Bet kurios skaitinės reikšmės kvadratinė šaknis yra reikšmė, kurią dauginant savaime gaunamas pradinis skaičius. „√“ yra radikalus simbolis, naudojamas pavaizduoti bet kurio skaičiaus šaknį. Kvadratinė šaknis reiškia 1/2 to skaičiaus laipsnį. Pavyzdžiui, tarkime, kad x yra bet kurio sveikojo skaičiaus y kvadratinė šaknis, tai reiškia, kad x=√y. Padauginus lygtį, taip pat gauname x²= y.

Kvadratinė šaknis iš teigiamo skaičiaus kvadrato suteikia pradinį skaičių.

Kad suprastume sąvoką, žinome, kad 4 kvadratas yra 16, o kvadratinė šaknis iš 16, √16 = 4. Dabar, kaip matome, 16 yra tobula kvadratinė figūra. Tai leidžia lengvai apskaičiuoti tokių skaičių kvadratinę šaknį. Tačiau norint apskaičiuoti netobulo kvadrato kvadratinę šaknį, pvz., 3, 5, 7 ir tt, šaknies skaičiavimas yra sudėtingas procesas.

Kvadratinės šaknies funkcija yra funkcija vienas su vienu, kuri kaip įvestį naudoja teigiamą skaičių ir grąžina nurodyto įvesties skaičiaus kvadratinę šaknį.

f(x) = √x

Kvadratinių šaknų savybės

Kai kurios svarbios kvadratinės šaknies savybės yra šios:

• Kad būtų tobulas kvadratinis skaičius, egzistuoja tobula kvadratinė šaknis.
• Skaičiui, kuris baigiasi lyginiu nulių skaičiumi, egzistuoja kvadratinė šaknis.
• Neigiamų skaičių kvadratinė šaknis neapibrėžta.
• Skaičiui, kuris baigiasi skaitmenimis 2, 3, 7 arba 8, tobula kvadratinė šaknis neegzistuoja.
• Jei skaičius baigiasi skaitmenimis 1, 4, 5, 6 arba 9, tada skaičius turės kvadratinę šaknį.

Kaip apskaičiuoti kvadratinę šaknį?

Tobulieji kvadratiniai skaičiai yra sveikieji skaičiai, kurie yra teigiami ir gali būti lengvai išreikšti skaičiaus padauginimu iš savęs. Tobulieji kvadratiniai skaičiai vaizduojami kaip bet kurio sveikojo skaičiaus laipsnio 2 reikšmė. Apskaičiuoti tobulų kvadratinių skaičių kvadratinę šaknį yra palyginti lengviau. Skaičių kvadratinei šaknims rasti daugiausia naudojami keturi metodai:

• Pakartotinis kvadratinės šaknies atėmimo metodas
• Kvadratinė šaknis pagal pagrindinio faktorinavimo metodą
• Kvadratinė šaknis pagal įvertinimo metodą
• Kvadratinė šaknis pagal ilgojo padalijimo metodą

Pirmiau minėti trys metodai gali būti naudojami apskaičiuojant tobulų kvadratinių skaičių kvadratinę šaknį. Tačiau paskutinis metodas gali būti naudojamas abiejų tipų skaičiams.

Pakartotinis kvadratinių šaknų atėmimo metodas

Metodas grindžiamas tokia veiksmų seka:

1 žingsnis: Iš skaičiaus, kurio kvadratinę šaknį randame, atimkite iš eilės esančius nelyginius skaičius.

2 žingsnis: Kartokite 1 veiksmą, kol pasieksite 0 reikšmę.

3 veiksmas: 1 veiksmo pakartojimų skaičius yra reikiama nurodyto skaičiaus kvadratinė šaknis.

Pastaba: Šis metodas gali būti naudojamas tik tobuliems kvadratams.

Pavyzdžiui, skaičiui 16 metodas veikia taip:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Procedūra kartojama 4 kartus. Taigi √16 = 4.

Kvadratinė šaknis pagal pagrindinio faktorinavimo metodą

Bet kurio skaičiaus pirminis faktorius yra to skaičiaus atvaizdavimas pirminių skaičių sandaugos forma. Metodas grindžiamas tokia veiksmų seka:

1 žingsnis: Padalinkite nurodytą skaičių į pirminius koeficientus.

2 žingsnis: Panašių veiksnių pora sudaroma taip, kad abu faktoriai kiekvienoje suformuotoje poroje būtų lygūs.

boolean c

3 veiksmas: Paimkite po vieną veiksnį iš kiekvienos poros.

4 veiksmas: Veiksnių sandauga gaunama imant po vieną faktorių iš kiekvienos poros.

5 veiksmas: Šis gautas sandaugas yra duoto skaičiaus kvadratinė šaknis.

ankita lokhande amžius

Pastaba: Šis metodas gali būti naudojamas tik tobuliems kvadratams.

