logo

TechCodeview

Niutono Rafsono metodas

Niutono Rafsono metodas arba Niutono metodas yra galinga lygčių skaitinio sprendimo technika. Jis dažniausiai naudojamas tikrosios vertės funkcijų šaknims aproksimuoti. Niutono Rapsono metodą sukūrė Isaacas Newtonas ir Josephas Raphsonas, todėl Niutono Rapsono metodas buvo pavadintas.

Niutono Rafsono metodas apima iteracinį pradinio spėjimo patikslinimą, kad jis suartėtų link norimos šaknies. Tačiau šis metodas nėra efektyvus skaičiuojant daugianarių ar lygčių su aukštesniais laipsniais šaknis, tačiau mažo laipsnio lygčių atveju šis metodas duoda labai greitus rezultatus. Šiame straipsnyje mes sužinosime apie Newton Raphson metodą ir šaknų skaičiavimo veiksmus naudojant šį metodą.



Turinys

Kas yra Niutono Rafsono metodas?

Niutono-Rafsono metodas, dar žinomas kaip Niutono metodas, yra pasikartojantis skaitmeninis metodas, naudojamas tikrosios vertės funkcijos šaknims rasti. Ši formulė pavadinta sero Izaoko Niutono ir Josepho Raphsono vardu, nes jie savarankiškai prisidėjo prie jos kūrimo. Niutono Rafsono metodas arba Niutono metodas yra algoritmas, skirtas aproksimuoti tikrosios vertės funkcijų nulių šaknis, naudojant spėjimą pirmajai iteracijai (x0) ir tada aproksimuokite kitą iteraciją (x1), kuris yra arti šaknų, naudojant šią formulę.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



kur,

  • x 0 yra pradinė x reikšmė,
  • f(x 0 ) yra lygties reikšmė pradine verte, ir
  • f'(x 0 ) yra lygties arba funkcijos pirmosios eilės išvestinės reikšmė pradine x verte0.

Pastaba: f'(x0) neturėtų būti lygus nuliui, kitaip formulės trupmeninė dalis pasikeis į begalybę, o tai reiškia, kad f(x) neturėtų būti pastovi funkcija.

Niutono Rafsono metodo formulė

Bendra forma Newton-Raphson metodo formulė parašyta taip:



x n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

kur,

  • x n-1 yra apskaičiuotas (n-1)thfunkcijos šaknis,
  • f(x n-1 ) yra lygties vertė esant (n-1)thapskaičiuota šaknis ir
  • f'(x n-1 ) yra lygties arba funkcijos pirmosios eilės išvestinės reikšmė xn-1.

Niutono Rafsono metodo skaičiavimas

Tarkime, kad lygtis arba funkcijos, kurių šaknys turi būti apskaičiuojamos taip, kad f(x) = 0.

Norint įrodyti Newton Raphson metodo pagrįstumą, atliekami šie veiksmai:

1 žingsnis: Nubraižykite f(x) grafiką skirtingoms x reikšmėms, kaip parodyta toliau:

Niutono Rafsono metodo skaičiavimas

2 žingsnis: Nubrėžta f(x) taške x liestinė0. Tai yra pradinė vertė.

3 veiksmas: Ši liestinė susikirs su X ašimi tam tikrame fiksuotame taške (x1,0) jei f(x) pirmoji išvestinė nėra lygi nuliui t.y. f'(x 0 ) ≠ 0.

4 veiksmas: Kadangi šis metodas apima šaknų iteraciją, tai x1laikomas sekančiu šaknies aproksimacija.

5 veiksmas: Dabar 2–4 žingsniai kartojami, kol pasieksime tikrąją šaknį x*.

Dabar mes žinome, kad bet kurios linijos nuolydžio pertraukos lygtis pavaizduota kaip y = mx + c,

Kur m yra linijos nuolydis ir c yra linijos x sankirta.

Naudodami tą pačią formulę, gauname

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Čia f(x0) reiškia c ir f'(x0) reiškia liestinės m nuolydį. Kadangi ši lygtis galioja kiekvienai x reikšmei, ji turi galioti ir x1. Taigi, x pakeičiant x1, ir lygtį prilyginę nuliui, nes reikia apskaičiuoti šaknis, gauname:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )

sulaužyti java

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Kuri yra Niutono Rafsono metodo formulė.

Taigi, Newtono Raphsono metodas buvo matematiškai įrodytas ir priimtas kaip tinkamas.

