Kai jau turėsite kvadratinę formulę ir kvadratinių lygčių pagrindus, laikas pereiti į kitą santykio su parabolėmis lygį: sužinoti apie jas. viršūnės forma .

Skaitykite toliau, kad sužinotumėte daugiau apie parabolės viršūnės formą ir kaip konvertuoti kvadratinę lygtį iš standartinės formos į viršūnės formą.

funkcijos vaizdo kreditas: SBA73 /Flickr

Kodėl Vertex forma yra naudinga? Apžvalga

The viršūnės forma lygties yra alternatyvus būdas parašyti parabolės lygtį.

Paprastai matysite kvadratinę lygtį, parašytą kaip $ax^2+bx+c$, kuri, pavaizduota grafike, bus parabolė. Iš šios formos pakankamai lengva rasti lygties šaknis (kur parabolė patenka į $x$ ašį), nustatant lygtį lygią nuliui (arba naudojant kvadratinę formulę).

Tačiau jei jums reikia rasti parabolės viršūnę, standartinė kvadratinė forma yra daug mažiau naudinga. Vietoj to, jūs norite konvertuoti kvadratinę lygtį į viršūnės formą.

Kas yra viršūnių forma?

Nors standartinė kvadratinė forma yra $ax^2+bx+c=y$, kvadratinės lygties viršūnių forma yra $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Abiejose formose $y$ yra $y$ koordinatė, $x$ yra $x$ koordinatė, o $a$ yra konstanta, nurodanti, ar parabolė nukreipta aukštyn ($+a$) ar žemyn. ($-a$). (Aš galvoju apie tai taip, lyg parabolė būtų obuolių padažo dubenėlis; jei yra $+a$, galiu į dubenį įpilti obuolių; jei yra $-a$, galiu iškratyti obuolių padažą iš dubens.)

kaip skaityti iš csv failo java

Skirtumas tarp standartinės parabolės formos ir viršūnės formos yra tas, kad lygties viršūnių forma taip pat suteikia jums parabolės viršūnę: $(h,k)$.

Pavyzdžiui, pažvelkite į šią puikią parabolę, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Remiantis grafiku, parabolės viršūnė atrodo panaši į (-1,5, -2), tačiau vien iš grafiko sunku tiksliai pasakyti, kur yra viršūnė. Laimei, remiantis lygtimi $y=3(x+4/3)^2-2$, žinome, kad šios parabolės viršūnė yra $(-4/3,-2)$.

Kodėl viršūnė yra $(-4/3,-2)$, o ne $(4/3,-2)$ (išskyrus grafiką, kuris aiškiai parodo $x$- ir $y$-koordinates viršūnės yra neigiamos)?

Prisiminti: viršūnės formos lygtyje $h$ atimama ir $k$ pridedama . Jei turite neigiamą $h$ arba neigiamą $k$, turėsite įsitikinti, kad atėmėte neigiamą $h$ ir pridedate neigiamą $k$.

Šiuo atveju tai reiškia:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

taigi viršūnė yra $(-4/3,-2)$.

Rašydami parabolę viršūnių forma, visada turėtumėte dar kartą patikrinti savo teigiamus ir neigiamus ženklus , ypač jei viršūnė neturi teigiamų $x$ ir $y$ reikšmių (arba jei jos nėra I kvadrantas ). Tai panašu į patikrinimą, kurį atliktumėte, jei spręstumėte kvadratinę formulę ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) ir kad įsitikintumėte, jog išlaikote teigiamą ir neigiamus elementus tiesiai jūsų $a$s, $b$s ir $c$s.

Žemiau yra lentelė su kitais kelių kitų parabolių viršūnių formų lygčių pavyzdžiais ir jų viršūnėmis. Ypač atkreipkite dėmesį į skirtumą $(x-h)^2$ parabolės viršūnės formos lygtyje, kai viršūnės $x$ koordinatė yra neigiama.

Kaip konvertuoti iš standartinės kvadratinės formos į viršūnės formą

Dažniausiai, kai jūsų prašoma konvertuoti kvadratines lygtis tarp skirtingų formų, jūs pereinate nuo standartinės formos ($ax^2+bx+c$) į viršūnės formą ($a(x-h)^2+k$ ).

Lygties konvertavimas iš standartinės kvadratinės į viršūnės formą apima žingsnių rinkinį, vadinamą kvadrato užbaigimu. (Norėdami sužinoti daugiau apie aikštės užbaigimą, būtinai perskaitykite šį straipsnį.)

