Ūmus, bukas, lygiašonis, lygiakraštis... Kalbant apie trikampius, yra daug skirtingų atmainų, tačiau tik keletas „ypatingų“. Šių specialių trikampių kraštinės ir kampai yra nuoseklūs ir nuspėjami ir gali būti naudojami norint greitai išspręsti geometrijos ar trigonometrijos problemas. O trikampis 30–60–90, tariamas „trisdešimt šešiasdešimt devyniasdešimt“, iš tikrųjų yra labai ypatingas trikampio tipas.
Šiame vadove paaiškinsime, kas yra 30–60–90 trikampis, kodėl jis veikia ir kada (ir kaip) panaudoti savo žinias apie jį. Taigi pereikime prie to!
Kas yra 30-60-90 trikampis?
30-60-90 trikampis yra specialus stačiakampis trikampis (statusis trikampis yra bet koks trikampis, kuriame yra 90 laipsnių kampas), kurio laipsniai visada yra 30 laipsnių, 60 laipsnių ir 90 laipsnių. Kadangi tai yra specialus trikampis, jis taip pat turi kraštinių ilgio reikšmes, kurios visada yra nuoseklios viena su kita.
Pagrindinis trikampio santykis 30-60-90 yra:
30° kampui priešinga pusė: $x$
60° kampui priešinga pusė: $x * √3$
90° kampui priešinga pusė: x$
Pavyzdžiui, 30–60–90 laipsnių trikampio kraštinių ilgis gali būti toks:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
rdbms
(Kodėl ilgesnė koja yra 3? Šiame trikampyje trumpiausia kojelė ($x$) yra $√3$, taigi ilgesnės kojos atveju $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. hipotenuzė yra 2 kartus trumpesnė už trumpiausią koją arba √3$)
Ir taip toliau.
30° kampui priešinga pusė visada yra mažiausia , nes 30 laipsnių yra mažiausias kampas. 60° kampui priešinga pusė bus vidutinio ilgio , nes 60 laipsnių yra vidutinio dydžio laipsnio kampas šiame trikampyje. Ir galiausiai pusė, priešinga 90° kampui, visada bus didžiausia pusė (hipotenuzė) nes 90 laipsnių yra didžiausias kampas.
Nors jis gali atrodyti panašus į kitų tipų stačiakampius trikampius, 30-60-90 trikampis yra toks ypatingas, kad norint rasti visus kitus matavimus, reikia tik trijų informacijos dalių. Kol žinote dviejų kampo matmenų ir vienos kraštinės ilgio vertę (nesvarbu, kuri pusė), žinote viską, ką reikia žinoti apie savo trikampį.
Pavyzdžiui, galime naudoti trikampio formulę 30-60-90, kad užpildytume visus likusius toliau pateiktų trikampių informacijos tuščius laukus.
1 pavyzdys
Matome, kad tai yra stačiakampis trikampis, kuriame hipotenuzė yra dvigubai ilgesnė už vieną iš kojų. Tai reiškia, kad tai turi būti 30-60-90 trikampis, o mažesnė nurodyta kraštinė yra priešais 30°.
Todėl ilgesnė kojelė turi būti priešais 60° kampą ir matuoti * √3 $ arba √3 $.
2 pavyzdys
„Java“ įtraukimas į masyvą
Matome, kad tai turi būti 30-60-90 trikampis, nes matome, kad tai yra stačiakampis, kurio matmenys yra 30°. Tada nepažymėtas kampas turi būti 60°.
Kadangi 18 yra matas priešais 60° kampą, jis turi būti lygus $x√3$. Tada trumpiausios kojos dydis turi būti 18 USD/√3 USD.
(Atkreipkite dėmesį, kad kojos ilgis iš tikrųjų bus 18 USD/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, nes vardiklyje negali būti radikalo / kvadratinės šaknies).
O hipotenuzė bus (18/√3)$
(Atkreipkite dėmesį, kad vėlgi, jūs negalite turėti radikalo vardiklyje, todėl galutinis atsakymas bus 2 kartus didesnis už kojos ilgį √3$ => √3$).
3 pavyzdys
Vėlgi, mums pateikiami du kampo matavimai (90 ° ir 60 °), todėl trečiasis matas bus 30 °. Kadangi tai yra 30-60-90 trikampis, o hipotenuzė yra 30, trumpiausia kojelė bus lygi 15, o ilgesnė - 15√3.
Nereikia konsultuotis su stebuklingu aštuonių kamuoliuku – šios taisyklės visada veikia.
Kodėl tai veikia: 30-60-90 trikampio teoremos įrodymas
Bet kodėl šis specialus trikampis veikia taip, kaip veikia? Kaip mes žinome, kad šios taisyklės yra teisėtos? Pažiūrėkime, kaip veikia trikampio 30-60-90 teorema, ir įrodykime, kodėl šie kraštinių ilgiai visada bus nuoseklūs.
Pirma, sekundei pamirškime stačiuosius trikampius ir pažiūrėkime į an lygiakraštis trikampis.