Niutono Rafsono metodo konvergencija

Niutono-Rafsono metodas yra linkęs suartėti, jei galioja ši sąlyga:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Tai reiškia, kad metodas konverguoja, kai funkcijos reikšmės x ir antrosios funkcijos išvestinės x sandaugos modulis yra mažesnis už funkcijos pirmosios išvestinės, esančios x, modulio kvadratą. Niutono-Rafsono metodo konvergencija yra 2, o tai reiškia, kad jis turi kvadratinę konvergenciją.

Pastaba:

Niutono Rafsono metodas negalioja, jei pirmoji funkcijos išvestinė yra 0, o tai reiškia, kad f'(x) = 0. Tai įmanoma tik tada, kai duota funkcija yra pastovi funkcija.

  • Niutono metodas, kaip rasti šaknis
  • Skirtumas tarp Niutono Rafsono metodo ir įprasto Falsi metodo
  • Skirtumas tarp bisekcijos metodo ir Niutono Rafsono metodo
  • Šaknų paieškos algoritmas

Niutono Rafsono metodo pavyzdys

Panagrinėkime šį pavyzdį, kad sužinotume daugiau apie tikrosios vertės funkcijos šaknies radimo procesą.

Pavyzdys: pradinei reikšmei x 0 = 3, apytikslė f(x)=x šaknis 3 +3x+1.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į x0= 3 ir f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3 (9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

abėcėlė su skaičiais

Naudojant Niutono Rafsono metodą:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1,767

Išspręstos Niutono Rafsono metodo problemos

1 problema: pradinei reikšmei x 0 = 1, apytikslė f(x)=x šaknis 2 −5x+1.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į x0= 1 ir f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Naudojant Niutono Rafsono metodą:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1-1

⇒ x1= 0

2 problema: pradinei reikšmei x 0 = 2, apytikslė f(x)=x šaknis 3 −6x+1.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į x0= 2 ir f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3 (4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Naudojant Niutono Rafsono metodą:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

3 problema: pradinei reikšmei x 0 = 3, apytikslė f(x)=x šaknis 2 −3.

Sprendimas:

Atsižvelgiant į x0= 3 ir f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Naudojant Niutono Rafsono metodą:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

4 uždavinys: Raskite lygties f(x) = x šaknį 3 – 3 = 0, jei pradinė reikšmė yra 2.

Sprendimas:

Duota x0= 2 ir f(x) = x3– 3

f'(x) = 3x2

uri vs url

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Naudojant Niutono Rafsono metodą:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1 583

Dar kartą naudojant Niutono Rafsono metodą:

x2= 1,4544

x3= 1,4424

x4= 1,4422

Todėl lygties šaknis yra maždaug x = 1,442.

5 uždavinys: Raskite lygties f(x) = x šaknį 3 – 5x + 3 = 0, jei pradinė reikšmė yra 3.

Sprendimas:

Duota x0= 3 ir f(x) = x3– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x2– 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Naudojant Niutono Rafsono metodą:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Dar kartą naudojant Niutono Rafsono metodą:

x2= 1,9705

x3= 1,8504

x4= 1,8345

x5= 1,8342

Todėl lygties šaknis yra maždaug x = 1,834.

Newton Raphson metodo DUK

1 klausimas: apibrėžkite Niutono Rafsono metodą.

Atsakymas:

Niutono Rafsono metodas yra skaitinis metodas, skirtas aproksimuoti bet kurios tikrosios vertės funkcijos šaknis. Taikant šį metodą, mes naudojome įvairias iteracijas, kad apytiksliai įvertintume šaknis, ir kuo didesnis iteracijų skaičius, tuo mažesnė apskaičiuotos šaknies vertės paklaida.

2 klausimas: koks yra Newton Raphson metodo pranašumas?

Atsakymas:

Niutono Rafsono metodo pranašumas yra tai, kad jis leidžia labai efektyviai ir greitai atspėti lygties šaknis nedideliu laipsniu.

3 klausimas: koks yra Niutono Rafsono metodo trūkumas?

Atsakymas:

Niutono Rafsono metodo trūkumas yra tas, kad jis tampa labai sudėtingas, kai daugianario laipsnis tampa labai didelis.

4 klausimas: nurodykite bet kokį Newtono Raphsono metodo taikymą realiame gyvenime.

Atsakymas:

Niutono Rafsono metodas naudojamas vandens srauto vandens paskirstymo tinkluose analizei realiame gyvenime.

5 klausimas. Kokia teorija remiasi Niutono-Rafsono metodas?

Atsakymas:

Niutono Rafsono metodas pagrįstas skaičiavimo ir kreivės liestinės teorija.