Peržiūrėkime lygties konvertavimo iš standartinės formos į viršūnės formą pavyzdį. Pradėsime nuo lygties $y=7x^2+42x-3/14$.

Pirmas dalykas, kurį norėsite padaryti, tai perkelti konstantą arba terminą be $x$ arba $x^2$ šalia jo. Šiuo atveju mūsų konstanta yra $-3/14 $. (Mes žinome, kad tai neigiamas /14$, nes standartinė kvadratinė lygtis yra $ax^2+bx+c$, o ne $ax^2+bx-c$.)

Pirmiausia paimsime tuos $-3/14 $ ir perkelsime į kairę lygties pusę:

$y+3/14=7x^2+42x$

Kitas žingsnis yra 7 (lygties $a$ vertės) atskyrimas iš dešinės pusės, pavyzdžiui:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Puiku! Ši lygtis atrodo daug panašiau į viršūnės formą, $y=a(x-h)^2+k$.

Šiuo metu galite galvoti: „Viskas, ką dabar turiu padaryti, tai perkelti 3/14 USD atgal į dešinę lygties pusę, tiesa?“ Deja, ne taip greitai.

Jei pažvelgsite į dalį skliausteliuose esančios lygties, pastebėsite problemą: ji nėra $(x-h)^2$ forma. Yra per daug $x$s! Taigi mes dar nebaigėme.

Tai, ką turime padaryti dabar, yra sunkiausia dalis – užbaigti aikštę.

Pažvelkime atidžiau į lygties dalį $x^2+6x$. Norėdami įtraukti $(x^2+6x)$ į kažką panašaus į $(x-h)^2$, skliausteliuose turėsime pridėti konstantą ir atsiminti pridėti tą konstantą ir į kitą lygties pusę (nes lygtis turi išlikti subalansuota).

Norėdami tai nustatyti (ir įsitikinti, kad nepamiršime pridėti konstantos į kitą lygties pusę), sukursime tuščią vietą, kurioje konstanta eis abiejose lygties pusėse:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Atkreipkite dėmesį, kad kairėje lygties pusėje mes įsitikinome, kad įtraukėme savo $a$ reikšmę 7 prieš tarpą, kuriame bus mūsų konstanta; Taip yra todėl, kad mes ne tik pridedame konstantą dešinėje lygties pusėje, bet ir padauginame konstantą iš to, kas yra skliausteliuose. (Jei jūsų $a$ vertė yra 1, jums nereikia dėl to jaudintis.)

Kitas žingsnis yra aikštės užbaigimas. Šiuo atveju užpildomas kvadratas yra lygtis skliausteliuose – pridėję konstantą paverčiate ją lygtimi, kurią galima parašyti kaip kvadratą.

Norėdami apskaičiuoti šią naują konstantą, paimkite reikšmę šalia $x$ (šiuo atveju 6), padalinkite ją iš 2 ir kvadratu.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanta yra 9.

Priežastis, kodėl 6 padalijame per pusę ir kvadratu, yra ta, kad žinome, kad lygtyje $(x+p)(x+p)$ (tai yra tai, ką mes bandome pasiekti), $px+px= 6x$, taigi $p=6/2$; Norėdami gauti pastovų $p^2$, turime paimti /2$ (mūsų $p$) ir jį kvadratuoti.

Dabar pakeiskite tuščią vietą abiejose mūsų lygties pusėse konstanta 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Tada išlyginkite skliausteliuose esančią lygtį. Kadangi užbaigėme kvadratą, galėsite jį apskaičiuoti kaip $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Paskutinis veiksmas: perkelkite ne $y$ reikšmę iš kairės lygties pusės atgal į dešinę:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Sveikiname! Sėkmingai konvertavote lygtį iš standartinės kvadratinės į viršūnės formą.

Dabar dauguma problemų ne tik paprašys jūsų lygtis konvertuoti iš standartinės formos į viršūnių formą; jie norės, kad iš tikrųjų nurodytumėte parabolės viršūnės koordinates.

Kad neapgautume dėl ženklų keitimo, užrašykite bendrąją viršūnių formos lygtį tiesiai virš viršūnės formos lygties, kurią ką tik apskaičiavome:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Tada galime lengvai rasti $h$ ir $k$:

$-h = 3 $

$h = -3 $

$+k=-{885/14}$

Šios parabolės viršūnė yra koordinatėse $(-3,-{885/14})$.

