Statmenos linijos Matematikoje yra tiesių poros, kurios visada kerta viena kitą stačiu kampu, ty statmenos linijos visada yra susikertančios tiesės, kurios susikerta 90° kampu. Mes lengvai matome statmenas linijas, o sienų kampai, stalo kampai ir kitos yra lygiagrečios linijos. Kalbant apie statmenas linijas, sakome, kad jos kerta viena kitą stačiu kampu. Trumpiausias atstumas tarp dviejų tiesių pateikiamas naudojant statmeną atstumą tarp jų, t. y. statmena linija tarp dviejų taškų suteikia trumpiausią atstumą tarp jų.

Šiame straipsnyje mes išsamiai sužinosime apie statmenas linijas, jų savybes ir kitas.

Turinys

• Kas yra statmenos linijos?
• Statmenų linijų savybės
• Statmenų linijų nuolydis
• Statmenų linijų formulė
• Kaip nubrėžti statmenas linijas?
• Statmenos linijos lygtis

Kas yra statmenas?

Statmenas apibrėžiamas kaip linija, kuri sudaro a stačiu kampu su kita linija. Kitaip tariant, statmena linija reiškia linijas, kurios sudaro 90 laipsnių kampą. Trumpiausias atstumas tarp taško ir linijos yra tarp jų esanti statmena linija. Statmenas sudaro 90 laipsnių su kita linija. Linijos AB ir PQ, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau, yra statmenos viena kitai, nes jos kerta viena kitą 90 laipsnių kampu.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pridėta linija AB ir CD rodo dvi statmenas linijas.

Kas yra statmenos linijos?

Statmenos linijos – tai tiesės, kertančios viena kitą 90 laipsnių kampu, t. y. jei dvi tiesės susikerta stačiu kampu, jos vadinamos statmenomis. Paimkite čia pridėtą paveikslą, tiesė l ir tiesė m kerta viena kitą taške O ir jų sudarytas kampas yra 90 laipsnių.

Taigi galime sakyti, kad l yra tiesė, statmena tiesei m, arba tiesė m yra statmena tiesei l. Šią sąlygą pavaizduojame kaip, l ⊥ m. Dabar bet kuri tiesė, lygiagreti tiesei l, yra statmena tiesei m. Trumpiausias atstumas tarp taško ir tiesės visada yra statmenas atstumas tarp jų.

Pastaba: Ne visos susikertančios tiesės yra statmenos, bet visos statmenos yra susikertančios.

Statmenas ženklas

Statmenos linijos vaizduojamos naudojant simbolį „⊥“. Jei tiesės l ir m yra viena kitai statmenos, t. y. jos kerta viena kitą 90 laipsnių kampu, tada jos vadinamos statmenomis tiesėmis ir vaizduojamos kaip, l ⊥ m. Susikirtimo taškas vadinamas statmens pėda.

Statmenos formos

Kasdieniame gyvenime aplink mus gali būti matomos priešstatiškos formos. Statmenos formos yra formos, kurių bent vienas kampas yra 90°. Įvairios formos, turinčios statmenas linijas (stačias formas), yra,

• Kvadratas
• Stačiakampis
• Stačiakampis trikampis

Statmenų linijų savybės

Bet kurios dvi susikertančios tiesės, susikertančios 90 laipsnių kampu, vadinamos statmenomis linijomis. Statmenų linijų savybės skiriasi nuo susikertančių linijų, o bendrosios susikertančių tiesių savybės yra

• Statmenos linijos yra linijos, kurios visada kerta viena kitą stačiu kampu.
• Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai tiesei, tai šios dvi tiesės visada yra lygiagrečios viena kitai.

Statmenų linijų nuolydis

Bet kurios linijos nuolydis yra kampo, kurį sudaro linija su teigiama x ašimi, įdegis, o statmenų tiesių nuolydis tarp jų turi ypatingą ryšį.

Tarkime, kad turime dvi tieses PQ ir RS, kurios yra statmenos viena kitai. Dabar tiesės PQ nuolydis yra m₁o linijos RS nuolydis yra tarkim m₂, tada šlaitų sandauga yra lygi -1. Teiginys apie tą patį yra

Pareiškimas: Dvi tiesės yra statmenos viena kitai, jei jų nuolydžio sandauga yra -1.

Tai gali būti pavaizduota kaip

m ₁ .m ₂ = -1

Statmenų linijų formulė

Toliau aptariamos dvi pagrindinės statmenos linijos formulės,

1 teiginys: Statmenos linijos nuolydžio sandauga su pradinės linijos nuolydžiu visada yra -1 .

