Rekursyvinė funkcija yra funkcija, kurios reikšmę bet kuriame taške galima apskaičiuoti iš funkcijos reikšmių kai kuriuose ankstesniuose taškuose. Pavyzdžiui, tarkime, kad funkcija f(k) = f(k-2) + f(k-3), kuri apibrėžta neneigiamu sveikuoju skaičiumi. Jei funkcijos reikšmė yra k = 0 ir k = 2, jos reikšmę taip pat galime rasti bet kuriame kitame neneigiamam sveikajam skaičiui. Kitaip tariant, galime sakyti, kad rekursinė funkcija reiškia funkciją, kuri naudoja savo ankstesnius taškus tolesniems terminams nustatyti ir taip sudaro terminų seką. Šiame straipsnyje mes sužinosime apie rekursines funkcijas kartu su tam tikrais pavyzdžiais.
Kas yra Rekursija?
Rekursija reiškia procesą, kurio metu rekursinis procesas kartojasi. Rekursyvinė yra vieno ar kelių kintamųjų funkcija, kurią paprastai nurodo tam tikras procesas, kuris sukuria tos funkcijos reikšmes, nuolat įgyvendindamas tam tikrą ryšį su žinomomis funkcijos reikšmėmis.
Čia mes suprasime rekursiją naudodami pavyzdį.
Tarkime, kad ketinate lipti laiptais, kad iš pirmo aukšto pasiektumėte pirmąjį aukštą. Taigi, norėdami tai padaryti, turite žengti žingsnius po vieną. Yra tik būdas pereiti prie antrojo laiptelio, kuris yra įtemptas pirmasis. Tarkime, kad norite pereiti prie trečiojo žingsnio; pirmiausia reikia žengti antrą žingsnį. Čia galite aiškiai matyti kartojimo procesą. Čia galite pamatyti, kad su kiekvienu kitu žingsniu pridedate ankstesnį veiksmą kaip kartojamą seką su tuo pačiu skirtumu tarp kiekvieno veiksmo. Tai yra tikroji rekursinės funkcijos samprata.
2 žingsnis: 1 žingsnis + žemiausia pakopa.
3 veiksmas: 2 žingsnis + 1 žingsnis + žemiausia pakopa.
4 veiksmas: 3 žingsnis + 2 žingsnis + 1 žingsnis + žemiausia pakopa ir pan.
Natūraliųjų skaičių rinkinys yra pagrindinis rekursinių funkcijų, kurios prasideda nuo vieno iki begalybės, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….begalybės, pavyzdys. Todėl natūraliųjų skaičių aibė rodo rekursinę funkciją, nes galite matyti bendrą skirtumą tarp kiekvieno termino kaip 1; ji rodo kiekvieną kartą, kai kitas terminas kartojasi ankstesniu.
Kas yra rekursyviai apibrėžta funkcija?
Rekursyviai apibrėžtos funkcijos susideda iš dviejų dalių. Pirmoje dalyje aptariamas mažiausio argumento apibrėžimas, o antrojoje dalyje – n-asis termino apibrėžimas. Mažiausias argumentas žymimas f (0) arba f (1), o n-asis argumentas žymimas f (n).
Sekite pateiktu pavyzdžiu.
Tarkime, kad seka yra 4,6,8,10
Aiškiai pateiktos sekos formulė yra f (n) = 2n + 2
Aiškią aukščiau pateiktos sekos formulę pateikia
f (0) = 2
f(n) = f (n-1) + 2
Dabar sekos terminus galime gauti taikydami rekursinę formulę taip f(2 ) f (1) + 2
f(2) = 6
f (0) = 2
f(1) = f(0) + 2
f (1) = 2 + 2 = 4
f(2) = f (1) + 2
f(2) = 4 + 2 = 6
f(3) = f (2) + 2
f(3) = 6 + 2 = 8
Naudodami aukščiau pateiktą rekursinės funkcijos formulę galime nustatyti kitą narį.
Kas daro funkciją rekursyvią?
Norint, kad bet kuri funkcija būtų rekursinė, reikalingas atskiras terminas, kad būtų galima apskaičiuoti kitą sekos terminą. Pavyzdžiui, jei norite apskaičiuoti n-ąjį tam tikros sekos narį, pirmiausia turite žinoti ankstesnįjį ir terminą prieš ankstesnįjį. Taigi, norėdami sužinoti, ar seka yra rekursinė, ar ne, turite žinoti ankstesnį terminą. Taigi galime daryti išvadą, kad jei funkcijai reikalingas ankstesnis narys, norint nustatyti kitą sekos terminą, funkcija laikoma rekursine funkcija.
Rekursinės funkcijos formulė
Jeigu1, a2, a3, a4, a5, a6, ……..an,……yra daug aibių arba sekos, tada rekursinė formulė turės apskaičiuoti visus anksčiau egzistavusius terminus, kad būtų galima apskaičiuoti
an= an-1 +a1
Aukščiau pateikta formulė taip pat gali būti apibrėžta kaip aritmetinės sekos rekursinė formulė. Aukščiau paminėtoje sekoje aiškiai matote, kad tai aritmetinė seka, kurią sudaro pirmasis terminas, po kurio eina kiti terminai, ir bendras kiekvieno termino skirtumas. Bendras skirtumas reiškia skaičių, kurį prie jų pridedate arba atimate.
