Ekvivalentiškumo klasė yra aibės elementų grupė, pagrįsta konkrečia ekvivalentiškumo samprata, apibrėžta lygiavertiškumo ryšiu. Ekvivalentiškumo santykis yra santykis, kuris tenkina tris savybes: refleksyvumą, simetriją ir tranzityvumą. Ekvivalentiškumo klasės padalija aibę S į nevienodus poaibius. Kiekvienas poaibis susideda iš elementų, kurie yra susiję vienas su kitu pagal nurodytą ekvivalentiškumo ryšį.
Šiame straipsnyje mes pakankamai išsamiai aptarsime lygiavertiškumo klasės sąvoką, įskaitant jos apibrėžimą, pavyzdį, savybes, taip pat išspręstus pavyzdžius.
Turinys
ml iki oz
- Kas yra lygiavertiškumo klasės?
- Ekvivalentiškumo klasės pavyzdžiai
- Ekvivalentiškumo klasių savybės
- Ekvivalentiškumo klasės ir skaidinys
Kas yra lygiavertiškumo klasės?
Ekvivalentiškumo klasė yra pavadinimas, kurį suteikiame S poaibiui, apimančiam visus elementus, kurie yra lygiaverčiai vienas kitam. Ekvivalentiškumas priklauso nuo nurodyto ryšio, vadinamo ekvivalentiškumo ryšiu. Jei tarp bet kurių dviejų elementų yra lygiavertiškumo ryšys, jie vadinami lygiaverčiais.
Ekvivalentiškumo klasės apibrėžimas
Atsižvelgiant į aibės S lygiavertiškumo ryšį, lygiavertiškumo klasė elemento a atžvilgiu S yra visų S elementų, susijusių su a, rinkinys, t.y.
[a] ARBA x yra susijęs su a
Pavyzdžiui, apsvarstykite sveikųjų skaičių aibę ℤ ir lygiavertiškumo ryšį, apibrėžtą kongruence modulio n. Du sveikieji skaičiai a ir b laikomi lygiaverčiais (žymimi kaip (a ≡ b mod(n), jei jų liekana yra tokia pati, padalijus iš n). Šiuo atveju sveikojo skaičiaus a lygiavertiškumo klasė yra visų sveikųjų skaičių, turinčių ta pati liekana kaip ir a dalijant iš n.
Kas yra lygiavertiškumo ryšys?
Sakoma, kad bet koks santykis R yra lygiavertiškumas tada ir tik tada, kai jis atitinka šias tris sąlygas:
- Refleksyvumas: Bet kurio elemento a atveju a yra susijęs su savimi.
- Simetrija: Jei a yra susijęs su b, tai b yra susijęs su a.
- Tranzityvumas: Jei a yra susijęs su b, o b yra susijęs su c, tai a yra susijęs su c.
Skaityti daugiau apie Ekvivalentiškumo ryšys .
Keletas lygiavertiškumo santykių pavyzdžių:
Lygybė rinkinyje: Tegul X yra bet kokia aibė ir apibrėžkite ryšį R su X taip, kad a R b tada ir tik tada, kai a = b a, b ϵ X.
- Refleksyvumas: Už kiekvieną a ϵ X, a = a (trivialiai tiesa).
- Simetrija: Jei a = b, tai b = a (trivialiai tiesa).
- Tranzityvumas: Jei a = b ir b = c, tai a = c (trivialiai tiesa).
Sutapimo modulis n: Tegu n yra teigiamas sveikasis skaičius ir apibrėžiame sveikųjų skaičių ℤ santykį R taip, kad a R b tada ir tik tada, kai a – b dalijasi iš n.
- Refleksyvumas: Už kiekvieną a ϵ ℤ, a – a = 0 dalijasi iš n.
- Simetrija: Jei a – b dalijasi iš n, tai -(a – b) = b – a taip pat dalijasi iš n.
- Tranzityvumas: Jei a – b dalijasi iš n, o b – c dalijasi iš n, tai a – c taip pat dalijasi iš n.
