pusiau platų tiesiąją žarną.

kur,

• (x₀, ir₀​) yra centrinis taškas
• a yra pusiau pagrindinė ašis
• b yra pusiau mažoji ašis.

Hiperbolės grafikas

Hiperbolė yra kreivė, turinti dvi neribotas kreives, kurios yra viena kitos veidrodiniai atvaizdai. Hiperbolės grafikas rodo tą kreivę 2-D plokštumoje. Galime stebėti skirtingas hiperbolės dalis toliau pateiktose standartinių lygčių hiperbolių diagramose:

Hiperbolės lygtis	Hiperbolės grafikas	Hiperbolės parametrai
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Centro koordinatės: (0, 0) Viršūnės koordinatės: (a, 0) ir (-a, 0) Židinių koordinatės: (c, 0) ir (-c, 0) Skersinės ašies ilgis = 2a Konjuguotos ašies ilgis = 2b Latus tiesiosios žarnos ilgis = 2b2/a Asimptotų lygtys: y = (b/a) x ir y = -(b/a) x Ekscentriškumas (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Centro koordinatės: (0, 0) Viršūnės koordinatės: (0, a) ir (0, -a) Židinių koordinatės: (0, c) ir (0, -c) Skersinės ašies ilgis = 2b Konjuguotos ašies ilgis = 2a Latus tiesiosios žarnos ilgis = 2b2/a Asimptotų lygtys: y = (a/b) x ir y = -(a/b) x Ekscentriškumas (e) = √[1 + (b2/a2)]

Konjuguota hiperbolė

Konjuguota hiperbolė yra 2 hiperbolės, kuriose vienos hiperbolės skersinė ir konjuguota ašys yra atitinkamai kitos hiperbolės konjuguota ir skersinė ašys.

Konjuguota hiperbolė iš (x²/ a²) – (ir²/b²) = 1 yra,

(x ² / a ² ) – (ir ² / b ² ) = 1

kur,

• a yra pusiau pagrindinė ašis
• b yra pusiau mažoji ašis
• tai yra yra parabolės ekscentriškumas
• a ² = b ² (Tai yra ² – 1)

Hiperbolės savybės

• Jei hiperbolės ir jos konjugato ekscentriškumas yra e₁, ir e₂tada,

(1 ir ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Hiperbolės ir jos konjugato židiniai yra cikliški ir sudaro kvadrato viršūnes.
• Hiperbolės yra lygios, jei jų tiesiosios žarnos yra vienodos.

Pagalbiniai hiperbolės apskritimai

Pagalbinis apskritimas yra apskritimas, kurio centras C ir skersmuo yra skersinė hiperbolės ašis. Hiperbolės lygties pagalbinis apskritimas yra

x ² + ir ² = a ²

Stačiakampė hiperbolė

Hiperbolė, kurios skersinė ašis yra 2a vienetų ir konjuguota ašis iš 2b vienetų vienodo ilgio, vadinama stačiakampe hiperbole. t.y. stačiakampėje hiperbolėje,

2a = 2b

⇒ a = b

Stačiakampės hiperbolės lygtis pateikiama taip:

x ² - ir ² = a ²

Pastaba: Stačiakampės hiperbolės ekscentriškumas yra √2.

Parametrinis hiperbolės vaizdavimas

Pagalbinių hiperbolės apskritimų parametrinis vaizdavimas yra toks:

x = a sek θ, y = b tan θ

Žmonės taip pat skaito

• Kūgio pjūvis
• Parabolė
• Apskritimas
• Elipsė

Hiperbolė 11 klasė

11 matematikos klasėje hiperbolių tyrimas sudaro analitinės geometrijos kūginių pjūvių dalį. Norint suprasti hiperboles šiame lygyje, reikia ištirti jų apibrėžimą, standartines lygtis, savybes ir įvairius su jomis susijusius elementus.

11 klasės mokymo programa paprastai apima šių lygčių ir savybių išvedimą, hiperbolių eskizą pagal pateiktas lygtis ir problemų, susijusių su hiperbolės elementais ir padėtimis, sprendimą. Šių sąvokų įvaldymas suteikia tvirtą analizės pagrindą geometrija , ruošiant mokinius tolimesnėms matematikos ir susijusių krypčių studijoms.

