Plotas po kreive yra kreivės ir koordinačių ašių aptvertas plotas, jis apskaičiuojamas imant labai mažus stačiakampius ir jų sumą, jei imsime be galo mažus stačiakampius, tada jų suma apskaičiuojama imant taip suformuotos funkcijos ribą.

Tam tikrai funkcijai f(x), apibrėžtai intervale [a, b], plotas (A) po f(x) kreive nuo „a“ iki „b“ yra apskaičiuojamas taip: A = ∫ _a ^b f(x)dx . Plotas po kreive apskaičiuojamas imant funkcijos absoliučią reikšmę intervale [a, b], sumuojamą diapazone.

Šiame straipsnyje mes išsamiai sužinosime apie plotą po kreive, jos pritaikymą, pavyzdžius ir kitus dalykus.

Turinys

• Kas yra plotas po kreive?
• Ploto po kreive apskaičiavimas
• Naudojant Reimann sumas
• Apibrėžtųjų integralų naudojimas
• Apytikslis plotas po kreive
• Ploto po kreive apskaičiavimas
• Plotas po kreive formulės

Kas yra plotas po kreive?

Plotas po kreive yra plotas, apribotas bet kurios kreivės su x ašimi ir nurodytomis ribinėmis sąlygomis, ty plotas, apribotas funkcijos y = f(x), x ašies ir tiesės x = a ir x = b. Kai kuriais atvejais yra tik viena ribinė sąlyga arba jos nėra, nes kreivė kerta x ašį atitinkamai vieną arba du kartus.

Plotas po kreive gali būti apskaičiuojamas naudojant įvairius metodus, tokius kaip Reimano suma ir Apibrėžtasis integralas taip pat galime apytiksliai apskaičiuoti plotą naudodami pagrindines formas, ty trikampį, stačiakampį, trapeciją ir kt.

Skaitykite išsamiai: Skaičiavimas matematikoje

Ploto po kreive apskaičiavimas

Norėdami apskaičiuoti plotą po kreive, galime naudoti tokius metodus kaip:

• Naudojant Reimann sumas
• Apibrėžtųjų integralų naudojimas
• Naudojant aproksimaciją

Išsamiai išnagrinėkime šiuos metodus taip:

suskaidytas java

Naudojant Reimann sumas

Reimano sumos apskaičiuojamas duotosios funkcijos grafiką padalijus į mažesnius stačiakampius ir sumuojant kiekvieno stačiakampio plotus. Kuo daugiau stačiakampių apsvarstysime padalydami pateiktą intervalą, tuo tikslesnis plotas, apskaičiuotas šiuo metodu; nepaisant to, kuo daugiau tarpintervalų atsižvelgsime, tuo skaičiavimai darosi sunkesni.

„Reimann Sum“ galima suskirstyti į dar tris kategorijas, tokias kaip:

• Kairė Reimann Sum
• Teisingai Reimano suma
• Vidurio taškas Reimano suma

Plotas naudojant Reimano sumą pateikiamas taip:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

kur,

• f(x _i ) yra integruojamos funkcijos reikšmė i ^th mėginio taškas
• Δx = (b-a)/n yra kiekvieno tarpinio intervalo plotis,
  • a ir b yra integracijos ribos ir
  • n yra subintervalų skaičius
• ∑ reiškia visų terminų sumą nuo i=1 iki n,

Pavyzdys: Raskite funkcijos f(x) = x plotą po kreive ² tarp ribų x = 0 ir x = 2.

Sprendimas:

Norime rasti plotą po šios funkcijos kreive tarp x = 0 ir x = 2. Norėdami apytiksliai apskaičiuoti plotą, naudosime kairiąją Reimano sumą su n = 4 subintervalais.

Apskaičiuokime plotą po kreive naudodami 4 dalinius intervalus.

Taigi, subintervalų plotis, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Visi 4 subintervalai yra

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Dabar galime įvertinti funkciją šiomis x reikšmėmis, kad surastume kiekvieno stačiakampio aukščius:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Plotas po kreive dabar gali būti apytikslis susumavus stačiakampių, sudarytų iš šių aukščių, plotus:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Todėl plotas po f(x) kreive = x²tarp x = 0 ir x = 2, apytiksliai apskaičiuota naudojant kairiąją Reimano sumą su 4 subintervalais, yra maždaug 1,25.

Apibrėžtųjų integralų naudojimas

Apibrėžtasis integralas yra beveik toks pat kaip Reimano suma, tačiau čia subintervalų skaičius artėja prie begalybės. Jei funkcija nurodyta intervalui [a, b], apibrėžtasis integralas apibrėžiamas taip:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Skirtingai nuo Reimano sumos, apibrėžtas integralas nurodo tikslų plotą po kreive. Apibrėžtinis integralas apskaičiuojamas surandant funkcijos antidarinį ir įvertinus ją integravimo ribose.