Ekvivalentiškumo klasės pavyzdžiai
Gerai žinomas lygiavertiškumo santykio pavyzdys yra lygus (=) santykis. Kitaip tariant, du duotosios aibės elementai yra lygiaverčiai vienas kitam, jei priklauso tai pačiai lygiavertiškumo klasei. Ekvivalentiškumo ryšius galima paaiškinti šiais pavyzdžiais:
Sveikųjų skaičių lygiavertiškumo ryšys
Lygiavertiškumo ryšys: 5 modulio kongruence (a ≡ b [mod(5)] )
- 0 lygiavertiškumo klasė: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
- 1 lygiavertiškumo klasė: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
- 2 lygiavertiškumo klasė: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
- 3 lygiavertiškumo klasė: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
- 4 lygiavertiškumo klasė: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}
Realiųjų skaičių lygiavertiškumo ryšys
Lygiavertiškumo ryšys: Absoliutus skirtumas (a ~ b, jei |a – b| <1)
- 0 lygiavertiškumo klasė: [0] = (-0,5, 0,5)
- 1 lygiavertiškumo klasė: [1] = (0,5, 1,5)
- 2 lygiavertiškumo klasė: [2] = (1,5, 2,5)
- 3 lygiavertiškumo klasė: [3] = (2,5, 3,5)
Skaityti daugiau,
- Tikrieji skaičiai
- Sveikieji skaičiai
- Racionalūs numeriai
Ekvivalentiškumo klasių savybės
Ekvivalentiškumo klasių savybės yra šios:
- Kiekvienas elementas priklauso tiksliai vienai ekvivalentiškumo klasei.
- Ekvivalentiškumo klasės yra nevienodos, ty bet kurių dviejų lygiavertiškumo klasių sankirta yra nulinė.
- Visų lygiavertiškumo klasių sąjunga yra pradinis rinkinys.
- Du elementai yra lygiaverčiai tada ir tik tada, kai jų lygiavertiškumo klasės yra lygios.
Skaityti daugiau,
- Rinkinių sąjunga
- Aibių sankirta
- Nesusiję rinkiniai
Ekvivalentiškumo klasės ir skaidinys
Aibės elementų grupės, susijusios su lygiavertiškumo ryšiu, o šių lygiavertiškumo klasių rinkinys, apimantis visą aibę be persidengimų, vadinamas skaidiniu.
Skirtumas tarp lygiavertiškumo klasių ir skaidinio
Pagrindiniai skirtumai tarp lygiavertiškumo klasių ir skaidinio pateikti šioje lentelėje:
| Funkcija | Ekvivalentiškumo klasės | Pertvaros |
|---|---|---|
| Apibrėžimas | Elementų rinkiniai, kurie pagal ryšį laikomi lygiaverčiais. | Netuščių, poromis nevienodų poaibių rinkinys, kad jų sąjunga būtų visa aibė. |
| Žymėjimas | Jeigu A yra lygiavertiškumo klasė, ji dažnai žymima kaip [ a ] arba [a] R , kur a yra reprezentacinis elementas ir R yra lygiavertiškumo santykis. | Rinkinio skaidinys X žymimas kaip { B 1, B 2,…, B n }, kur B i yra atskirti skaidinio poaibiai. |
| Santykiai | Ekvivalentiškumo klasės sudaro pagrindinės rinkinio skaidinį. | Skirstymas gali atsirasti arba neatsirastų iš lygiavertiškumo santykio. |
| Kardinalumas | Ekvivalentiškumo klasės gali turėti skirtingą kardinalumą. | Visi skaidinio poaibiai turi tokį patį kardinalumą. |
| Pavyzdys | Apsvarstykite sveikųjų skaičių aibę ir lygiavertiškumo ryšį, turintį tą pačią likutį, padalijus iš 5. pavyzdys Ekvivalentiškumo klasės yra {…,−5,0,5,…}, {…,−5,0,5,…}, {…,−4,1,6,…} ir {…,−4,1 ,6,…} ir kt. | Apsvarstykite sveikųjų skaičių, suskirstytų į lyginius ir nelyginius skaičius, rinkinį: {…,−4,−2,0,2,4,…} ir {…,−3,−1,1,3,5,…}. |
| Klasių sankirta | Ekvivalentiškumo klasės yra nevienodos arba identiškos. | Pertvaros susideda iš nesujungtų poaibių. |
Išspręsti lygiavertiškumo klasės pavyzdžiai
1 pavyzdys: Įrodykite, kad santykis R yra lygiavertiškumo tipas aibėje P= { 3, 4, 5,6 }, pateiktoje santykiu R = (p, q):.
Sprendimas:
Duota: R = (p, q):. Kur p, q priklauso P.
Refleksinė savybė
Iš pateikto santykio |p – p| = | 0 |=0.
- Ir 0 visada yra lyginis.
- Todėl |p – p| yra lygus.
- Taigi (p, p) yra susijęs su R
Taigi R yra refleksinis.
Simetrinė savybė
Iš duoto santykio |p – q| = |q – p|.