Įrodymas:

Tegul pradinė linija sudaro θ kampą su X ašimi.

Tada tiesei statmena linija sudarys θ + 90° arba θ – 90° kampą su X ašimi.

Dabar pradinės linijos nuolydis yra lygus tan θ

kaip atidaryti failą su java

Statmenos linijos nuolydis yra lygus arba tan (θ + 90^O) arba įdegis (θ – 90^O)

įdegis (θ + 90 ^O ) = įdegis (θ – 90 ^O ) = -lovytė i

Taigi statmenos linijos nuolydis yra -cot θ

Dabar

Šlaitų sandauga = tan θ × (-cot θ) = -1

Taigi įrodyta

2 teiginys: Jei tiesės lygtis yra ax + by + c = 0

Tada tiesės, statmenos duotai tiesei, lygtis yra

– bx + ay + d = 0

kur, c ir d yra bet kokios pastovios vertės

Įrodymas:

Tiesės lygtis yra ax + x + c = 0

Linijos nuolydis yra -a/b

Tegul statmenos linijos nuolydis lygus m

Žinome, kad dviejų statmenų tiesių nuolydžio sandauga yra -1

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

Dabar, jei statmena linija eina per tašką (x₁, ir₁), tada statmenos linijos lygtis yra

(ir – ir₁) / (x – x₁) = b / a

ir – ir₁= (b / a) × (x – x₁)

yra – yra₁= bx – bx₁

– bx + yra + (bx₁– yra₁) = 0 {leiskit bx₁– yra₁= d}

Taigi reikalaujama linijos lygtis yra

– bx + ay + d = 0

Kaip nubrėžti statmenas linijas?

Statmenos linijos porą galime nesunkiai sukonstruoti naudodami protraktorių ir kompasą.

Statmenų linijų braižymas naudojant protraktorių

Norėdami nubrėžti porą statmenų linijų, atlikite toliau aprašytus veiksmus,

1 žingsnis: Pirmiausia liniuote ant popieriaus nubrėžkite horizontalią liniją AB.

2 žingsnis: Pažymėkite bet kurį tiesės AB tašką P, iš kurio turime nubrėžti statmeną liniją.

3 veiksmas: Uždėkite apsaugą ant linijos ir suderinkite apsaugos vidurio tašką su linijos tašku P.

4 veiksmas: Naudodami apsaugą pažymėkite 90 laipsnių kampą.

5 veiksmas: Sujunkite liniją naudodami bet kurią liniuotę 90 laipsnių kampu, kad gautumėte statmenos linijos porą.

Statmenos linijos piešimas naudojant kompasą

Toliau pateikiami žingsniai, kaip sukurti statmenas linijas naudojant kompasą

1 žingsnis: Nubrėžkite liniją ant popieriaus naudodami liniuotę

2 žingsnis: Paimkite tašką ant linijos ir uždėkite ant jo kompaso adatą.

3 veiksmas: Vienoje linijos pusėje nubrėžkite lanką (puslankį).

4 veiksmas: Nekeisdami kompaso spindulio, dabar uždėkite adatą ant vieno puslankio skersmens galo.

5 veiksmas: Pusapvalį lanką perpjaukite du kartus perpjaudami. Pirmasis pjūvis žymi 60°, o antrasis - 120°

6 veiksmas: Skirtumas tarp pirmojo ir antrojo pjūvio yra 60°. Padalinkite šį tarpą į pusę, naudodami kompasą, nekeisdami jo spindulio.

7 veiksmas: Dabar sujunkite 60 ir 120 padalijimo taškus su tašku, kuris iš pradžių buvo nubrėžtas puslankiu.

8 veiksmas: Taip nubrėžta linija yra statmena pradinei linijai.

Statmenų linijų pavyzdžiai

Statmenos linijos yra linijos, kurios visada susikerta viena su kita 90 laipsnių kampu. Realiame gyvenime matome įvairių lygiagrečių linijų pavyzdžių, kai kurie iš jų yra,

• Kambarių kampai statmeni vienas kitam.
• Laikrodžio rodyklės žymi statmenas linijas ties 3′ laikrodžiu.
• Stalo ir stalo kampai žymi statmenas linijas.