Santrauka – Hiperbolė

Hiperbolė yra kūgio pjūvio tipas, susidarantis, kai plokštuma kerta kūgį tokiu kampu, kad susidaro dvi atskiros kreivės. Hiperbolė, kuriai būdinga veidrodinė simetrija, susideda iš dviejų atskirtų šakų, kurių kiekviena išlinkusi nuo kitos. Jį galima matematiškai apibrėžti koordinačių plokštumoje, naudojant standartinę lygtį, kuri kinta priklausomai nuo jos orientacijos – horizontalios ar vertikalios – ir nuo to, ar jos centras yra pradžios ar kitame taške.

Standartinės formos yra x ² /a ² - ir ² /b ² = 1 horizontaliai angai hiperbolei ir ir ² /a ² – x ² /b ² = 1 vienai angai vertikaliai, su variacijomis, kad tilptų centras, perkeltas į (h,k). Pagrindinės hiperbolių savybės yra viršūnės, arčiausiai centro esantys kiekvienos šakos taškai; židiniai, taškai, nuo kurių atstumai iki bet kurio hiperbolės taško turi pastovų skirtumą; ir asimptotų, linijų, prie kurių artėja šakos, bet niekada neliečia.

Dėl hiperbolių savybių jos yra reikšmingos įvairiose srityse, įskaitant astronomiją, fiziką ir inžineriją, modeliuojant ir analizuojant hiperbolines trajektorijas ir elgesį.

Išspręsti hiperbolės pavyzdžiai

1 klausimas: nustatykite hiperbolės x ekscentriškumą ² /64 – ir ² /36 = 1.

Sprendimas:

Hiperbolės lygtis yra x²/64 – ir²/36 = 0

Lyginant pateiktą lygtį su standartine hiperbolės x lygtimi²/a²- ir²/b²= 1, gauname

a²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Mes turime,

Hiperbolės ekscentriškumas (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Taigi nurodytos hiperbolės ekscentriškumas yra 1,25.

2 klausimas: jei hiperbolės lygtis yra [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, raskite didžiosios ašies, mažosios ašies ir tiesiosios žarnos ilgius.

Sprendimas:

Hiperbolės lygtis yra [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Lyginant pateiktą lygtį su standartine hiperbolės lygtimi, (x – h)²/a²– (ir – k)²/b²= 1

Čia x = 4 yra pagrindinė ašis, o y = 3 yra mažoji ašis.

a²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Pagrindinės ašies ilgis = 2a = 2 × (5) = 10 vienetų

Šalutinės ašies ilgis = 2b = 2 × (3) = 6 vienetai

Latus tiesiosios žarnos ilgis = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 vnt

3 klausimas: suraskite viršūnę, asimptotę, pagrindinę ašį, šalutinę ašį ir kryptį, jei hiperbolės lygtis yra [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Sprendimas:

Hiperbolės lygtis yra [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Lyginant pateiktą lygtį su standartine hiperbolės lygtimi, (x – h)²/a²– (ir – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Hiperbolės viršūnė: (h + a, k) ir (h – a, k) = (13, 2) ir (-1, 2)

Pagrindinė hiperbolės ašis yra x = h x = 6

Mažoji hiperbolės ašis yra y = k y = 2

Hiperbolės asimptotų lygtys yra

y = k − (b / a)x + (b / a)h ir y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 ir y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 ir y = 2 + 0,57x - 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x ir y = -1,43 + 0,57x

Hiperbolės krypties lygtis yra x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

4 klausimas: Raskite hiperbolės, kurios tiesioji žarna yra pusė jos konjuguotos ašies, ekscentriškumą.

Sprendimas:

Latus rectum ilgis yra pusė jo konjuguotos ašies

Tegu hiperbolės lygtis yra [(x²/ a²) – (ir²/ b²)] = 1

Konjugato ašis = 2b

Latus tiesiosios žarnos ilgis = (2b²/a)

Iš pateiktų duomenų (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Mes turime,

Hiperbolės ekscentriškumas (e) = √[1 + (b²/a²)]

Dabar ekscentriškumo formulėje pakeiskite a = 2b

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Vadinasi, reikalingas ekscentriškumas yra √5/2.

eilutę palyginkite java

Praktikos problemos dėl hiperbolės

P1. Raskite standartinės formos lygtį hiperbolei, kurios viršūnės yra (-3, 2) ir (1, 2), o židinio nuotolis yra 5.