- Žinome, kad |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
- Taigi |p – q| yra lygus.
- Kitas |q – p| taip pat yra lygus.
- Atitinkamai, jei (p, q) ∈ R, tai (q, p) taip pat priklauso R.
Todėl R yra simetriškas.
Pereinamoji nuosavybė
- Jei |p – q| yra lyginis, tada (p-q) yra lyginis.
- Panašiai, jei |q-r| yra lyginis, tada (q-r) taip pat yra lyginis.
- Lyginių skaičių suma yra per lygi.
- Taigi, mes galime jį spręsti kaip p – q+ q-r yra lyginis.
- Toliau p – r yra toliau lyginis.
Atitinkamai,
Bourne-gain apvalkalas
- |p – q| ir |q-r| yra lyginis, tada |p – r| yra lygus.
- Vadinasi, jei (p, q) ∈ R ir (q, r) ∈ R, tada (p, r) taip pat reiškia R.
Todėl R yra tranzityvus.
2 pavyzdys: apsvarstykite, kad A = {2, 3, 4, 5} ir R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.
Sprendimas:
Duota: A = {2, 3, 4, 5} ir
Ryšys R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.
Kad R būtų lygiavertis ryšys, R turi atitikti tris savybes, t. y. refleksinį, simetrinį ir pereinamąjį.
Refleksinis : Ryšys R yra refleksyvus, nes (5, 5), (2, 2), (3, 3) ir (4, 4) ∈ R.
Simetriškas : Ryšys R yra simetriškas, kai (a, b) ∈ R, (b, a) taip pat yra susijęs su R, ty (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.
Pereinamoji : Ryšys R yra tranzityvus, kai (a, b) ir (b, c) yra susiję su R, (a, c) taip pat susijęs su R, ty (3, 5) ∈ R ir (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.
Atitinkamai, R yra refleksinis, simetriškas ir tranzityvus.
tigro ir liūto skirtumasTaigi, R yra lygiavertiškumo ryšys.
Praktikos uždaviniai lygiavertiškumo klasėje
1 problema: aRb, jei a+b lyginis. Nustatykite, ar tai yra lygiavertiškumo ryšys, ir jo savybes.
2 problema: xSy, jei x ir y gimimo mėnuo yra tas pats. Išanalizuokite, ar tai yra lygiavertiškumo ryšys.
3 problema: Apsvarstykite, kad A = {2, 3, 4, 5} ir R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Patvirtinkite, kad R yra santykio lygiavertiškumo tipas.
4 problema: Įrodykite, kad santykis R yra lygiavertiškumo tipas aibėje P= { 3, 4, 5,6 }, pateiktoje santykiu R = lyginis .
Ekvivalentiškumo klasė: DUK
1. Kas yra lygiavertiškumo klasė?
Ekvivalentiškumo klasė yra aibės poaibis, sudarytas sugrupuojant visus elementus, kurie yra lygiaverčiai vienas kitam pagal nurodytą ekvivalentiškumo ryšį. Jis atstovauja visiems nariams, kurie pagal tą santykį laikomi lygiais.
2. Kas yra lygiavertiškumo klasės simbolis?
Ekvivalentiškumo klasės simbolis paprastai rašomas kaip [a], kur a yra tipinis klasės elementas. Šis žymėjimas žymi visų elementų, lygiaverčių a, rinkinį pagal konkretų ekvivalentiškumo ryšį.
3. Kaip rasti rinkinio lygiavertiškumo klasę?
Norėdami rasti rinkinio lygiavertiškumo klasę, atlikite šiuos veiksmus:
1 žingsnis: Apibrėžkite ekvivalentiškumo ryšį.
2 žingsnis: Pasirinkite elementą iš rinkinio.
3 veiksmas: Nustatykite lygiaverčius elementus pasirinktiems elementams.
4 veiksmas: Suformuokite lygiavertiškumo klasę, kurioje yra visi elementai, lygiaverčiai pasirinktam elementui.
4. Kuo skiriasi lygiavertiškumo klasė ir skaidinys?
Ekvivalentiškumo klasės yra lygiavertiškumo santykio suformuoti poaibiai, o skaidiniai yra nesutampantys poaibiai, apimantys visą aibę. Kiekviena lygiavertiškumo klasė yra skaidinio poaibis, bet ne kiekvienas skaidinys kyla iš lygiavertiškumo santykio.
5. Kas yra lygiavertiškumo ryšys?
Ryšys, kuris yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus, padalijantis aibę į nevienodus poaibius.