Oho, tai buvo daugybė skaičių maišymo! Laimei, lygčių konvertavimas kita kryptimi (iš viršūnės į standartinę formą) yra daug paprastesnis.

Kaip konvertuoti iš viršūnės formos į standartinę formą

Lygčių konvertavimas iš jų viršūnės formos į įprastą kvadratinę formą yra daug paprastesnis procesas: viskas, ką jums reikia padaryti, tai padauginti viršūnės formą.

Paimkime pavyzdinę lygtį iš ankstesnės, $y=3(x+4/3)^2-2$. Norėdami tai paversti standartine forma, tiesiog išplečiame dešinę lygties pusę:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

java nulinis patikrinimas

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}–{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Sėkmingai konvertavote $y=3(x+4/3)^2-2$ į $ax^2+bx+c$ formą.

Parabolės viršūnės formos praktika: pavyzdiniai klausimai

Norėdami užbaigti šį viršūnių formos tyrimą, turime keturis pavyzdžius problemas ir paaiškinimus. Prieš skaitydami paaiškinimus, pažiūrėkite, ar galite patys išspręsti problemas!

1: Kokia yra kvadratinės lygties $x^2+ 2.6x+1.2$ viršūnių forma?

#2: Konvertuokite lygtį y=91x^2-112$ į viršūnės formą. Kas yra viršūnė?

#3: Atsižvelgiant į lygtį $y=2(x-3/2)^2-9$, kokios yra $x$-koordinatės, kur ši lygtis kertasi su $x$ ašimi?

#4: Raskite parabolės $y=({1/9}x-6)(x+4)$ viršūnę.

Parabolės viršūnių formų praktika: sprendimai

1: kokia yra kvadratinės lygties ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ viršūnių forma?

Pradėkite atskirdami ne $x$ kintamąjį iš kitos lygties pusės:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Kadangi mūsų $a$ (kaip $ax^2+bx+c$) pradinėje lygtyje yra lygus 1, mums nereikia jo čia išskirti iš dešinės pusės (nors jei norite, galite parašyti $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

Tada padalykite $x$ koeficientą (2,6) iš 2 ir padėkite jį kvadratu, tada pridėkite gautą skaičių prie abiejų lygties pusių:

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

nedeterministiniai baigtiniai automatai

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

Skliausteliuose esančios lygties dešinės pusės koeficientas:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Galiausiai sujunkite konstantas kairėje lygties pusėje, tada perkelkite jas į dešinę.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Mūsų atsakymas yra $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: Konvertuokite lygtį i y=91i x^2-112$ į viršūnės formą. Kas yra viršūnė?

Konvertuodami lygtį į viršūnės formą, norite, kad $y$ būtų koeficientas 1, todėl pirmas dalykas, kurį ketiname padaryti, yra padalyti abi šios lygties puses iš 7:

7 USD = 91 x ^ 2–112 USD

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Tada perkelkite konstantą į kairę lygties pusę:

$y+16=13x^2$

Išskaičiuokite $x^2$ skaičiaus koeficientą ($a$) iš dešinės lygties pusės

$y+16=13(x^2)$

Dabar paprastai turėtumėte užpildyti kvadratą dešinėje lygties pusėje skliausteliuose. Tačiau $x^2$ jau yra kvadratas, todėl jums nereikia nieko daryti, išskyrus konstantos perkėlimą iš kairės lygties pusės atgal į dešinę:

$y=13(x^2)-16$.

Dabar norėdami rasti viršūnę:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, taigi $h=0$

$+k=-16$, taigi $k=-16$

Parabolės viršūnė yra $(0, -16)$.

#3: Atsižvelgiant į lygtį $i y=2(i x-3/2)^2-9$, kas yra $i x$-koordinatė (-ės), kur ši lygtis kertasi su $i x$ ašis?

Kadangi klausime prašoma rasti lygties $x$-interceptą (-as), pirmiausia reikia nustatyti $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Dabar čia yra keli būdai. Slaptas būdas yra pasinaudoti faktu, kad į viršūnės formos lygtį jau yra įrašytas kvadratas, kad galėtume padėti.

Pirmiausia perkelsime konstantą į kairę lygties pusę:

0 USD = 2 (x-3/2)^ 2–9 USD

9 USD = 2 (x-3/2)^ 2 USD

Tada abi lygties puses padalinsime iš 2:

9 USD/2=(x-3/2)^2 USD

Dabar slaptoji dalis. Paimkite kvadratinę šaknį iš abiejų lygties pusių:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3 / {√2}=(x-3/2) $

$±