Statmenos ir lygiagrečios tiesės

Statmenos yra tiesės, kurios sudaro 90° kampą viena su kita, kai lygiagrečios linijos yra lygiagrečios viena kitai, ty jos yra vienodu atstumu viena nuo kitos ir niekada nesikerta viena su kita.

Pastaba: Lygiagrečios linijos susitinka „Infinity“. .

Lygiagrečių ir statmenų tiesių nuolydis

Lygiagrečių tiesių nuolydis yra lygus, o statmenų tiesių nuolydžio sandauga yra -1.

Lygiagrečių ir statmenų tiesių lygtys

Jei dvi tiesės yra lygiagrečios, tada jų tiesių lygtis yra

• ax + by + c = 0 ir ax + by + d = 0

Kadangi dviejų statmenų lygtis yra

• ax + by + c = 0 ir -bx + ax + d = 0

Kas yra lygiagrečios linijos?

Lygiagrečios linijos geometrijoje apibrėžiamos kaip linijos, kurios nesusikerta viena su kita 2-D plokštumoje, t. y. jos niekada nesikerta viena su kita 2-D plokštumoje. Atstumas tarp dviejų lygiagrečių linijų visada yra pastovus. Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotos dvi lygiagrečių linijų poros.

Tiesės a, b, x ir y yra lygiagrečios viena kitai.

Skirtumas tarp lygiagrečių ir statmenų linijų

Lygiagrečios tiesės Vs statmenos tiesės aptariami toliau esančioje lentelėje.

Statmenos linijos lygtis

Standartas tiesės lygtis yra ax + by + c = 0 o tiesė, statmena nurodytai tiesei, pateikiama naudojant

-bx + ay + d = 0

kur, d yra pastovi reikšmė, o jos reikšmė randama naudojant kitą pateiktą sąlygą.

Statmenos linijos nuolydis

Tarkime, kad mums duota tiesė, kurios lygtis yra y = mx + c ir jos nuolydis yra m, tada tiesės, statmenos duotai tiesei, nuolydis yra

Statmenos linijos nuolydis = -1/m

Dabar, jei dviejų linijų nuolydis yra m₁ir m₂tada ryšys tarp šių dviejų šlaitų yra m ₁ m ₂ = -1

Skaityti daugiau,

• Lygiagrečios linijos
• Skersinės linijos
• Lygiagrečių linijų savybės

Statmenų linijų pavyzdžiai

1 pavyzdys: ar tiesės 3x + 2y + 5 = 0 ir 2x – 3y + 8 = 0 yra statmenos?

Sprendimas:

Tiesės ax + nuolydis + c = 0 yra -a/b

• Tiesės 3x + 2y + 5 = 0 nuolydis yra m₁= – 3/2.
• Linijos 2x – 3y + 8 = 0 nuolydis yra m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Žinome, kad linijos yra statmenos, jei jų nuolydžiai turi tokią sąlygą.

m₁× m₂= -1

Dabar iš aukščiau pateiktos sąlygos

= (- 3/2) × (2/3)

= -1

Šlaitų sandauga yra -1, taigi linijos yra statmenos.

2 pavyzdys: Raskite tiesę, statmeną tiesei x + 2y + 5 = 0, ir eikite per tašką (2, 5).

Sprendimas:

Žinome, kad tiesės, statmenos tiesei ax + by + c = 0, lygtis yra – bx + ay + d = 0.

Duota tiesės lygtis yra x + 2y + 5 = 0

Lyginant tiesę x + 2y + 5 = 0 su ax + + c = 0, gauname,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Taigi, bet kurios tiesės, statmenos šiai tiesei, lygtis yra – 2x + y + d = 0…(i)

Atsižvelgiant į tai, ši linija eina per (2, 5),

Taip įdėjus (2, 5) į šią statmenos linijos lygtį

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Pakeitę d reikšmę eq(i), gauname

-2x + y + (-1) = 0

Taigi statmenos linijos lygtis yra -2x + y - 1 = 0

3 pavyzdys: Raskite tiesės, statmenos tiesei 3x + 9y + 7 = 0, nuolydį.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į

Tiesės lygtis yra 3x + 9y + 7 = 0

Šios linijos nuolydis = -a/b = – 3 / 9 = – 1/3

Tegul ine nuolydis, statmenas aukščiau tiesei, yra m

Dabar naudokite statmenos linijos formulę

m × (- 1/3) = – 1

⇒ m = 3

Taigi, tiesės, statmenos duotai tiesei, nuolydis yra 3.

4 pavyzdys: Raskite tiesės, statmenos tiesei x + y + 3 = 0, kampą.