Lygiakraštis trikampis yra trikampis, kurio visos kraštinės ir kampai yra vienodi. Kadangi trikampio vidiniai kampai visada sudaro 180° ir 0/3 = 60$, lygiakraštis trikampis visada turės tris 60° kampus.
Dabar nuleiskite aukštį nuo aukščiausio kampo iki trikampio pagrindo.
Mes dabar sukūrė du stačiuosius kampus ir du sutampančius (lygius) trikampius.
Kaip mes žinome, kad jie yra lygūs trikampiai? Kadangi mes nukritome aukštyje nuo an lygiakraštis trikampį, pagrindą padalinome tiksliai per pusę. Naujieji trikampiai taip pat turi vieną kraštinių ilgį (aukštį), ir kiekvienas turi tą patį hipotenuzės ilgį. Kadangi jie turi tris bendrus kraštinių ilgius (SSS), tai reiškia trikampiai yra kongruentiški.
Pastaba: ne tik du trikampiai yra suderinti pagal ilgio šonuose arba SSS principus, bet ir pagrįsti šoninio kampo šoniniais matmenimis (SAS), kampo kampo šono (AAS) ir kampo šoninis kampas (ASA). Iš esmės? Jie tikrai sutampa.
Dabar, kai įrodėme dviejų naujų trikampių sutapimą, matome, kad kiekvienas viršutinis kampas turi būti lygus 30 laipsnių (nes kiekvienas trikampis jau turi 90° ir 60° kampus ir turi pridėti iki 180°). Tai reiškia padarėme du 30-60-90 trikampius.
Ir kadangi žinome, kad lygiakraščio trikampio pagrindą perpjauname per pusę, matome, kad kiekvieno iš mūsų 30–60–90 trikampio 30° kampui priešinga kraštinė (trumpiausia kraštinė) yra lygiai pusė hipotenuzės ilgio. .
Taigi pavadinkime pradinį kraštinės ilgį $x$ ir padalintą ilgį $x/2$.
Dabar mums belieka tik rasti vidurio kraštinės ilgį, kurį turi du trikampiai. Norėdami tai padaryti, galime tiesiog naudoti Pitagoro teoremą.
masyvo objektas java
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 – ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 – {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Taigi mums belieka: $x/2, {x√3}/2, x$
Dabar padauginkime kiekvieną matą iš 2, kad gyvenimas būtų lengvesnis ir išvengtume visų trupmenų. Tokiu būdu mums belieka:
$x$, $x√3$, x$
Todėl matome, kad 30-60-90 trikampis bus visada turėti vienodus kraštinių ilgius $x$, $x√3$ ir x$ (arba $x/2$, ${√3x}/2$ ir $x$).
Mūsų laimei, mes galime įrodyti, kad 30-60-90 trikampio taisyklės yra teisingos be viso to...
Kada naudoti 30-60-90 trikampio taisykles
Žinodami trikampio 30-60-90 taisykles, galėsite sutaupyti laiko ir energijos sprendžiant daugybę skirtingų matematikos uždavinių, būtent įvairių geometrijos ir trigonometrijos uždavinių.
Geometrija
Tinkamas 30-60-90 trikampių supratimas leis jums išspręsti geometrijos klausimus, kurių arba būtų neįmanoma išspręsti nežinant šių santykio taisyklių, arba bent jau prireiktų daug laiko ir pastangų, norint išspręsti „ilgą kelią“.
Naudodami specialius trikampių santykius galite nustatyti trūkstamus trikampio aukščius arba kojų ilgius (nenaudodami Pitagoro teoremos), rasti trikampio plotą naudodami trūkstamą aukščio arba pagrindo ilgio informaciją ir greitai apskaičiuoti perimetrus.
Kaskart, kai prireiks greito atsakymo į klausimą, pravers atsiminti sparčiuosius klavišus, pvz., 30-60-90 taisykles.
js atsisiųsti
Trigonometrija
Trikampio santykio 30-60-90 įsiminimas ir supratimas taip pat leis išspręsti daugelį trigonometrijos uždavinių, nereikalaujant skaičiuoklės ar apytiksliai atsakymų dešimtaine forma.
30-60-90 trikampis turi gana paprastus sinusus, kosinusus ir kiekvieno kampo liestinę (ir šie matavimai visada bus nuoseklūs).
30° sinusas visada bus /2$.
60° kosinusas visada bus /2$.
Nors kiti sinusai, kosinusai ir liestinės yra gana paprasti, juos lengviausia įsiminti ir jie gali pasirodyti atliekant testus. Taigi žinodami šias taisykles galėsite kuo greičiau rasti šiuos trigonometrinius matavimus.
Patarimai, kaip atsiminti 30-60-90 taisykles
Jūs žinote, kad šios 30-60-90 santykio taisyklės yra naudingos, bet kaip išlaikyti informaciją savo galvoje? Atsiminti 30-60-90 trikampio taisykles reikia atsiminti santykį 1: √3 : 2 ir žinoti, kad trumpiausias kraštinės ilgis visada yra priešais trumpiausią kampą (30°), o ilgiausias kraštinės ilgis visada yra prieš didžiausias kampas (90°).