P2. Nustatykite hiperbolės centrą, viršūnes ir židinius su lygtimi 9x ² – 4m ² = 36.

P3. Pateikta hiperbolė su lygtimi (x – 2) ² /16 – (ir + 1) ² /9 = 1, raskite jo centro, viršūnių ir židinių koordinates.

P4. Parašykite hiperbolės lygtį su horizontalia pagrindine ašimi, kurios centras yra (0, 0), viršūnė yra (5, 0), o židinys yra (3, 0).

Hiperbolė – DUK

Kas yra hiperbolė matematikoje?

Taško lokusas plokštumoje, kurio atstumo nuo fiksuoto taško ir atstumo nuo fiksuotos linijos santykis yra didesnis nei 1, vadinamas hiperbole.

Kas yra standartinė hiperbolės lygtis?

Standartinė hiperbolės lygtis yra

(x ² /a ² ) – (ir ² /b ² ) = 1

Kas yra hiperbolės ekscentriškumas?

Hiperbolės ekscentriškumas yra taško atstumo nuo židinio ir jo statmeno atstumo nuo krypties santykis. Hiperbolės ekscentriškumas visada yra didesnis nei 1.

Kas yra hiperbolės ekscentriškumo formulė?

Hiperbolės ekscentriškumo formulė yra e = √(1 + (b ² /a ² ))

Kas yra Židiniai iš hiperbolės?

Hiperbolė turi du židinius. Dėl hiperbolės (x²/a²) – (ir²/b²) = 1, židiniai pateikiami (ae, 0) ir (-ae, 0)

Kas yra skersinė hiperbolės ašis?

Hiperbolei (x²/a²) – (ir²/b²) = 1, skersinė ašis yra išilgai x ašies. Jo ilgis pateikiamas 2a. Tiesė, einanti per hiperbolės centrą ir židinius, vadinama skersine hiperbolės ašimi.

Kas yra hiperbolės asimptotės?

Hiperbolei lygiagrečios tiesės, kurios susitinka su hiperbole begalybėje, vadinamos hiperbolės asimptotėmis.

Kiek asimptotų turi hiperbolė?

Hiperbolė turi 2 asimptotus. Asimptotės yra hiperbolės liestinė, kuri susitinka su hiperbole begalybėje.

Kam vartojama Hyperbola?

Hiperbolės pritaikomos įvairiose srityse, tokiose kaip astronomija, fizika, inžinerija ir ekonomika. Jie naudojami palydovų trajektorijose, radijo perdavimo modeliuose, artilerijos taikymui, finansiniam modeliavimui ir dangaus mechanikai, be kitų sričių.

Kuo skiriasi parabolė ir hiperbolė standartine forma?

Standartine forma parabolės lygtis apima terminus, padidintus iki 1 ir 2 laipsnio, o hiperbolės lygtis apima terminus, padidintus iki 2 ir -2 laipsnio. Be to, parabolei būdingas vienas fokusavimo taškas, o hiperbolė turi du.

Kas yra pagrindinė hiperbolės grafiko lygtis?

Pagrindinė hiperbolės grafiko lygtis yra tokia:

(x – h)²/ a²– (ir – k)²/ b²= 1

Arba

(ir – k)²/ b²– (x –h)²/ a²= 1

Kokie yra hiperbolių tipai?

Hiperboles pagal orientaciją galima suskirstyti į tris tipus: horizontalias, vertikalias ir įstrižas hiperboles.

Kaip nustatyti hiperbolės lygtį?

Hiperbolės lygtis paprastai apima terminus su abiem x ir ir kintamieji, su skirtumu tarp kvadratų x ir ir koeficientai, o šių dėmenų koeficientai yra atitinkamai teigiami ir neigiami.

Kas yra B formulė hiperbolėje?

Standartine hiperbolės lygties forma, B reiškia konjuguotos ašies ilgį, o jo formulė yra B = 2 b , kur b yra atstumas nuo centro iki viršūnių išilgai konjugato ašies.

Kaip nupiešti hiperbolę?

Norėdami nubrėžti hiperbolę, paprastai pradedate braižydami centrinį tašką, tada pažymėkite viršūnes, židinius, asimptotes ir kitus pagrindinius taškus pagal pateiktą lygtį arba savybes. Galiausiai nubrėžkite hiperbolės kreives naudodami šiuos taškus kaip orientyrus.