Sritis su X ašimi

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta kreivė pavaizduota naudojant y = f(x). Turime apskaičiuoti plotą po kreive x ašies atžvilgiu. X ašies kreivės ribinės reikšmės yra atitinkamai a ir b. Plotas A po šia kreive x ašies atžvilgiu apskaičiuojamas tarp taškų x = a ir x = b. Apsvarstykite šią kreivę:

Formulė plotui po kreive w.r.t nuo x ašies pateikiama taip:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

kur,

• A yra plotas po kreive
• ir arba f(x) yra kreivės lygtis
• a, ir b yra x reikšmės arba integracijos riba, kuriai turime apskaičiuoti plotą

Sritis Y ašies atžvilgiu

Kreivė, parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje, pavaizduota naudojant x = f(y). Turime apskaičiuoti plotą po kreive Y ašies atžvilgiu. Y ašies kreivės ribinės vertės yra atitinkamai a ir b. Plotas A po šia kreive Y ašies atžvilgiu tarp taškų y = a ir y = b. Apsvarstykite šią kreivę:

Formulė plotui po kreive w.r.t nuo y ašies pateikiama taip:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

kur,

• A yra plotas po kreive
• x arba f(y) yra kreivės lygtis
• a, b yra y pertraukos

Sužinokite daugiau, Plotas tarp dviejų kreivių

Apytikslis plotas po kreive

Apytiksliai apskaičiuojant plotą po kreive reikia naudoti paprastas geometrines figūras, tokias kaip stačiakampiai ar trapecijos, kad būtų galima įvertinti plotą po kreive. Šis metodas yra naudingas, kai funkciją sunku integruoti arba kai neįmanoma rasti funkcijos antidarinės. Aproksimacijos tikslumas priklauso nuo naudojamų formų dydžio ir skaičiaus.

Ploto po kreive apskaičiavimas

Mes galime lengvai apskaičiuoti įvairių kreivių plotą, naudodami šiame straipsnyje aptartas sąvokas. Dabar panagrinėkime kai kurių bendrų kreivių ploto po kreive apskaičiavimo pavyzdžius.

Plotas po kreive: parabolė

Žinome, kad standartinė parabolė yra padalinta į dvi simetriškas dalis x ašimi arba y ašimi. Tarkime, imame parabolę y²= 4ax ir tada jo plotas turi būti apskaičiuojamas nuo x = 0 iki x = a. Ir jei reikia, padvigubiname jo plotą, kad surastume parabolės plotą abiejuose kvadrantuose.

Skaičiuojant plotą,

ir²= 4ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ay.dx

A = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Taigi plotas po parabole nuo x = 0 iki x = a yra 8/3a ² kvadratinių vienetų

Plotas po kreive: apskritimas

Apskritimas yra uždara kreivė, kurios apskritimas visada yra vienodu atstumu nuo jo centro. Jo plotas apskaičiuojamas pirmiausia apskaičiuojant pirmojo kvadranto plotą, o po to padauginant jį iš 4 visiems keturiems kvadrantams.

Tarkime, paimame apskritimą x²+ ir²= a²ir tada jo plotas turi būti apskaičiuojamas nuo x = 0 iki x = a pirmame kvadrante. Ir jei reikia, jo plotą padidiname keturis kartus, kad surastume apskritimo plotą.

Skaičiuojant plotą,

x²+ ir²= a²

y = √(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4∫₀^a√ (a²– x²).dx

A = 4[x/2√(a²– x²) + a²/2 be^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.be^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Taigi plotas po apskritimu yra pa ² kvadratinių vienetų

Plotas po kreive: elipsė

Apskritimas yra uždara kreivė. Jo plotas apskaičiuojamas pirmiausia apskaičiuojant pirmojo kvadranto plotą, o po to padauginant jį iš 4 visiems keturiems kvadrantams.

Tarkime, kad paimame apskritimą (x/a)²+ (y/b)²= 1 ir tada jo plotas turi būti apskaičiuojamas nuo x = 0 iki x = a pirmame kvadrante. Ir jei reikia, jo plotą padidiname keturis kartus, kad surastume elipsės plotą.

Skaičiuojant plotą,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4b/a∫₀^a√ (a²– x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²– x²) + a²/2 be^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.be^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Taigi plotas po elipse yra πab kvadratinių vienetų.

Plotas po kreive formulės

Įvairių tipų ploto po kreive skaičiavimo formulė yra pateikta lentelėje:

Taip pat Skaitykite

• Integralai
• Plotas kaip apibrėžtas integralas

Pavyzdžiai apie plotą po kreive

1 pavyzdys: Raskite plotą po kreive y ² = 12x ir X ašis.