Kai kurie žmonės įsimena santykį galvodami: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, “, nes „1, 2, 3“ eiliškumą paprastai lengva prisiminti. Viena atsargumo priemonė naudojant šią techniką yra atsiminti, kad ilgiausia pusė iš tikrųjų yra x$, ne $x$ kartus $√3$.
Kitas būdas prisiminti savo santykius yra naudokite mnemoninį žodžių žaismą santykiu 1: šaknis 3: 2 tinkama tvarka. Pavyzdžiui, „Jackie Mitchell išmušė Lou Gehrigą ir „laimėjo ir Ruthy“: vienas, šaknis trys, du. (Ir tai tikras beisbolo istorijos faktas!)
Žaiskite su savo mnemoniniais įtaisais, jei jie jūsų nežavi – dainuokite dainos santykį, suraskite savo frazes „vienas, šaknis trys, du“ arba sugalvokite eilėraštį su proporcijomis. Jūs netgi galite tiesiog prisiminti, kad 30–60–90 trikampis yra pusė lygiakraštės, ir iš ten išmatuoti išmatavimus, jei jums nepatinka jų įsiminti.
Tačiau jums prasminga atsiminti šias 30–60–90 taisykles, išsaugokite šiuos santykius savo būsimiems geometrijos ir trigonometrijos klausimams.
Įsiminimas yra jūsų draugas, bet jūs galite tai padaryti.
Pavyzdys 30-60-90 Klausimai
Dabar, kai išnagrinėjome 30–60–90 trikampių „kaip“ ir „kodėl“, pabandykime išspręsti kai kurias praktikos problemas.
kiek metų Kylie Jenner
Geometrija
Statybos darbuotojas atremia 40 pėdų kopėčias į pastato šoną 30 laipsnių kampu nuo žemės. Žemė lygi, o pastato šonas statmenas žemei. Kiek aukštyn pastate siekia kopėčios, iki artimiausios pėdos?
Nežinant mūsų specialiųjų trikampio taisyklių 30-60-90, šios problemos sprendimui rasti turėtume naudoti trigonometriją ir skaičiuotuvą, nes turime tik vieną trikampio kraštinę. Bet kadangi mes žinome, kad tai yra a ypatingas trikampį, atsakymą galime rasti vos per kelias sekundes.
Jei pastatas ir žemė yra statmeni vienas kitam, tai turi reikšti, kad pastatas ir žemė sudaro stačią (90°) kampą. Taip pat žinoma, kad kopėčios susilieja su žeme 30° kampu. Todėl matome, kad likęs kampas turi būti 60°, todėl tai yra 30-60-90 trikampis.
Dabar žinome, kad šio 30-60-90 hipotenuzė (ilgiausia pusė) yra 40 pėdų, o tai reiškia, kad trumpiausia pusė bus pusė tokio ilgio. (Atminkite, kad ilgiausia kraštinė visada yra du kartus – x$ – tiek pat ilgio, kaip ir trumpiausia kraštinė.) Kadangi trumpiausia pusė yra priešinga 30° kampui, o šis kampas yra kopėčių laipsnio matas nuo žemės, tai reiškia, kad kopėčių viršus atsitrenkia į pastatą 20 pėdų nuo žemės.
Mūsų galutinis atsakymas yra 20 pėdų.
Trigonometrija
Jei stačiakampiame trikampyje sin Θ = /2$, o trumpiausias kojos ilgis yra 8. Koks yra trūkstamos kraštinės, kuri NE hipotenuzė, ilgis?
Kadangi žinote savo 30-60-90 taisykles, galite išspręsti šią problemą nenaudodami nei Pitagoro teoremos, nei skaičiuoklės.
Mums buvo pasakyta, kad tai yra stačiakampis trikampis, ir mes žinome pagal specialias stačiakampio trikampio taisykles, kad sinusas 30° = /2$. Todėl trūkstamas kampas turi būti 60 laipsnių, todėl tai yra 30-60-90 trikampis.
Ir kadangi tai yra 30-60-90 trikampis, ir mums buvo pasakyta, kad trumpiausia kraštinė yra 8, hipotenuzė turi būti 16, o trūkstama pusė turi būti * √3 $ arba $ 8√3 $.
Mūsų galutinis atsakymas yra 8√3.
Išnešiojamieji
Prisimenant, 30-60-90 trikampių taisyklės padės greitai išspręsti įvairius matematikos uždavinius . Tačiau atminkite, kad nors žinodami šias taisykles yra patogus įrankis, kurį reikia laikyti dirže, daugumą problemų vis tiek galite išspręsti be jų.
Stebėkite taisykles $x$, $x√3$, x$ ir 30-60-90 bet kokiu būdu, kuris jums atrodo prasmingas, ir stenkitės laikytis jų teisingų, jei galite, bet nepanikuokite, jei manote užgęsta, kai atėjo traškumo metas. Bet kuriuo atveju, jūs turite tai.
Ir jei jums reikia daugiau praktikos, eikite į priekį ir patikrinkite tai 30-60-90 trikampio viktorina . Sėkmės atliekant testus!