Rekursyvinė funkcija taip pat gali būti apibrėžta kaip geometrinė seka, kai skaičių rinkiniai arba seka turi bendrą koeficientą arba bendrą jų santykį. Geometrinės sekos formulė pateikta kaip
an= an-1*r
Paprastai rekursinė funkcija apibrėžiama iš dviejų dalių. Pirmasis yra pirmojo termino teiginys kartu su formule, o kitas yra pirmojo termino teiginys kartu su taisykle, susijusia su nuosekliais terminais.
Kaip parašyti rekursinę aritmetinės sekos formulę
Norėdami parašyti aritmetinės sekos formulės rekursinę formulę, atlikite nurodytus veiksmus
1 žingsnis:
Pirmiausia turite įsitikinti, ar nurodyta seka yra aritmetinė, ar ne (tam reikia pridėti arba atimti du iš eilės narius). Jei gaunate tą pačią išvestį, seka laikoma aritmetine seka.
2 žingsnis:
Dabar reikia rasti bendrąjį nurodytos sekos skirtumą.
3 veiksmas:
Suformuluokite rekursinę formulę naudodami pirmąjį terminą, o tada sukurkite formulę naudodami ankstesnį terminą ir bendrą skirtumą; taip gausite duotą rezultatą
an= an-1 +d
dabar mes suprantame pateiktą formulę naudodami pavyzdį
tarkime, kad 3,5,7,9,11 yra tam tikra seka
Aukščiau pateiktame pavyzdyje galite lengvai rasti, kad tai aritmetinė seka, nes kiekvienas sekos narys padidėja 2. Taigi bendras skirtumas tarp dviejų terminų yra 2. Mes žinome rekursinės sekos formulę
an= an-1 +d
Atsižvelgiant į
d = 2
a1= 3
taigi,
a2= a(2-1)+ 2 = a1+2 = 3+2 = 5
a3= a(3-1)+ 2 = a2+2 = 5 + 2 = 7
a4= a(4-1)+ 2 = a3+2 = 7 + 2 = 9
a5= a(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, ir procesas tęsiasi.
Kaip parašyti geometrinės sekos rekursinę formulę?
Norėdami parašyti geometrinės sekos formulės rekursinę formulę, atlikite nurodytus veiksmus:
1 žingsnis
Pirmiausia turite įsitikinti, ar nurodyta seka yra geometrinė, ar ne (tam reikia padauginti arba padalyti kiekvieną terminą iš skaičiaus). Jei gaunate tą pačią išvestį iš vieno termino į kitą, seka laikoma geometrine seka.
2 žingsnis
Dabar reikia rasti bendrą nurodytos sekos santykį.
3 veiksmas
Suformuluokite rekursinę formulę naudodami pirmąjį terminą, o tada sukurkite formulę naudodami ankstesnį terminą ir bendrą santykį; taip gausite duotą rezultatą
an= r*an-1
Dabar mes suprantame pateiktą formulę naudodami pavyzdį
tarkime, 2,8,32, 128,.yra duota seka
Aukščiau pateiktame pavyzdyje galite lengvai rasti, kad tai yra geometrinė seka, nes nuoseklus sekos narys gaunamas padauginus 4 iš ankstesnio nario. Taigi, bendras santykis tarp dviejų terminų yra 4. Mes žinome rekursinės sekos formulę
an= r*an-1
an= 4
an-1= ?
Atsižvelgiant į
r = 4
reactjs žemėlapį
a1= 2
taigi,
a2= a(2-1)* 4 = a1+ * 4 = 2 * 4 = 8
a3= a(3-1)* 4 = a2* 4 = 8 * 4 = 32
a4= a(4-1)* 4 = a3* 4 = 32* 4 = 128, ir procesas tęsiasi.
Rekursinės funkcijos pavyzdys
1 pavyzdys:
Nustatykite sekos 4,8,16,32,64, 128,… rekursinę formulę?
Sprendimas:
Duota seka 4,8,16,32,64,128,…..
Pateikta seka yra geometrinė, nes padauginus ankstesnį narį, gauname sekančius narius.
Norėdami nustatyti pateiktos sekos rekursinę formulę, turime ją parašyti lentelės forma
| Terminų skaičiai | Sekos terminas | Funkcijos žymėjimas | Subscription notation |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | f(1) | a1 |
| 2 | 8 | f(2) | a2 |
| 3 | 16 | f(3) | a3 |
| 4 | 32 | f(4) | a4 |
| 5 | 64 | f(5) | a5 |
| 6 | 128 | f(6) | a6 |
| n | . | f(n) | an |
Taigi rekursinė formulė funkcijos sąvokoje pateikiama pagal
f(1) = 4, f(n) . f(n-1)
Indekso žymėjime rekursinė formulė pateikiama pagal
a1= 4, an= 2. an-1