Sprendimas:

Duota linija,

x + y + 3 = 0

Duotos linijos nuolydis = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Leiskite, tiesės, statmenos aukščiau nurodytai tiesei, nuolydis yra m

Iš statmenos linijos formulės,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Duotajai tiesei statmenos linijos kampas yra θ, tada

m = tan θ

⇒ įdegis θ = 1

⇒ θ = įdegis^-1(1) = 45°

Taigi kampas, sudarytas statmenos linijos su X ašimi, yra 45°.

Statmenos praktikos problemos

Q1. Raskite tiesei statmenos tiesės kampą 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Jei tiesė eina per taškus (11, –4) ir (–1, 8), o kita tiesė eina per taškus (8, 3) ir (–1, -3). Patikrinkite, ar šios linijos lygiagrečios, ar statmenos.

Q3. Raskite tiesės, statmenos 5x − 7y = 5 ir einančios per tašką (-1, 8), lygtį.

4 klausimas. Raskite tiesės, einančios per (2, 3) ir statmenos x ašiai, lygtį.

Statmenos linijos – DUK

Kas yra statmenos linijos?

Jei dvi susikertančios linijos kerta viena kitą stačiu kampu, t. y. 90 laipsnių kampu, tada šios dvi tiesės vadinamos statmenomis.

Kas yra lygiagrečios ir statmenos linijos?

Lygiagrečios linijos yra linijos, kurios nesusitinka viena su kita 2-D plokštumoje. Atstumas tarp dviejų lygiagrečių tiesių visada yra pastovus. Tuo tarpu jei dvi linijos susikerta viena su kita 90 laipsnių kampu, šios linijos vadinamos statmenomis linijomis.

Ar susikertančios linijos visada yra statmenos?

Ne, ne visos susikertančios linijos visada yra statmenos, jos gali būti statmenos arba ne. Susikertančios linijos gali susitikti skirtingais kampais.

Kokia yra statmenų linijų nuolydžio sąlyga?

Tarkime, kad dviejų linijų nuolydis yra m₁ir m₂tada dviejų statmenų linijų šlaitų sąlyga yra m ₁ .m ₂ = -1

Kiek statmenų linijų galima nubrėžti ties linija?

Tiesei galime nubrėžti bet kokį statmenų linijų skaičių, ty bet kuriai tiesei galime turėti begalę statmenų linijų.

Kada dvi linijos yra statmenos?

Dvi tiesės yra statmenos, jei jos susikerta 90° kampu, t.y. statmenos linijos visada susikerta stačiu kampu.

Kas yra statmenas trikampis?

Trikampis, kurio kampas lygus 90°, vadinamas statmeniu trikampiu. Jis taip pat vadinamas stačiakampiu trikampiu.

Kokios yra statmenos formos?

Kai kurios figūros, vadinamos statmenomis figūromis, yra formos, kuriose yra bent vienas statmenas. Įvairūs statmenų formų pavyzdžiai yra kvadratas, stačiakampis, stačiakampis trikampis

Kas yra statmeni kampai?

Kampai, kurie lygūs 90°, vadinami statmenais kampais. Kitas statmenų kampų pavadinimas yra stačiai kampai.

Kas yra statmenas simbolis?

Simbolis arba ženklas, vaizduojantis statmeną, yra ⟂. Šį simbolį naudojame norėdami parodyti, ar dvi linijos yra statmenos. Pavyzdžiui, jei parašyta A⟂B, kur A ir B yra dvi eilutės, tada eilutė A yra statmena linijai B ir atvirkščiai.

Kaip nustatyti, kurios linijos yra statmenos?

Jei kampas tarp dviejų linijų yra 90°. Tada galime pasakyti, kad šios dvi linijos yra statmenos. Jei dviejų linijų nuolydis nurodytas kaip, m₁, m₂tada mes naudojame statmenos linijos formulę, kad sužinotume, ar jos statmenos, ar ne. Statmenos linijos formulė yra, m₁.m₂= -1

Kaip rasti statmenų linijų nuolydį?

Statmenų linijų nuolydį galima lengvai apskaičiuoti naudojant nuolydžio formulę. Tarkime, kad mums duota linija, tada pirmiausia konvertuojame ją į standartinę formą ir tada naudojame nuolydžio formulę, kad surastume nuolydį. Nuolydžio formulė yra, m = -b/a, kur a yra x koeficientas, o b yra y koeficientas.