Sprendimas:

Duota kreivės lygtis yra y²= 12x

Tai parabolės lygtis su a = 3, taigi, y²= 4(3)(x)

Žemiau parodyta reikiamos srities diagrama:

X ašis padalija minėtą parabolę į 2 lygias dalis. Taigi, galime rasti plotą pirmame kvadrante ir tada padauginti jį iš 2, kad gautume reikiamą plotą

Taigi, reikiamą sritį galime rasti taip:

statybininko dizaino modelis

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 kv.vnt

2 pavyzdys: Apskaičiuokite plotą po kreive x = y ³ – 9 tarp taškų y = 3 ir y = 4.

Sprendimas:

Duota, kreivės lygtis yra x = y³– 9

Ribiniai taškai yra (0, 3) ir (0, 4)

Kadangi kreivės lygtis yra x = f(y), o taškai taip pat yra Y ašyje, naudosime formulę,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 kv.vnt

3 pavyzdys: Apskaičiuokite plotą po kreive y = x ² – 7 tarp taškų x = 5 ir x = 10.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į tai, kreivė yra y = x²−7, o ribiniai taškai yra (5, 0) ir (10, 0)

Taigi plotas po kreive apskaičiuojamas taip:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 kv.vnt

4 pavyzdys: Raskite plotą, kurį sudaro parabolė y ² = 4ax ir tiesė x = a pirmajame kvadrante.

Sprendimas:

Pateiktą kreivę ir liniją galima nubrėžti taip:

Dabar kreivės lygtis yra y²= 4ax

Ribiniai taškai yra (0, 0) ir (a, 0)

Taigi plotą X ašies atžvilgiu galima apskaičiuoti taip:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

5 pavyzdys: Raskite plotą, kurį dengia apskritimas x ² + ir ² = 25 pirmame kvadrante.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į x²+ ir²= 25

Kreivę galima nubrėžti taip:

Reikalingas plotas aukščiau esančiame paveikslėlyje užtamsintas. Iš lygties matome, kad apskritimo spindulys yra 5 vienetai.

Kaip, x²+ ir²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Norėdami rasti sritį, naudosime:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 kv.vnt

DUK apie plotą po kreive

Apibrėžkite plotą po kreive.

Kreivės, ašies ir ribinių taškų aptverta sritis vadinama plotu po kreive. Naudojant koordinačių ašis ir integravimo formulę, plotas po kreive buvo nustatytas kaip dvimatis plotas.

"Kuo skiriasi liūtas ir tigras"

Kaip apskaičiuoti plotą po kreive?

Yra trys būdai, kaip rasti plotą po kreive, tai yra:

• Reimano sumos apima kreivės padalijimą į mažesnius stačiakampius ir jų plotų pridėjimą, o tarpinių intervalų skaičius turi įtakos rezultato tikslumui.
• Apibrėžtieji integralai yra panašios į Reimann Sums, bet naudoja begalinį skaičių tarpinių intervalų, kad gautumėte tikslų rezultatą.
• Aproksimacijos metodai yra naudojamos žinomos geometrinės figūros, kad būtų galima apytiksliai apskaičiuoti plotą po kreive.

Kuo skiriasi apibrėžtasis integralas ir Reimano suma?

Pagrindinis skirtumas tarp apibrėžtojo integralo ir Reimano sumos yra tas, kad apibrėžtasis integralas reiškia tikslų plotą po tam tikra kreive, o Reimano suma reiškia apytikslę ploto vertę, o sumos tikslumas priklauso nuo pasirinkto pertvaros dydžio.

Ar plotas po kreive gali būti neigiamas?

Jei kreivė yra žemiau ašies arba yra neigiamuose koordinačių ašies kvadrantuose, plotas po kreive yra neigiamas. Šiuo atveju taip pat plotas po kreive apskaičiuojamas naudojant įprastą metodą, o sprendimas moduliuojamas. Net ir tais atvejais, kai atsakymas yra neigiamas, atsižvelgiama tik į ploto reikšmę, o ne į atsakymo neigiamą ženklą.

Ką statistikoje reiškia plotas po kreive?

Plotas po kreive (ROC) yra kiekybinio diagnostinio tyrimo tikslumo matas.

Kaip interpretuojate ploto po kreive ženklą?

Ploto ženklas rodo, kad plotas po kreive yra virš x ašies arba žemiau x ašies. Jei plotas teigiamas, plotas po kreive yra virš x ašies, o jei neigiamas, plotas po kreive yra žemiau x ašies.

Kaip apytiksliai apskaičiuojamas plotas po kreive?

Suskaidžius regioną į mažus stačiakampius, galima apytiksliai įvertinti plotą po kreive. Ir pridėjus šių stačiakampių plotus, galima gauti plotą po kreive.