Algebra yra viena iš pagrindinių matematikos temų. Polinomai yra esminė algebros dalis. Vietos formulė naudojama daugianariuose. Šis straipsnis yra apie Vietos formulę, kuri susieja šaknų sumą ir sandaugą su daugianario koeficientu. Ši formulė specialiai naudojama algebroje.

Vietos formulė

Vietos formulės yra tos formulės, kurios pateikia santykį tarp daugianario šaknų sumos ir sandaugos su daugianario koeficientais. Vietos formulė apibūdina daugianario koeficientus jo šaknies sumos ir sandaugos forma.

Vietos formulė

Vietos formulė susijusi su šaknų suma ir sandauga bei daugianario koeficientu. Jis naudojamas, kai turime rasti daugianarį, kai pateikiamos šaknys, arba turime rasti šaknų sumą arba sandaugą.

Vietos kvadratinės lygties formulė

• Jeigu f(x) = ax ² + bx + c yra kvadratinė lygtis su šaknimis a ir b tada,
  • Šaknų suma = α + β = -b/a
  • Šaknų sandauga = αβ = c/a
• Jei duota šaknų suma ir sandauga, kvadratinė lygtis gaunama taip:
  • x ² – (šaknų suma)x + (šaknų sandauga) = 0

Vietos kubinės lygties formulė

• Jeigu f(x) = ax ³ + bx ² + cx + d yra kvadratinė lygtis su šaknimis a, b ir c tada,
  • Šaknų suma = α + β + γ = -b/a
  • Dviejų šaknų sandaugos suma = αβ + αγ + βγ = c/a
  • Šaknų sandauga = αβγ = -d/a
• Jei duota šaknų suma ir sandauga, tada kubinė lygtis gaunama taip:
  • x ³ – (šaknų suma)x ² + (dviejų šaknų sandaugos suma)x – (šaknų sandauga) = 0

Vietos apibendrintos lygties formulė

Jeigu f(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + ……… + a ₂ x ² + a ₁ x +a ₀ yra kvadratinė lygtis su šaknimis r ₁ , r ₂ , r ₃ , …… r _n-1 , r _n tada,

r ₁ + r ₂ + r ₃ +………. + r _n-1 + r _n = -a _n-1 /a _n

(r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ +…. +r ₁ r _n ) + (r ₂ r ₃ + r ₂ r ₄ +……. +r ₂ r _n ) + ……… + r _n-1 r _n = a _n-2 /a _n

:

:

r ₁ r ₂ …r _n = (-1) ⁿ (a ₀ /a _n )

Pavyzdinės problemos

1 uždavinys: Jei α , β yra lygties x šaknys ² – 10x + 5 = 0 , tada raskite (α ² + b ² )/(a ² b + ab ² ).

Sprendimas:

Duota Lygtis:

• x²– 10x + 5 = 0

Pagal Vitos formulę

a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10

pritaikyta išimtis Java

αβ = c/a = 5/1 = 5

Kaip²+b²) = (a + b )²– 2ab

= (10)²– 2×5

= 100–10

(a²+b²) = 90

Dabar reikšmė (α²+ b²)/(a²b + ab²)

= (a²+ b²)/(αβ(α + β))

= 90/(5×10)

= 90/50

= 1.8

2 uždavinys: Jei α , β yra lygties x šaknys ² + 7x + 2 = 0 , tada raskite 14÷(1/α + 1/ β) reikšmę.

Sprendimas:

Duota lygtis:

• x²+ 7x + 2 = 0

Pagal Vitos formulę

a + b = -b/a = -7/1 = -7

αβ = c/a = 2/1 = 2

Dabar (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ

(1/a + 1/b) = -7/2

Dabar vertė 14÷(1/α + 1/β)

vieša vs privati ​​java

= 14 ÷ (-7/2)

= 14 × (-2/7)

= -4

3 uždavinys: Jei α , β yra lygties x šaknys ² + 10x + 2 = 0 , tada raskite (α/β + β/α) reikšmę.

Sprendimas:

Duota lygtis:

• x²+ 10x + 2 = 0

Pagal Vitos formulę

a + b = -b/a = 10/1 = 10

αβ = c/a = 2/1 = 2

Kaip²+b²) = (a + b )²– 2ab

= 10²– 2×2

= 100–4

= 96

Dabar reikšmė (a/b + b/a) = (a²+b²)/ab

= 96/2

dharmendros amžius

= 48

4 uždavinys: Jei α ir β yra lygties šaknys ir atsižvelgiant į tai, kad α + β = -100 ir αβ = -20, raskite kvadratinę lygtį.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

• Šaknų suma = α + β = -100
• Šaknų sandauga = αβ = -20

Kvadratinė lygtis pateikiama taip:

x²– (šaknų suma)x + (šaknų sandauga) = 0

x²– (-100)x + (-20) = 0

x ² + 100x – 20 = 0

5 uždavinys: Jei α , β ir γ yra lygties šaknys ir atsižvelgiant į tai, kad α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 ir αβ γ = -6, tada raskite kubinę lygtį.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

• Šaknų suma = α + β + γ = 10,
• Dviejų šaknų sandaugos suma = αβ + αγ + βγ = -1
• Šaknų sandauga = vid. = -6

Kubinė lygtis pateikiama taip:

x³– (šaknų suma)x²+ (dviejų šaknų sandaugos suma)x – (šaknų sandauga) = 0

x³– 10 kartų²+ (-1)x – (-6) = 0

x ³ – 10 kartų ² – x + 6 = 0

6 uždavinys: jei α , β ir γ yra lygties x šaknys ³ + 1569x ² – 3 = 0, tada raskite reikšmę [(1/α) + (1/β )] ³ + [(1/c) + (1/b )] ³ + [(1/c) + (1/a )] ³

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

• Šaknų suma = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
• Dviejų šaknų sandaugos suma = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
• Šaknų sandauga = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3

Nuo tada (p³+ q³+ r³– 3pqr) = (p + q + r) (p²+q²+ r²– pq – qr – pr) ……(1)

Tegu p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )

p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2 (αβ + αγ + βγ)/αβγ

= 2 (0/3) = 0

Iš (1) lygties:

(p³+ q³+ r³– 3pqr) = 0

p³+ q³+ r³= 3pqr

[(1/a) + (1/b )]³+ [(1/c) + (1/b )]³+ [(1/c) + (1/a )]³= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]

= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )

= -3/vid. = -3/3

= -1

7 uždavinys: jei α ir β yra lygties x šaknys ² – 3x +2 =0, tada raskite α reikšmę ² – b ² .

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

ilgas į eilutę java

• Šaknų suma = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
• Šaknų sandauga = αβγ = c/a = 2/1 = 2

Kaip (a–b)²= (a + b)²-4ab

(a–b)²= (3)²– 4(2) = 9 – 8 = 1

(a – b) = 1

Nuo,

a²– b²= (a – b) (a + b) = (1) (3) = 3

a ² – b ² = 3