Pavyzdžiui, skaičiui 64 metodas veikia taip:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Kvadratinė šaknis pagal įvertinimo metodą

Įvertinimo metodas naudojamas apytiksliai apskaičiuoti duoto skaičiaus kvadratinę šaknį. Jis apytiksliai priartina skaičiaus kvadratinę šaknį iki pagrįsto tikrosios vertės spėjimo. Šiuo metodu skaičiavimai yra lengvesni. Tačiau tai tikrai ilgas ir daug laiko reikalaujantis procesas.

1 žingsnis: Raskite artimiausią tobulą kvadratą, esantį tiek prieš, tiek po pateikto skaičiaus.

2 žingsnis: Raskite artimiausius sveikuosius skaičius ir kiekvieną kartą juos suapvalinkite, kad gautumėte artimiausią atsakymą.

Pavyzdžiui, skaičiui 15 metodas veikia taip:

9 ir 16 yra tobuli kvadratiniai skaičiai prieš ir po 15. Dabar žinome,

√16 = 4 ir √9 = 3. Tai reiškia, kad skaičiaus 15 kvadratinė šaknis yra tarp 3 ir 4. Dabar šis procesas apima įvertinimą, ar skaičiaus 15 kvadratinė šaknis yra arčiau 3 ar 4.

Pirmasis atvejis yra 3,5 ir 4. Kvadratas iš 3,5 = 12,25 ir kvadratinė šaknis iš 4 = 16. Todėl sveikojo skaičiaus 15 kvadratinė šaknis yra tarp 3,5 ir 4 ir yra arčiau 4.

Be to, randame kvadratus 3,8 ir 3,9, kurie yra lygiaverčiai 3,8²= 14,44 ir 3,9²= 15,21 atitinkamai. Tai reiškia, kad √15 yra tarp 3,8 ir 3,9. Toliau vertinant gauname, kad √15 = 3,872.

Kvadratinė šaknis pagal ilgojo padalijimo metodą

Skaičių kvadratinės šaknies skaičiavimo Long Division metodas apima didelių skaičių padalijimą į žingsnius arba dalis, taip suskaidant problemą į paprastesnių žingsnių seką.

Pavyzdžiui, skaičiui 180 metodas veikia taip:

1 žingsnis: Juosta dedama virš kiekvienos skaičiaus skaitmenų poros, prasidedančios vieneto vieta.

2 žingsnis: Tada kairėje esantis skaičius padalytas iš didžiausio skaičiaus taip, kad kvadratas būtų mažesnis arba lygus skaičiui kairėje pusėje esančioje poroje.

3 veiksmas: Dabar skaičius po kita juosta, esantis likučio dešinėje, sumažinamas. Paskutinis gauto dalinio skaitmuo pridedamas prie daliklio. Dabar kitas žingsnis yra rasti skaičių, esantį dešinėje nuo gautos sumos, kad jis kartu su sumos rezultatu sudarytų naują naujo dividendo daliklį.

4 veiksmas: Gautas skaičius dalinyje yra lygus skaičiui, pasirinktam daliklyje.

5 veiksmas: Tas pats procesas kartojamas naudojant dešimtainį kablelį ir prie likusios dalies pridedant nulius poromis.

6 veiksmas: Dalinys sudaro skaičiaus kvadratinę šaknį.

Klausimų pavyzdžiai

1 klausimas. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 144 pirminio faktoriaus metodu?

Sprendimas:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

js rinkinys

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

2 klausimas. Kaip supaprastinti kvadratinę šaknį?

Sprendimas:

Galima apskaičiuoti nurodyto skaičiaus pirminį faktorių. Jei faktoriaus negalima sugrupuoti, jiems sugrupuoti naudojamas kvadratinės šaknies simbolis. Supaprastinimui naudojama ši taisyklė:

√xy = √(x × y), kur x ir y yra teigiami sveikieji skaičiai.

Pavyzdžiui, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

Trupmenų atveju naudojama ši taisyklė:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Pavyzdžiui:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

3 klausimas. Išspręskite: √(x + 2) = 4

Sprendimas:

Mes žinome,

√(x + 2) = 4

Padalinus abi puses kvadratu, gauname;

x + 2 = √4

yra poeilutė java

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Todėl mes turime,

x = 2 arba x = -6

4 klausimas. Ar neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis gali būti sveikas skaičius? Paaiškinkite.

Sprendimas:

Žinome, kad neigiami skaičiai negali turėti kvadratinės šaknies. Priežastis ta, kad padauginus du neigiamus skaičius, gautas rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Todėl neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis bus kompleksinio skaičiaus forma.

5 klausimas. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 25 kartotinės atimties metodu?

Sprendimas:

Atlikdami aukščiau nurodytus veiksmus, turime,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16–7 = 9

9–9 = 0

Kadangi procesas kartojamas 5 kartus, gauname √25 = 5.

6 klausimas. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 484 pagal ilgo padalijimo metodas?

Sprendimas:

Ilgojo padalijimo metodu mes turime,

Dabar

Likusioji dalis yra 0, todėl 484 yra tobulas kvadratinis skaičius,

√ 484 = 22